圆的标准方程
青海师大附中 朱永祥
人教版高中数学（必修）第二册（上）
［教学目标］
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
［教学重、难点］
教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
［教学方法］
选用引导―探究式的教学方法。
［教学手段］
借助多媒体进行辅助教学。
［教学过程］
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］
师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？
生：x2+y2=r2.
师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？
生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ，亦即 x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？
生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合， Y M(x,y)
由两点间的距离公式得 C r
即：（x-a）2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程. O X
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.
师：圆的标准方程由哪些量决定？
生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］
① 圆心在原点，半径是3 ：________________________
② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________
③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________
变式题［多媒体演示］
求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。
师：你打算怎样求过P点的切线方程？ Y
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师： 斜率怎样求？ P
生：。。。。。。
师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看
（如图） O X
生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1＝， 所以切线的斜率 K＝－＝－
所以所求切线方程：y-= －(x-)
即：x+y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？
生：。。。。。。
师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？
（若看不出来，再看一例）
［例1/］ 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？
生：。。。。。。
［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。
解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－
∴所求切线方程：y-yo= － (x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程
［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）
引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为
（0，b）,半径为r，那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组： Y
P2 P
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程 A A2 O B X
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本Ｐ77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。
课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79
［板书设计］
§7.7 圆的方程
1．圆的标准方程
例2 例3
＊＊＊＊＊＊＊＊
方程（x-a）2+(y-b)2= r2
叫做圆的标准方程.
当圆心在原点，半径为r时，
圆的标准方程为：x2+y2=r2.
例1 练习2 练习3
例1｜
教学设计说明
设计思想：
在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
设计理念：
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。
设计思路：
本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。
媒体设计：
采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。
课件22张PPT。 授课教师： 青海师大附中 朱永祥
教材：人教版高中数学（必修）第二册（上）圆的标准方程主要思考的几个问题教材的地位和作用是什么？
怎样引入新课，获得学生的求知欲望？
学生在学习过程中会遇到什么困难？
如何结合教学内容，发展学生的能力？教材分析
教法分析
学法分析
教学程序
板书设计
圆的标准方程 教材分析教材的地位作用及前后联系
教学目标
教材的重、难点
教材的地位作用及前后联系圆是最常见的几何图形之一，在实际生活和生产实践中有广泛的应用。
初中比较系统地研究了圆的基本性质，高中内容是在初中所学知识及前几节内容基础上，进一步研究圆的方程，研究圆与其它图形的位置关系及应用。
圆的方程属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础。
圆的方程在解决实际问题中有着重要的应用 教学目标 (一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 教材的重、难点重点：圆的标准方程的理解、掌握。
难点：圆的标准方程的应用 教法分析 因为这一节的重点是圆的标准方程的理解、掌握。所以最重要的是让学生确信推理过程的正确性。为此，我采用引导－探究式的教学方法去发现推理的原理。教师引导，学生自主探索；民主开放、合作交流，师生对话；同时借助多媒体进行辅助教学；最后通过练习，发现问题，及时纠正，进行反馈教学。 学法分析 学生是主体，教师起引导作用，启发他们，让他们自己观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明,自己分析、解决相关问题。为此，我想应充分调动学生学习的积极性，引导他们自己动手、动脑、动口，分析、讨论，得出结论。通过反馈练习，指导学生尽快克服难点。 教学程序引入课题
讲授新课
学生练习
课时小结
课后作业复习提问、引入课题 设计意图：复习旧知识，同时为后面学生自主探求、归纳、得到圆的方程做好准备。
问题：如何求适合某种条件的点的轨迹？ ①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略，另外，可根据情况，也可省略步骤② ，直接列出方程）。
教师引导、学生思考 师生回忆：前面曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.
设计意图：为发现问题、给出方程而尝试探索，同时滲透数形结合的数学思想
产生问题：若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？引导启发：你是怎样得到的？圆上的点满足什么条件？延伸问题：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图,后一页），方程又是怎样的？
观察分析、给出方程延伸问题的解答：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的
点的集合，
由两点间的距离公式得
设计意图：通过学生自己动手运算，让学生深刻理解圆的标准方程的推理过程
M(x,y) C（a,b）rxyo方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2. 即：（x-a）2+(y-b)2= r2?理解方程、尝试练习 问题：圆的标准方程由哪些量决定？
1、写出下列各圆的标准方程：
①圆心在原点，半径是3： __________________________
②圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________
③经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：______________ 2、变式题.
①求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
设计意图：互动练习，旨在理解巩固圆的标准方程X2+y2=9(x-3)2+(y-4)2=5(x-8)2+(y+3)2=25答案：(x-1)2 + (y-3)2 = 256/25答案： C（a,0）, r=|a|②已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。（要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。）例题分析、巩固应用 设计意图：通过教师的引导，启发学生，让他们自己观察、 探索,自己分析、解决相关问题。 ［例1］：已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P
（ ， ）的切线的方程。xyoP∟?斜率怎样求？启发：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图），圆的切线有怎样的性质？
引导：你打算怎样求过P点的切线方程？解决切线问题［例1］′圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。 ［例2］ 已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）
的切线的方程。 归纳总结：圆的方程可看成 x*x+y *y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程：xo x+ yo y=r2
设计意图：学生通过运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力。同时让学生带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。 问题延伸：点P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上，試求过P点的圆的切线方程。 通过前两例，让学生大胆猜想一般给论。学生运用观察、类比自主给出证明。解决实际问题设计意图：进一步强化数形结合意识，突出用“坐标法”研究几何问题这一重要方法。 ［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）XYOA2P2PBA师生分析：
①建系；
②设圆的标准方程（待定系数）；
③求系数（求出圆的标准方程）；
④利用方程求A2P2的长度。
引导学生分析，共同完成解答。课堂练习课本Ｐ77练习2，3.
（让两名不同程度的学生在黑板上板演）设计意图：通过练习，指导学生进行模仿练习，发现问题，及时纠正，进行反馈教学。尽快克服难点。
课时小结通过本节学习：
1、掌握圆的标准方程 ；
2、理解并掌握切线方程的探求过程和方法 ；
3、能运用圆的方程解决实际问题. 设计意图：依据教材的重难点进行归纳总结,让学生明确本节学习的主要内容。课后作业
1、若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2=r2上
时，試求过P点的圆的切线方程。
2、课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
3、预习课本Ｐ77～Ｐ79
设计意图：激发学生不断求知、不断探索的欲望，培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。同时起到温故而知新的目的。 板书设计设计意图：突出重点，突破难点1．圆的标准方程
＊＊＊＊＊＊＊＊
方程（x-a）2 + (y-b)2 = r2
叫做圆的标准方程.
当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为： x2+y2=r2.
例1.
例1′.
例2.
练习1.例3.
练习2.谢谢各位老师的点评欢迎各位领导及老师到可爱的青海来做客美丽的青海湖
