[运用平方差公式分解因式]
一、选择题
1.[2020·金华] 下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( )
A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2
2.把下列各式分解因式,结果为(x-2y)(x+2y)的多项式是 ( )
A.x2-4y2 B.x2+4y2 C.-x2+4y2 D.-x2-4y2
3.计算552-152的结果是 ( )
A.40 B.1600 C.2400 D.2800
4.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为 ( )
A.-21 B.21 C.-10 D.10
5.计算(a-1)2-(a+1)2的结果是 ( )
A.-2 B.-4 C.-4a D.2a2+2
6.对于任意整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能 ( )
A.被20整除 B.被7整除 C.被21整除 D.被n+4整除
7.某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字是 ( )
A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8
8.若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为 ( )
A.200 B.-200 C.100 D.-100
9.若a,b,c是三角形的三边长,则式子(a-b)2-c2的值是 ( )
A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定
10.[2019·临沂] 将a3b-ab分解因式,正确的结果是 ( )
A.a(a2b-b) B.ab(a-1)2
C.ab(a+1)(a-1) D.ab(a2-1)
11.如图图,阴影部分是从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形,嘉嘉(图①)和琪琪(图②)分别给出了各自的割拼方法,其中能够验证平方差公式的是 ( )
A.嘉嘉 B.琪琪 C.都能 D.都不能
二、填空题
12.分解因式:1-x2= .
13.分解因式:9x2-y2= .
14.计算:10×912-10×92= .
15.已知x,y满足则x2-y2= .
16.如图图,从边长为(a+5)的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形,剩余部分沿虚线剪开再拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是 .
三、解答题
17.把下列各式分解因式:
(1)25m2-4n2;
(2)a2(x-y)+b2(y-x);
(3)(4x-3y)2-25y2;
(4)9(3a+2b)2-25(a-2b)2.
18.把下列各式分解因式:
(1)(m+1)(m-9)+8m;
(2)x2(m-2)+9y2(2-m).
19.已知a2-b2-5=0,c2-d2-2=0,求(ac+bd)2-(ad+bc)2的值.
20.如图图,在一块边长为a的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为bb<的小正方形,做一个无盖长方体纸盒,长方体纸盒所用的纸板(图中阴影部分)的面积是多少 当a=22.4,b=7.7时,这个面积的值又是多少 请利用分解因式的方法计算.
21.发现:任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是4的倍数;
验证:(1)52-32的结果是4的几倍
(2)设三个连续的整数中,中间的一个数为n,计算最大数与最小数的平方差,并说明它是4的倍数.
延伸:任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数,请说明理由.
[类比迁移] 先阅读以下材料,然后解答问题.
分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y),这种分解因式的方法称为分组分解法.
请用分组分解法分解因式:
(1)a2-b2+a2b-ab2;
(2)a3-b3+a2b-ab2.
答案
1.C
2.A
3.D 552-152=(55+15)×(55-15)=70×40=2800.
4.A
5.C (a-1)2-(a+1)2=(a-1+a+1)(a-1-a-1)=2a·(-2)=-4a.
6.A (n+7)2-(n-3)2=[(n+7)-(n-3)][(n+7)+(n-3)]=10(2n+4)=20(n+2),故多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能被20整除.
7.B 由(x2+4)(x+2)(x-▲)得出▲=2,则(x2+4)(x+2)(x-2)=(x2+4)(x2-4)=x4-16,则■=16.
8.B 因为2m+n=25,m-2n=2,
所以(m+3n)2-(3m-n)2
=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]
=(4m+2n)(-2m+4n)
=-4(2m+n)(m-2n)
=-4×25×2
=-200.
9.B 因为(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),且a,b,c是三角形的三边长,
所以a-b+c>0,a-b-c<0.
所以(a-b)2-c2的值是负数.
故选B.
10.C a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).
11.C 在图①中,由阴影部分的面积相等,左边的图形阴影部分的面积=a2-b2,右边的图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b),可得a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式;
在图②中,由阴影部分的面积相等,左边的图形阴影部分的面积=a2-b2,右边的图形阴影部分的面积=(2b+2a)·(a-b)=(a+b)(a-b),可得a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式.
12.(1-x)(1+x) 1-x2=(1-x)(1+x).
13.(3x+y)(3x-y)
14.82000 原式=10×(912-92)=10×(91+9)(91-9)=82000.
15.15 由已知可得3x+3y=15,则x+y=5,x-y=3,故x2-y2=(x+y)(x-y)=15.
16.a+10 拼成的长方形的面积=(a+5)2-52=(a+5+5)(a+5-5)=a(a+10).
因为拼成的长方形的一边长是a,所以另一边长是a+10.
17.解:(1)原式=(5m+2n)(5m-2n).
(2)原式=a2(x-y)-b2(x-y)
=(x-y)(a2-b2)
=(x-y)(a+b)(a-b).
(3)原式=(4x-3y+5y)(4x-3y-5y)
=(4x+2y)(4x-8y)
=8(2x+y)(x-2y).
(4)原式=[3(3a+2b)+5(a-2b)][3(3a+2b)-5(a-2b)]
=(14a-4b)(4a+16b)
=8(7a-2b)(a+4b).
18.解:(1)原式=m2-8m-9+8m=m2-9=(m+3)(m-3).
(2)原式=x2(m-2)-9y2(m-2)=(m-2)(x2-9y2)=(m-2)(x+3y)(x-3y).
19.解:因为a2-b2-5=0,c2-d2-2=0,
所以(a+b)(a-b)=5,(c+d)(c-d)=2,
则原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+bd-ad-bc)
=[c(a+b)+d(a+b)][c(a-b)-d(a-b)]
=(a+b)(c+d)(a-b)(c-d)
=(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)
=10.
20.解:长方体纸盒所用的纸板(图中阴影部分)的面积为a2-4b2.
当a=22.4,b=7.7时,
原式=(a+2b)(a-2b)
=(22.4+15.4)(22.4-15.4)
=37.8×7
=264.6.
21.解:验证:(1)52-32=25-9=16,16÷4=4,
则52-32的结果是4的4倍.
(2)三个连续的整数中,中间的一个数为n,则最大的数为n+1,最小的数为n-1,
(n+1)2-(n-1)2=n2+2n+1-n2+2n-1=4n.
因为n是整数,
所以任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是4的倍数.
延伸:设三个连续的奇数中,中间的一个奇数为m,则最大的奇数为m+2,最小的奇数为m-2,
(m+2)2-(m-2)2=m2+4m+4-m2+4m-4=8m.
因为m是整数,
所以任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数.
[素养提升]
解:(1)原式=(a2-b2)+(a2b-ab2)
=(a+b)(a-b)+ab(a-b)
=(a-b)(a+b+ab).
(2)a3-b3+a2b-ab2
=(a3+a2b)-(b3+ab2)
=a2(a+b)-b2(b+a)
=(a+b)(a2-b2)
=(a+b)2(a-b).[运用完全平方公式分解因式]
一、选择题
1.下列多项式是完全平方式的是 ( )
A.a2+2ax+4x2 B.-a2-4ax+4x2 C.x2+4+4x D.-1+4x2
2.多项式4y2-12y+9因式分解的结果为 ( )
A.(y-3)2 B.(2y-3)2 C.(y+3)2 D.(2y-9)2
3.计算1252-50×125+252的结果是 ( )
A.100 B.150 C.10000 D.22500
4.若x2+ax+16=(x-4)2,则a的值为 ( )
A.-8 B.-4 C.8 D.4
5.若关于x的二次三项式x2-ax+36是完全平方式,则a的值是 ( )
A.-6 B.±6 C.12 D.±12
6.若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为 ( )
A.6或-2 B.-2 C.6 D.-6或2
7.把多项式-2x3+12x2-18x分解因式,结果正确的是 ( )
A.-2x(x2+6x-9) B.-2x(x-3)2 C.-2x(x+3)(x-3) D.-2x(x+3)2
8.分解因式(x-1)2-2(x-1)+1的结果是 ( )
A.(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2
9.多项式m2-4与多项式m2-4m+4的公因式是 ( )
A.m-2 B.m+2 C.m+4 D.m-4
10.如图图,有三种规格的卡片共9张,其中边长为a的正方形卡片有4张,边长为b的正方形卡片有1张,长、宽分别为a,b的长方形卡片有4张.现使用这9张卡片无重叠、无缝隙地拼成一个大的正方形,则这个大正方形的边长为 ( )
A.2a+b B.4a+b C.a+2b D.a+3b
11.如图图,将图甲中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图乙,根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是 ( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.a2+2ab+b2=(a+b)2
C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.(a+b)2-(a-b)2=4ab
二、填空题
12.分解因式:-x2-4y2+4xy= .
13.已知y2+my+121=(y+n)2,则n= .
14.已知x+y=0.2,x+3y=1,则式子x2+4xy+4y2的值为 .
15.若2a=3b-1,则4a2-12ab+9b2-1的值为 .
16.若a-b=3,x-y=2,则a2-2ab+b2-x+y= .
17.我们已经学过用面积来说明公式.如图图x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用如图图甲中的面积来说明.
请写出图乙的面积所说明的公式:x2+(p+q)x+pq= .
三、解答题
18.把下列各式分解因式:
(1)x2-6x+9; (2)x2-6xy+9y2;
(3)4x2-12xy+9y2;
(4)4(x+m)2-12(x+m)y+9y2.
19.用简便方法计算:
(1)482+48×24+122;
(2)40×3.152+80×3.15×1.85+40×1.852.
20.把下列各式分解因式:
(1)(a-))a+1; (2)(a+1)(a+5)+4.
21.把下列各式分解因式:
(1)3a2-12ab+12b2;
(2)9(a-b)2+36(b2-ab)+36b2.
22.给出三个多项式:①2x2+4x-4;②2x2+12x+4;③2x2-4x.请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果分解因式.
[整体思想] 先阅读材料,再回答问题:
分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1.
将a-b看成一个整体,设M=a-b,则原式=M2-2M+1=(M-1)2.
将M=a-b代入还原,得原式=(a-b-1)2.
上述解题过程中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题:
(1)分解因式:(x+y)(x+y-4)+4;
(2)若a为正整数,则(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1为整数的平方,试说明理由.
答案
1.C
2.B 4y2-12y+9=(2y)2-2·2y·3+32=(2y-3)2.
3.C 1252-50×125+252=(125-25)2=10000.
4.A
5.D 依题意,得-ax=±2×6x,
解得a=±12.
6.A 因为多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,
所以-3(m-2)=±12.
所以m=6或m=-2.
7.B
8.D (x-1)2-2(x-1)+1=(x-1-1)2=(x-2)2.
9.A 因为m2-4=(m+2)(m-2),m2-4m+4=(m-2)2,所以多项式m2-4与多项式m2-4m+4的公因式是m-2.
10.A 由题可知,9张卡片的总面积为4a2+4ab+b2.因为4a2+4ab+b2=(2a+b)2,所以大正方形的边长为2a+b.
11.C 图甲中阴影部分的面积为a2-2ab+b2,图乙中阴影部分的面积为(a-b)2,
所以a2-2ab+b2=(a-b)2.
12.-(x-2y)2
13.±11 因为y2+my+121=(y+n)2=y2+2ny+n2,所以n2=121,解得n=±11.
14.0.36 因为x+y=0.2,x+3y=1,所以2x+4y=1.2,即x+2y=0.6.则原式=(x+2y)2=0.36.
15.0 因为2a=3b-1,所以2a-3b=-1.所以4a2-12ab+9b2-1=(2a-3b)2-1=(-1)2-1=0.
16.7 a2-2ab+b2-x+y=(a-b)2-(x-y).
把a-b=3,x-y=2代入,得原式=32-2=7.
17.(x+p)(x+q)
18.解:(1)x2-6x+9=(x-3)2.
(2)x2-6xy+9y2=(x-3y)2.
(3)4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2.
(4)4(x+m)2-12(x+m)y+9y2=(2x+2m-3y)2.
19.解:(1)482+48×24+122=(48+12)2=3600.
(2)原式=40×(3.152+2×3.15×1.85+1.852)=40×(3.15+1.85)2=40×25=1000.
20.解:(1)原式=a2-a+1=(a-1)2.
(2)原式=a2+6a+5+4=(a+3)2.
21.解:(1)原式=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.
(2)原式=9[(a-b)2-4b(a-b)+4b2]=9(a-b-2b)2=9(a-3b)2.
22.解:①+②得2x2+4x-4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x(x+4);
①+③得2x2+4x-4+2x2-4x=4x2-4=4(x+1)(x-1);
②+③得2x2+12x+4+2x2-4x=4x2+8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2.
[素养提升]
解:(1)设M=x+y,
则原式=M(M-4)+4=M2-4M+4=(M-2)2.
将M=x+y代入还原,得原式=(x+y-2)2.
(2)原式=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a2-5a+4)(a2-5a+6)+1.
令N=a2-5a+4.
因为a为正整数,所以N=a2-5a+4也是整数,
则原式=N(N+2)+1=N2+2N+1=(N+1)2.
因为N为整数,所以原式=(N+1)2为整数的平方.
