[完全平方公式]
一、选择题
1.运用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2计算(x+)2,则公式中的2ab是( )
A.x B.x C.2x D.4x
2.计算(x-1)2的结果是 ( )
A.x2-x+1 B.x2-2x+1 C.x2-1 D.2x-2
3.计算(-a-b)2的结果是 ( )
A.a2+b2 B.a2+2ab+b2 C.a2-b2 D.a2-2ab+b2
4.下列各式中,能用完全平方公式计算的是 ( )
A.(x-y)(x+y) B.(x-y)(x-y) C.(x-y)(-x-y) D.-(x+y)(x-y)
5.若a2+ab+b2=(a-b)2+X,则整式X为 ( )
A.ab B.0 C.2ab D.3ab
6.若(a+3b)2=(a-3b)2+A,则A等于 ( )
A.6ab B.12ab C.-12ab D.24ab
7.将9.52变形正确的是 ( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=92+9×0.5+0.52
D.9.52=102-2×10×0.5+0.52
8.若(x+a)2=x2+bx+25,则 ( )
A.a=3,b=6
B.a=5,b=5或a=-5,b=-10
C.a=5,b=10
D.a=-5,b=-10或a=5,b=10
9.若n为正整数,则(2n+1)2-(2n-1)2的值 ( )
A.一定能被6整除 B.一定能被8整除
C.一定能被10整除 D.一定能被12整除
10.设a=x-2019,b=x-2021,c=x-2020,若a2+b2=34,则c2的值是 ( )
A.16 B.12 C.8 D.4
二、填空题
11.填空:( +2a)2=4a2+4a+1.
12.计算:9982= .
13.若x-y=6,xy=7,则x2+y2的值等于 .
14.公式(a-b)2=a2-2ab+b2可由公式(a+b)2=a2+2ab+b2推导得出.已知(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,则(a-b)4= .
三、解答题
15.运用完全平方公式计算:
(1)(2a+3b)2; (2)m+42;
(3)-x-2; (4)-+3b2.
16.(1)解方程:(x-1)2-(x-1)(x+5)=17;
(2)解不等式:(2x-5)2+(3x+1)2>13(x2-10).
17.[2019·合肥瑶海区期中] (1)如图图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形,图中阴影部分的面积用两种方法表示可得一个等式,这个等式为 ;
(2)若(4x-y)2=9,(4x+y)2=169,求xy的值.
18.若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值.
解:设9-x=a,x-4=b,
则ab=(9-x)(x-4)=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,
∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17.
请仿照上面的方法求解下列问题:
(1)若x满足(x-2018)2+(x-2021)2=31,求(x-2018)(x-2021)的值;
(2)如图图,已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
认真阅读材料,然后回答问题:
我们初中学习了多项式的运算法则,相应地,我们可以计算出多项式的展开式,如图图:(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,….
我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成如图图所示的形式:
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”.仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:
(1)(a+b)n的展开式中共有多少项
(2)请写出多项式(a+b)5的展开式.
答案
1.B 2.B
3.B 原式=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2.
4.B
5.D
6.B 由(a+3b)2=(a-3b)2+A,得A=(a+3b)2-(a-3b)2=a2+6ab+9b2-(a2-6ab+9b2)=12ab.
7.D 9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.
8.D 因为(x+a)2=x2+bx+25,
所以x2+2ax+a2=x2+bx+25.
所以解得或
9.B 原式=(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1)=8n,则原式的值一定能被8整除.
10.A 因为a=x-2019,b=x-2021,a2+b2=34,
所以(x-2019)2+(x-2021)2=34.
所以(x-2020+1)2+(x-2020-1)2=34.
所以(x-2020)2+2(x-2020)+1+(x-2020)2-2(x-2020)+1=34.
所以2(x-2020)2=32.
所以(x-2020)2=16.
又c=x-2020,所以c2=16.
11.1
12.996004 原式=(1000-2)2=1000000-4000+4=996004.
13.50 因为x-y=6,xy=7,
所以x2+y2=(x-y)2+2xy=62+2×7=50.
14.a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4
因为(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
所以(a-b)4=[a+(-b)]4
=a4+4a3(-b)+6a2(-b)2+4a(-b)3+(-b)4
=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4.
15.解:(1)原式=4a2+12ab+9b2.
(2)原式=m2+4m+16.
(3)原式=x2+x+.
(4)原式=-2b+9b2.
16.解:(1)x2-2x+1-x2-4x+5=17,
-2x-4x=17-1-5,
-6x=11,
x=-.
(2)4x2-20x+25+9x2+6x+1>13x2-130,
4x2-20x+9x2+6x-13x2>-130-25-1,
-14x>-156,
x<.
17.解:(1)(b+a)2-(b-a)2=4ab
(2)因为(4x+y)2-(4x-y)2=16xy=160,所以xy=10.
18.解:(1)设x-2018=a,x-2021=b,
∴a2+b2=31,a-b=3.
∴-2(x-2018)(x-2021)=-2ab=(a-b)2-(a2+b2)=9-31=-22,
∴(x-2018)(x-2021)=11.
(2)∵正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3,
∴FM=DE=x-1,DF=x-3.
∴(x-1)(x-3)=48.
阴影部分的面积=FM2-DF2=(x-1)2-(x-3)2.
设x-1=m,x-3=n,则mn=(x-1)(x-3)=48,m-n=(x-1)-(x-3)=2,
∴(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+192=196.
∵m>0,n>0,∴m+n>0.∴m+n=14.
∴(x-1)2-(x-3)2=m2-n2=(m+n)(m-n)=14×2=28.即阴影部分的面积是28.
[素养提升]
解:(1)由已知可得:(a+b)1的展开式中共有2项,
(a+b)2的展开式中共有3项,
(a+b)3的展开式中共有4项,
……
则(a+b)n的展开式中共有(n+1)项.
(2)(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,…,
则(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.[添括号法则]
一、选择题
1.3ab-4bc+1=3ab-( ),括号中所填入的式子应是 ( )
A.-4bc+1 B.4bc+1 C.4bc-1 D.-4bc-1
2.不改变多项式3b3-2ab2+4a2b-a3的值,把后三项放在前面是“-”号的括号中,以下正确的是 ( )
A.3b3-(2ab2+4a2b-a3) B.3b3-(2ab2+4a2b+a3)
C.3b3-(-2ab2+4a2b-a3) D.3b3-(2ab2-4a2b+a3)
3.若a-(b-c)=a+( )成立,则括号内应填入( )
A.b-c B.b+c C.-b+c D.-b-c
4.运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),下列变形正确的是 ( )
A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)]
C.[(x+2y)-1][(x-2y)+1] D.[x+(2y+1)]2
5.计算(a+b+c)2-(a-b+c)2的结果为 ( )
A.4ab+4bc B.4ac C.2ac D.4ab-4bc
6.已知(a+b+1)(a+b-1)=63,a2+b2=34,则ab的值为 ( )
A.30 B.20 C.15 D.10
二、填空题
7.(1)a+2b-c=a+( );
(2)a-b-c+d=a-( );
(3)(a+b-c)(a-b+c)=[a+( )][a-( )];
(4)2x+3y-4z+5t=-( )=+( )=2x-( )=2x+3y-( ).
8.在括号前面填上“+”或“-”号,使等式成立:
(1)(y-x)2= (x-y)2;
(2)(1-x)(2-x)= (x-1)(x-2).
9.若a2-2ab=-10,b2-2ab=16,则-a2+4ab-b2= .
10.利用乘法公式计算:(2-m-n)2= .
三、解答题
11.计算:-(1-m-n)·(1+m+n).
12.计算:(m+n-1)·(m-n+1)-(m-1)2+(n+1)2.
[数形结合] 我们知道:有些恒等式可以利用平面图形的面积来表示,如图图:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,就可以用①所示的面积关系来说明.
(1)请根据图②写出一个恒等式,并根据所写恒等式计算:(2x-y-3)2;
(2)若x2+y2+z2=1,xy+yz+xz=4,则x+y+z= ;
(3)现有如图图图③中的彩色卡片:A型、B型、C型,把这些卡片不重叠、不留缝隙地贴在棱长为(a+b)的100个正方体表面进行装饰,A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张,共需多少费用
答案
1.C 2.D 3.C
4.B 运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1),应变形为[x+(2y-1)][x-(2y-1)].
5.A (a+b+c)2-(a-b+c)2=[(a+b+c)+(a-b+c)][(a+b+c)-(a-b+c)]=(2a+2c)·2b=4ab+4bc.
故选A.
6.C 因为(a+b+1)(a+b-1)=63,
所以(a+b)2-1=63.所以(a+b)2=64.
所以a2+2ab+b2=64.
因为a2+b2=34,所以2ab=64-34=30.
所以ab=15.
7.(1)2b-c (2)b+c-d (3)b-c b-c
(4)-2x-3y+4z-5t 2x+3y-4z+5t -3y+4z-5t 4z-5t
8.(1)+ (2)+
9.-6 原式=-(a2-2ab)-(b2-2ab)=10-16=-6.
10.4+m2+n2-4m-4n+2mn
(2-m-n)2=[2-(m+n)]2=22-2×2(m+n)+(m+n)2=4+m2+n2-4m-4n+2mn.
11.解:原式=-[1-(m+n)][1+(m+n)]
=-[12-(m+n)2]
=-(1-m2-2mn-n2)
=-1+m2+2mn+n2.
12.解:原式=2n+2m-1.
[素养提升]
解:(1)恒等式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所以(2x-y-3)2=4x2+y2+9-4xy-12x+6y.
(2)±3 因为x2+y2+z2=1,xy+yz+xz=4,
所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=1+2×4=9.所以x+y+z=±3.
(3)棱长为(a+b)的100个正方体的表面积是:
100×6×(a+b)2=600a2+600b2+1200ab.
因为图中A型卡片是正方形,面积是a2,B型卡片是长方形,面积是ab,C型卡片是正方形,面积是b2,所以需要600张A型卡片,600张C型卡片,1200张B型卡片.
所以所需费用为600×0.7+600×0.4+1200×0.5=1260(元).
