[三角形的内角和定理]
一、选择题
1.已知在△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,则∠C的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.在一个三角形中,有一个角是55°,则另外两个角可能是 ( )
A.95°,20° B.45°,80° C.55°,60° D.90°,20°
3.如图图,小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分,测得其中两个角的度数分别为28°,62°,于是他很快判断出这个三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
4.[2020·大连] 如图图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
5.在△ABC中,若∠C=40°,∠B=4∠A,则∠A的度数是 ( )
A.30° B.28° C.26° D.40°
6.在△ABC中,若∠B=3∠A,∠C=2∠B,则∠B的度数为 ( )
A.18° B.36° C.54° D.90°
7.如图图,点E,F分别在AB,CD上,∠B=30°,∠C=50°,则∠1+∠2等于 ( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
8.如图图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,∠A=65°,∠B=30°,则∠DFC的度数是( )
A.65° B.35° C.80° D.85°
9.如图图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,则∠ADE的度数是 ( )
A.54° B.50° C.45° D.40°
10.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.
如图图,已知△ABC.
求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过点A作直线EF∥ ,∴∠2=∠C(两直线平行, ◆ 相等).同理∠1=∠B.
∵∠1+∠2+∠3= ☆ (平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°( ).则下列回答正确的是 ( )
A. 代表AB B.◆代表同位角
C.☆代表180° D. 代表等式的性质
11.如图图,在△ABC中,∠ACB=70°,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 ( )
A.70° B.108° C.110° D.125°
二、填空题
12.如图图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就可以说明一个几何定理.请你写出这个定理的内容: .
13.在△ABC中,∠A=72°,∠B=∠C,则∠C= °.
14.如图图,已知AB,CD相交于点O,且∠A=38°,∠B=58°,∠C=44°,则∠D= °.
15.如图图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.若∠A=70°,则∠BOC= °.
16.定义:当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如图图果一个“特征三角形”的一个内角为48°,那么“特征角”α的度数为
.
三、解答题
17.如图图,AD是△ABC的角平分线,∠B=35°,∠BAD=30°,求∠C的度数.
18.在△ABC中,∠B=55°,且3∠A=∠B+∠C,求∠A和∠C的度数.
19.如图图,用钢筋做支架,要求BA,DC相交所成的锐角为32°,现测得∠BAC=∠DCA=115°,则这个支架符合设计要求吗 为什么
20.如图图,A处在B处的北偏西45°方向,C处在B处的北偏东15°方向,C处在A处的南偏东80°方向,求∠ACB的度数.
[转化思想] 如图图,将一块三角尺DEF放置在△ABC上,使该三角尺的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.
(1)∠DBC+∠DCB= 度;
(2)过点A作直线MN∥DE,若∠ACD=20°,试求∠CAM的大小.
答案
1.A
2.B ∵在一个三角形中,有一个角是55°,∴另外的两个角的和为125°,各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.
3.C
4.D ∵∠C=180°-∠A-∠B,∠A=60°,∠B=40°,∴∠C=80°.∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C=80°.
5.B ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=40°,∠B=4∠A,∴5∠A+40°=180°.∴∠A=28°.
6.C ∵∠B=3∠A,∠C=2∠B,
∴∠C=6∠A.
设∠A=x,则∠B=3x,∠C=6x.
由三角形内角和定理可得x+3x+6x=180°,
解得x=18°.∴∠B=3x=54°.
7.B 如图图图,延长BA,CD相交于点H,
则∠1+∠2+∠H=∠B+∠C+∠H=180°.
∴∠1+∠2=∠B+∠C=30°+50°=80°.
8.D
9.D 由三角形内角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°.
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠BAC=40°.
因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD=40°.
10.C
11.C ∵在△ABC中,∠ACB=70°,∠1=∠2,
∴∠2+∠BCP=∠1+∠BCP=∠ACB=70°.
∴∠BPC=180°-∠2-∠BCP=180°-70°=110°.
12.三角形三个内角的和等于180°
13.54
14.64 由三角形内角和定理可知∠A+∠D+∠AOD=180°,∠B+∠C+∠BOC=180°.
∵∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
∴∠D=64°.
15.125 ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABO=∠CBO,∠BCO=∠ACO.
∴∠CBO+∠BCO=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=(180°-70°)=55°.
∴在△BOC中,∠BOC=180°-55°=125°.
16.48°或96°或88° 当“特征角”为48°时,即α=48°;
当β=48°时,则“特征角”α=2×48°=96°;
当第三个角为48°时,α+α+48°=180°,解得α=88°.
综上所述,“特征角”α的度数为48°或96°或88°.
17.解:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-35°-60°=85°.
18.解:∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,3∠A=∠B+∠C,
∴4∠A=180°,
解得∠A=45°.
∵∠B=55°,
∴∠C=180°-45°-55°=80°.
19.解:这个支架不符合设计要求.
理由:如图图图,延长BA,DC交于点E.
∵∠BAC=∠DCA=115°,
∴∠EAC=∠ECA=65°.
∴∠E=180°-∠EAC-∠ECA=50°.
∵要求BA,DC相交所成的锐角为32°,
∴这个支架不符合设计要求.
20.解:由题意知∠ABN=45°,∠CBN=15°,∠MAC=80°,
所以∠ABC=60°.
因为AM∥BN,所以∠MAB=∠ABN=45°,
所以∠BAC=80°-45°=35°.
所以∠ACB=180°-60°-35°=85°.
[素养提升]
解:(1)90
(2)在△ABC中,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC=180°,
而∠DBC+∠DCB=90°,
∴∠ABD+∠BAC=90°-∠ACD=70°.
∵MN∥DE,
∴∠ABD=∠BAN.
∵∠BAN+∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM=180°.
∴∠CAM=180°-(∠ABD+∠BAC)=110°.[直角三角形中两锐角的关系]
一、选择题
1.已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,则∠B的度数是 ( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
2.如图图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,则∠BDC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=50°,则∠A的度数为 ( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
4.如图图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,则图中与∠A相等的角是 ( )
A.∠1 B.∠2 C.∠B D.∠1,∠2和∠B
二、填空题
5.如图图,有一个与地面成30°角的斜坡,现要在斜坡上竖一电线杆,当电线杆与地面垂直时,它与斜坡所成的角α= °.
6.如图图,AC⊥BC于点C,DE⊥BE于点E,BC平分∠ABE,∠BDE=58°,则∠A= °.
7.如图图,∠AOB=50°,P是OB上的一个动点(不与点O重合),当∠A的度数为
时,△AOP为直角三角形.
三、解答题
8.如图图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AB上一点,CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE.
求证:△ACE是直角三角形.
9.如图图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF是角平分线,交CD于点E.试说明:∠1=∠2.
[探究与证明] 如图图①,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由;
(2)如图图果∠ABC是钝角,如图图图②,(1)中的结论是否还成立
答案
1.A 2.D
3.B ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
又∵∠A-∠B=50°,∴2∠A=140°.
∴∠A=70°.
4.B ∵∠ACB=90°,∴∠1+∠2=90°.∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°.∴∠A+∠1=90°.
∴∠A=∠2.
5.60 如图图图,延长电线杆与地面相交.
∵电线杆与地面垂直,
∴∠1=90°-30°=60°.
由对顶角相等,得α=∠1=60°.
6.58
7.90°或40° 若△AOP为直角三角形,则分两种情况:
①当∠A=90°时,△AOP为直角三角形;
②当∠APO=90°时,△AOP为直角三角形,此时∠A=40°.
8.证明:∵AD是BC边上的高,
∴∠ADC=90°.
∵∠DCM=∠MAE,∠CMD=∠AME,
∴∠AEC=∠ADC=90°.
∴△ACE是直角三角形.
9.解:∵∠ACB=90°,
∴∠2+∠CAF=90°.
∵CD⊥AB,∴∠AED+∠BAF=90°.
∵AF是△ABC的角平分线,
∴∠CAF=∠BAF.
∴∠2=∠AED.
又∵∠AED=∠1,
∴∠1=∠2.
[素养提升]
解:(1)∠1=∠2.理由如图图下:
∵CE⊥AB,AD⊥BC,
∴∠BEC=90°,∠ADB=90°.
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°.
∴∠1=∠2.
(2)(1)中的结论仍然成立.理由如图图下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠D=∠E=90°.
∴∠2+∠ABD=90°,∠1+∠CBE=90°.
又∵∠ABD=∠CBE,
∴∠1=∠2.
