[列分式方程解决实际问题]
一、选择题
1.[2020·柳州] 甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙多做6个,甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等.设乙每小时做x个零件,以下所列方程正确的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
2.[2020·福建] 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如图图果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
A.3(x-1)= B.=3 C.3x-1= D.=3
3.[2020·朝阳] 某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买毽球,如图图果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如图图果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生 设共有x名学生,依据题意列方程得 ( )
A.50×=×40 B.40×=×50
C.40×=×50 D.50×=×40
4.两个小组同时从甲地出发,沿相同路线匀速步行到乙地,甲、乙两地相距7500米,第一组的步行速度是第二组步行速度的1.2倍,并且比第二组早15分钟到达乙地.设第二组的步行速度为x千米/时,根据题意可列方程为 ( )
A.-=15 B.-=
C.-=15 D.-=
二、填空题
5.端午节当天,“味美早餐店”的粽子打9折出售,小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱,比平时多买了3个,求平时每个粽子卖多少元.设平时每个粽子卖x元,列方程为 .
6.某市今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50.4元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8 立方米,设去年居民用水价格为x元/米3,则所列方程为 .
7.[2019·盘锦] 某班学生从学校出发前往科技馆参观,学校距离科技馆15 km,一部分学生骑自行车先走,过了15 min后,其余学生乘公交车出发,结果同时到达科技馆.已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍,那么学生骑自行车的速度是 km/h.
三、解答题
8.[2020·丹东] 为帮助贫困山区孩子学习,某学校号召学生自愿捐书,已知七、八年级同学捐书总数都是1800本,八年级捐书人数比七年级多150人,七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍.求八年级捐书人数是多少.
9.甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米,然后乘公交车去学校,乙同学骑自行车去学校.已知甲的步行速度是乙骑自行车速度的,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校,结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度;
(2)当甲同学到达学校时,乙同学离学校还有多远
10.某高速铁路正在建设中,甲、乙两个工程队计划参与此项工程建设,甲队单独施工30天完成该项工程的,这时乙队加入,两队还需同时施工15天,才能完成该项工程.
(1)若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程
[探究应用] 金泉街道改建工程指挥部要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作,再做30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天;
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,要安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用 若不够用,需追加预算多少万元
答案
1.C 2.A 3.B
4.D 若第二组的步行速度为x千米/时,
则第一组的步行速度为1.2x千米/时.
第一组到达乙地所需的时间为小时;
第二组到达乙地所需的时间为小时.
因为第一组比第二组早15分钟到达乙地,
所以列出的方程为-=.
故选D.
5.=-3
6.-=8
7.20 设学生骑自行车的速度是x km/h.
根据题意,得-=.
解得x=20.
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意.
故学生骑自行车的速度是20 km/h.
8.解:设八年级捐书人数是x人,则七年级捐书人数是(x-150)人.依题意有
×1.5=.
解得x=450.
经检验,x=450是原方程的解,且符合题意.
答:八年级捐书人数是450人.
9.解:(1)设乙骑自行车的速度为x米/分,则甲步行的速度为x米/分,公交车的速度为2x米/分.
根据题意,得+=-2.
解得x=300.
经检验,x=300是原方程的解,且符合题意.
答:乙骑自行车的速度为300米/分.
(2)300×2=600(米).
答:当甲同学到达学校时,乙同学离学校还有600米.
10.解:(1)由题意知,甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷=90(天).
设乙队单独施工需要x天完成该项工程,根据题意,得+=1.
解得x=30.
经检验,x=30是原方程的解,且符合题意.
答:若乙队单独施工,需要30天才能完成该项工程.
(2)设乙队施工y天才能完成该项工程,根据题意,得
1-≤.
解得y≥18.
答:乙队至少施工18天才能完成该项工程.
[素养提升]
解:(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要x天.根据题意,得
+30(+)=1.
解得x=90.
经检验,x=90是原分式方程的解,且满足题意.这时x=×90=60.
答:甲、乙两队单独完成这项工程分别需要60天和90天.
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天.
根据题意,得y=1.解得y=36.
则需要施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元).
因为50.4>50,
所以工程预算的施工费用不够用,需追加预算50.4-50=0.4(万元).[分式方程及其解法]
一、选择题
1.下列各式是分式方程的是 ( )
A.+=1 B.+2x=3 C.=2 D.-
2.把分式方程=转化为一元一次方程时,方程两边需同乘 ( )
A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4)
3.解分式方程=1-,去分母后得到的方程正确的是 ( )
A.-2x=1-(2-x) B.-2x=(2-x)+1 C.2x=(x-2)-1 D.2x=(x-2)+1
4.在解分式方程+=1时,我们第一步通常是去分母,即方程两边同乘最简公分母(x-1),把分式方程变形为整式方程求解.解决这个问题用到的数学思想是 ( )
A.数形结合 B.转化思想 C.模型思想 D.特殊到一般
5.若方程+=6的解是x=2,则m的值为 ( )
A.2 B.-2 C.2.4 D.-2.4
6.分式方程-=的解为 ( )
A.x=3 B.x=-3 C.无解 D.x=3或x=-3
7.若关于x的方程=2+无解,则m的值为 ( )
A.-5 B.-8 C.-2 D.5
8.[2019·鸡西] 已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则m的取值范围是 ( )
A.m≤3 B.m<3 C.m>-3 D.m≥-3
二、填空题
9.[2019·铜仁] 分式方程=的解为 .
10.若式子和的值相等,则x= .
11.当a= 时,关于x的方程=的解为x=0.
12.若关于x的分式方程=a无解,则a的值为 .
13.当a= 时,关于x的方程-=1的解与方程=3的解相同.
三、解答题
14.解分式方程:
(1)+=;
(2)[2020·陕西] -=1;
(3)+=.
15.如图图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是-3和,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
16.小明解方程-=1的过程如图图下:
解:方程两边同乘x,得1-(x-2)=1. ①
去括号,得1-x-2=1. ②
移项,得-x=1-1+2. ③
合并同类项,得-x=2. ④
解得x=-2. ⑤
所以原方程的解为x=-2. ⑥
请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
17.已知关于x的方程:-=1.
(1)当a=3时,求这个方程的解;
(2)若这个方程无解,求a的值.
1.[拓广应用] 已知关于x的分式方程+=1的解为负数,则k的取值范围是 .
2.[整体换元法] 阅读下列材料,回答问题:
方程-=-的解为x=1;
方程-=-的解为x=2;
方程-=-的解为x=3;
……
(1)请你观察上述方程及其解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并写出这个方程的解;
(2)根据(1)中所得的结论,写出一个解为x=-5的分式方程.
答案
1.C 2.D 3.D 4.B 5.C
6.C 去分母,得12-2(x+3)=x-3.解得x=3.检验:当x=3时,x2-9=0,故x=3不是原分式方程的解.故原方程无解.
7.A 分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解得到x+1=0,求出x的值,代入整式方程求出m的值即可.具体的解答过程如图图下:
去分母,得3x-2=2x+2+m.
由分式方程无解,得到x+1=0,即x=-1.
代入整式方程,得-5=-2+2+m.
解得m=-5.
故选A.
8.A =1,
方程两边同乘(x-3),得2x-m=x-3.
移项及合并同类项,得x=m-3.
因为分式方程=1的解是非正数,x-3≠0,
所以解得m≤3.
9.y=-3 去分母,得5y=3y-6,
解得y=-3.
经检验,y=-3是分式方程的解.
则分式方程的解为y=-3.
10.7 11.
12.±1 去分母,得x-a=a(x+1).
整理,得(a-1)x=-2a.
当a=1时,0·x=-2,该方程无解.
当a≠1时,x=-.若x=-1,则原分式方程无解,此时-1=-,解得a=-1.
综上可知,当a=±1时原分式方程无解.
故答案为±1.
13. 由方程=3得x-4=3x.解得x=-2.当x=-2时,x≠0.所以x=-2是方程=3的解.又因为方程-=1的解与方程=3的解相同,因此x=-2也是方程-=1的解.这时-=1.解得a=.当a=时,a-1≠0,故a=满足条件.
14.解:(1)方程两边同乘(9x-3),
得2(3x-1)+3x=1.解得x=.
检验:当x=时,9x-3=0,
所以x=不是原方程的解.
所以原分式方程无解.
(2)方程两边同乘x(x-2),得
(x-2)2-3x=x(x-2).
即x2-4x+4-3x=x2-2x,
解得x=.
检验:当x=时,x(x-2)≠0,
所以x=是分式方程的解.
(3)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得
7(x-1)+3(x+1)=6x.
解得x=1.
检验:当x=1时,x(x+1)(x-1)=0,
所以x=1不是原方程的解.
故原分式方程无解.
15.解:由题意得=3.
解得x=.
经检验,x=是原方程的解.
所以x=.
16.解:小明的解答过程有三处错误:
步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥前少“检验”步骤.
正确的解答过程如图图下:
方程两边同乘x,得1-(x-2)=x.
去括号,得1-x+2=x.
移项,得-x-x=-2-1.
合并同类项,得-2x=-3.
两边同除以-2,得x=.
经检验,x=是原方程的解.
所以原方程的解是x=.
17.解:(1)当a=3时,原方程为-=1.
方程两边同乘(x-1),得3x+1+2=x-1.
解这个整式方程,得x=-2.
检验:当x=-2时,x-1=-2-1=-3≠0.
所以x=-2是原方程的解.
(2)方程两边同乘(x-1),得ax+1+2=x-1,
即(a-1)x=-4.
①当a=1时,此方程无解.
②当x=1时,原分式方程无解,
将x=1代入整式方程,得a-1=-4.
解得a=-3.
综上,a的值为1或-3.
[素养提升]
1.k>-且k≠0 去分母,得k(x-1)+(x+k)(x+1)=(x+1)(x-1).
整理,得(2k+1)x=-1.
因为方程+=1的解为负数,
所以2k+1>0且x≠±1,
即2k+1>0且-≠±1.
解得k>-且k≠0,
即k的取值范围为k>-且k≠0.
故答案为k>-且k≠0.
2.解:(1)分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差,这四个整数左边两个连续,右边两个连续,左右两边不连续,但只间隔一个整数,每个分式的分子都是1,方程的解正好是中间被省略的那个整数,
即-=-,方程的解是x=n(n为整数).
(2)将n=-5代入上式,可得所求分式方程为
-=-.
[点评] 总结规律要从整体和部分两个方面入手,防止片面地总结,得出错误结论.
此题第(1)问的规律方程也可以写成:-=-,此时,方程的解应为x=n+2(n为整数).
