[分式的混合运算]
一、选择题
1.计算-·(m-1)的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.m-1 D.1-m
2.计算(a-)÷的结果是 ( )
A.a-b B.a+b C. D.
3.计算(-)·(x-3)的结果是 ( )
A.2 B. C. D.
4.[2019·北京] 如图图果m+n=1,那么式子(+)·(m2-n2)的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5.若m=-,n=+,则m2-n2等于( )
A.4 B.-4 C.0 D.
二、填空题
6.[2020·黄冈] 计算÷(1-)的结果是 .
7.李明同学从家到学校的速度是a千米/时,沿原路从学校返回家的速度是b千米/时,则李明同学来回的平均速度是 千米/时.(用含a,b的式子表示)
8.若a,b互为倒数,则式子÷的值为 .
9.计算:·÷+= .
三、解答题
10.计算:(1)÷+;
(2)·.
11.先化简,再求值:÷,其中x=6.
12.[2019·营口] 先化简,再求值:(+a-3)÷,其中a为不等式组的整数解.
13.[2019·广元] 先化简:(-x-1)·,再从1,2,3中选取一个适当的数作为x的值代入求值.
14.解答一个问题后,将原问题中的结论与条件之一交换,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如图图,原问题是“若长方形的两边长分别为3,4,求长方形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若长方形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”.解答下面的问题:
(1)设A=-,B=x-,求A与B的积;
(2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.
15.先化简:(-)÷,然后解答下列问题:
(1)当x=3时,求式子的值;
(2)原式的值能等于-1吗 为什么
[实际应用] 甲、乙两工程队各承担了一条2千米公路的维修工作,甲队有一半时间每天维修公路x千米,另一半时间每天维修公路y千米.乙队维修前1千米公路每天维修x千米,维修后1千米公路每天维修y千米(x≠y).
(1)求甲、乙两队完成任务分别需要的时间(用含x,y的式子表示);
(2)甲、乙两队哪队先完成任务
答案
1.B 原式===-1.
2.B 原式=·=·=a+b.
3.B 原式=·(x-3)-·(x-3)=1-=.故选B.
4.D 原式=·(m+n)(m-n)+·(m+n)(m-n)
=+
=
=
=3(m+n)
=3.
5.B 因为m+n=,m-n=-,
所以m2-n2=(m+n)(m-n)=-4.
6.
7. 设李明同学从家到学校所走的路程为x千米,则从家到学校所用的时间为小时;从学校返回家所走的路程也为x千米,则从学校返回家所用的时间为小时,那么走两段路所用的总时间为小时.
所以李明同学来回的平均速度为2x÷+===(千米/时).
8.1 原式=÷=(a+b)·=ab.
因为a,b互为倒数,所以ab=1.
所以原式=1.故答案为1.
9.
10.解:(1)÷+
=·+
=-
=.
(2)·
=·
=·
=·
=2a-4.
11.解:原式=-÷
=÷
=÷
=·
=.
当x=6时,原式==-.
12.解:原式=·
=·=
=.
解原不等式组得
所以不等式组的整数解为a=2.
当a=2时,原式==.
13.解:原式=-·
=·
=.
当x=1,2时,分式无意义,
当x=3时,原式===-5.
14.解:(1)A·B=(-)(x-)=(-)·=3(x+2)-(x-2)=2x+8.
(2)(答案不唯一)“逆向”问题一:已知A·B=2x+8,B=x-,求A.
解:A=(A·B)÷B=(2x+8)÷x-=(2x+8)·=.
“逆向”问题二:已知A·B=2x+8,A=-,求B.
解:B=(A·B)÷A=(2x+8)÷-=2(x+4)·=.
15.解:原式=·=·=.
(1)当x=3时,原式=2.
(2)不能.
理由:如图图果=-1,那么x+1=-x+1.
所以x=0.
当x=0时,除式=0.
所以原式的值不能等于-1.
[素养提升]
解:(1)甲队完成任务需要的时间t1=2÷(x+y)=(天),
乙队完成任务需要的时间t2=+=(天).
所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为天,天.
(2)t1-t2=-==.
因为x≠y,x>0,y>0,
所以(x-y)2>0,xy(x+y)>0.
所以-(x-y)2<0.
所以<0,即t1-t2<0.
所以t1所以甲队先完成任务.[分式的加减]
一、选择题
1.计算-的结果是 ( )
A.1 B.x C. D.
2.计算+的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.2y-x D.x-2y
3.如图图所示的分式化简,对于所列的每一步运算,依据错误的是 ( )
A.①:同分母分式的加减法法则
B.②:合并同类项法则
C.③:提公因式法
D.④:等式的基本性质
4.[2019·兰州] 计算-的结果是 ( )
A.a-1 B.a+1 C. D.
5.[2019·天津河北区模拟] 计算+1的结果为 ( )
A. B. C. D.
6.[2019·天津模拟] 计算-的结果为 ( )
A. B. C. D.
7.如图图为小明和小红两人的解题过程.下列叙述正确的是 ( )
计算:+.
A.只有小明的正确
B.只有小红的正确
C.小明、小红的都正确
D.小明、小红的都不正确
8.若=+,则M,N的值分别为( )
A.-1,-2 B.-2,-1 C.1,2 D.2,1
二、填空题
9.计算:-= .
10.学习了“分式的加减法”的相关知识后,小明同学画出了如图图所示的框图,图中①为 ,②为 .
11.若-=1,则分式的值是 .
12.我国是一个水资源贫乏的国家,每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯.为提高水资源的利用率,某住宅小区安装了循环用水装置.经测算,原来a天用水b吨,现在这些水可多用4天,现在每天比原来少用水 吨.
三、解答题
13.计算:
(1)+-; (2)+.
14.计算:
(1)+; (2)-x+1;
(3)+; (4)--.
15.已知a≥1,M=,N=.
(1)当a=1时,M= ,N= ;当a=2时,M= ,N= .
(2)猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.
16.[2019·信阳淮滨县期末] 分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如图图果分子的次数低于分母的次数,称这样的分式为真分式.例如图图,分式,是真分式.如图图果分子的次数不低于分母的次数,称这样的分式为假分式.例如图图,分式,是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如图图,==1+.
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和;
(2)若分式的值为整数,求x的整数值.
[模仿迁移] 我们曾遇到过这样的问题:已知=,=,=,求的值.根据条件中式子的特点,我们可以知道abc≠0,可能会想起+=,于是将每个分式的分子、分母颠倒位置,问题转化为:已知+=3,+=4,+=5,求++的值.这样解答就方便了,对有些与分式有关的问题,直接求解有困难时,可考虑类似的处理方法.
试按照这样的思路,求解下列问题:已知=,求的值.
答案
1.A
2.B +=-==-1.
3.D ①同分母分式的加减法法则;②合并同类项法则;③提公因式法;④分式的基本性质.因此依据错误的是选项D.
4.A -===a-1.
5.B +1=+=.
6.B -=-==.
7.D +=+=-=-
=.
故小明、小红的都不正确.
8.B =+=,
所以M+N=-3,N-M=1,
解得M=-2,N=-1.
9.2
10.约分 通分
11.-2 -=1,则=1.所以y-x=xy.所以=-=-=-2.
12. 依题意得-==(吨).
13.解:(1)+-==-.
(2)+=-==-1.
14.解:(1)原式=+=.
(2)-x+1=-=-==.
(3)+=+==1.
(4)--
=--
=
=
=
=-.
15.解:(1)
(2)猜想:M≥N.
证明:M-N=-
=-
=
=.
因为a≥1,
所以a-1≥0,(a+3)(a+1)>0.
所以M-N≥0.
所以M≥N.
16.解:(1)==2-.
(2)===x-1+.
因为分式的值为整数,且x为整数,
所以x+1=±1.
所以x的整数值为-2或0.
[素养提升]
解:由题意,得m≠0.
因为=,
所以m+=5.
所以m2+2+=25.
所以m2+=23.
所以m4+2+=529.
所以m4+1+=528.
因为的倒数为m4+1+,
所以=.