[角的平分线的判定]
一、选择题
1.如图图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD=PE,则直接判定△APD与△APE全等的理由是 ( )
A.SAS B.AAS C.SSS D.HL
2.如图图,P为OC上一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M,N,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.50°
3.到三角形三边距离相等的点是 ( )
A.三条中线的交点
B.三条高所在直线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条内角平分线的交点
4.如图图,△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图图,平面上到两两相交的三条直线a,b,c的距离相等的点一共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图图,点G在AB的延长线上,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,BE⊥CF于点H,交AC的延长线于点E.若∠AFB=40°,则∠BCF的度数为 ( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
二、填空题
7.如图图,P是∠MON内一点,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F.若PE=PF,则OP平分∠MON,其依据是 .
8.△ABC的周长为8,面积为10,若其内部一点O到三边的距离相等,则点O到AB的距离为 .
9.如图图,AB∥CD,点P到AB,BD,CD的距离相等,则∠BPD的度数为 .
10.如图图,点O在△ABC的内部,且到三边的距离相等.若∠BOC=130°,则∠A= °.
11.如图图,P是△ABC外的一点,PD⊥AB交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC.若PD=PE=PF,∠BAC=64°,则∠BPC的度数为 .
三、解答题
12.如图图,公路OA,OB,AB两两相交,交点为O,A,B,现要在公路AB段上建一商店M,要求M到公路OA,OB的距离相等,则该商店M应建在图中什么位置 请在图中标出点M的位置.
13.如图图,P是∠AOB内部的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F,且PE=PF.Q是射线OP上的任意一点,QM⊥OA,QN⊥OB,垂足分别为M,N,则QM与QN相等吗 请证明你的结论.
14.如图图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.
求证:FE=FD.
[转化与截长补短法] 如图图,已知∠C=60°,AE,BD是△ABC的角平分线,且交于点P.
(1)求∠APB的度数.
(2)求证:点P在∠C的平分线上.
(3)求证:①PD=PE;②AB=AD+BE.
答案
1.D
2.C ∵点P在OC上,PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴OC是∠AOB的平分线.
∵∠BOC=30°,∴∠AOB=60°.
3.D
4.C 如图图图,过点P作PQ⊥AC交AC的延长线于点Q,PW⊥BC于点W,PR⊥AB交AB的延长线于点R.
∵△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P,
∴PQ=PW,PW=PR.
∴PR=PQ.
∵点P到AC的距离为3,∴PQ=3.
∴PR=3,即点P到AB的距离为3.
5.A 如图图图,到三条直线a,b,c的距离相等的点一共有4个.
6.B 如图图图,过点F分别作FZ⊥AE于点Z,FY⊥CB于点Y,FW⊥AB于点W.
∵AF平分∠BAC,FZ⊥AE,FW⊥AB,
∴FZ=FW.同理FW=FY.
∴FZ=FY.
又∵FZ⊥AE,FY⊥CB,
∴∠FCZ=∠FCY.
由∠AFB=40°,易得∠ACB=80°.
∴∠ZCY=100°.
∴∠BCF=50°.
7.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
8.2.5 设点O到AB,BC,AC的距离均为h,∴S△ABC=×8·h=10,解得h=2.5,即点O到AB的距离为2.5.
9.90° ∵点P到AB,BD,CD的距离相等,∴BP,DP分别平分∠ABD,∠BDC.
∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°.
∴∠PBD+∠PDB=90°.故∠BPD=90°.
10.80 ∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠OBC+∠OCB)=180°-2(180°-∠BOC)=80°.
11.32° ∵PD=PE=PF,PD⊥AB交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,
∴CP平分∠ACF,BP平分∠ABC.
∴∠PCF=∠ACF,∠PBF=∠ABC.
∴∠BPC=∠PCF-∠PBF=(∠ACF-∠ABC)=∠BAC=32°.
12.解:作∠AOB的平分线交AB于点M,点M即为商店的位置.
13.解:QM=QN.
证明:∵PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF,
∴OP是∠AOB的平分线.
又∵Q是射线OP上的任意一点,QM⊥OA,QN⊥OB,∴QM=QN.
14.证明:如图图图,连接BF.
∵F是△ABC的角平分线AD,CE的交点,
∴BF平分∠ABC.
∵FM⊥AB,FN⊥BC,
∴FM=FN,∠DNF=∠EMF=90°.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAC=15°.
∴∠CDA=75°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ACE=45°.∴∠MEF=75°=∠NDF.
在△DNF和△EMF中,
∴△DNF≌△EMF(AAS).∴FE=FD.
[素养提升]
解:(1)∵AE,BD是△ABC的角平分线,
∴∠BAP=∠BAC,∠ABP=∠ABC.
∴∠BAP+∠ABP=(∠BAC+∠ABC)=(180°-∠C)=60°.∴∠APB=120°.
(2)证明:如图图图,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,垂足分别为F,G,H.
∵AE,BD分别平分∠BAC,∠ABC,
∴PF=PG,PF=PH.
∴PH=PG.
又∵PG⊥AC,PH⊥BC,
∴点P在∠C的平分线上.
(3)证明:①∵∠C=60°,PG⊥AC,PH⊥BC,
∴∠GPH=120°.
∴∠GPE+∠EPH=120°.
又∵∠APB=∠DPE=∠DPG+∠GPE=120°,
∴∠EPH=∠DPG.
在△PGD和△PHE中,
∴△PGD≌△PHE.
∴PD=PE.
②如图图图,在AB上截取AM,使AM=AD.
在△ADP和△AMP中,
∴△ADP≌△AMP.
∴∠APD=∠APM=60°.
∴∠EPB=∠MPB=60°.
在△EBP和△MBP中,
∴△EBP≌△MBP.
∴BE=BM.
∴AB=AM+BM=AD+BE.[角的平分线的画法及性质]
一、选择题
1.中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是 ( )
2.下面是黑板上给出的尺规作图题,需要回答横线上符号代表的内容.
如图图,已知∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法如图图下:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交 ○ 于点N;
②分别以点 为圆心,大于 △ 的长为半径画弧,两弧在 的内部交于点C;
③画射线OC,OC即为所求.则下列回答正确的是 ( )
A.○表示OA B. 表示M,C
C.△表示MN D. 表示∠AOB
3.如图图,P是∠AOB的平分线上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,则下列结论错误的是 ( )
A.PD=PE B.OD=OE
C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD
4.如图图,AO是∠BAC的平分线,OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N.若ON=8 cm,则OM的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.8 cm D.20 cm
5.如图图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OA,垂足为D.若PD=2,则点P到边OB的距离是 ( )
A.4 B. C.2 D.1
6.如图图,OC平分∠AOB,P是射线OC上的一点,PD⊥OB于点D,且PD=3,动点Q在射线OA上运动,则线段PQ的长度不可能是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D.若CD=4,AB=16,则△ABD的面积是( )
A.14 B.32 C.42 D.56
8.如图图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为60和35,则△EDF的面积为 ( )
A.25 B.5.5 C.7.5 D.12.5
二、填空题
9.如图图,请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”.
条件: .
结论:PC=PD.
10.如图图,∠B=∠D=90°,根据角平分线的性质填空:
(1)若∠1=∠2,则 = .
(2)若∠3=∠4,则 = .
11.将两块大小一样的含30°角的三角尺ABD和ABC如图图所示叠放在一起,使它们的斜边AB重合,直角边不重合,当OD=4 cm时,点O到AB的距离为 cm.
12.如图图,已知AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,AC,BC分别平分∠BAD和∠ABE,点C在线段DE上.若AD=5,BE=2,则AB的长是 .
三、解答题
13.如图图,在钝角三角形ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)
14.求证:有两条高相等的三角形必有两个内角相等.
15.如图图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=FD.
16.如图图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.
[探究题] 如图图,P为∠ABC的平分线上的一点,点D和点E分别在AB和BC上(BD答案
1.D 2.D 3.D 4.C
5.C 如图图图,过点P作PE⊥OB于点E.
∵P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PE=PD=2.
6.A 如图图图,过点P作PE⊥OA于点E.
∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PE=PD=3.
∵动点Q在射线OA上运动,∴PQ≥3.
∴线段PQ的长度不可能是2.
7.B 如图图图,过点D作DH⊥AB于点H.由作法得AP平分∠BAC.
∵DC⊥AC,DH⊥AB,∴DH=DC=4.
∴S△ABD=×16×4=32.
8.D 如图图图,过点D作DH⊥AC于点H.
又∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,∴DF=DH.
在Rt△ADF和Rt△ADH中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL).
∴SRt△ADF=SRt△ADH.
在Rt△DEF和Rt△DGH中,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL).
∴SRt△DEF=SRt△DGH.
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35,
∴35+SRt△DEF=60-SRt△DGH.∴SRt△DEF=12.5.
9.∠AOP=∠BOP,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D
10.(1)BC CD (2)AB AD
11.4 过点O作OH⊥AB于点H.
∵∠DAB=60°,∠CAB=30°,
∴∠OAD=∠OAH=30°.
∵∠ODA=90°,∴OD⊥AD.
又∵OH⊥AB,∴OH=OD=4 cm.
12.7 过点C作CF⊥AB于点F.
又因为AD⊥DE,AC平分∠BAD,
所以CD=CF,∠ADC=∠AFC=90°.
在Rt△ADC和Rt△AFC中,
所以Rt△ADC≌Rt△AFC(HL).
所以AF=AD=5.
同理可证BF=BE=2,所以AB=AF+BF=7.
13.解:如图图图所示,点P即为所求.
14.解:已知:如图图图,在△ABC中,CE,BD是△ABC的两条高,且CE=BD.
求证:∠ABC=∠ACB.
证明:∵CE,BD是△ABC的两条高,∴∠CEB=∠BDC=90°.
在Rt△BCE和Rt△CBD中,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL).
∴∠ABC=∠ACB.
15.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,∠BED=∠C=90°.
在△DCF和△DEB中,
∴△DCF≌△DEB(SAS).∴BD=FD.
16.证明:∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
[素养提升]
解:∠BDP+∠BEP=180°.
证明:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N.
又∵BP是∠ABC的平分线,
∴PM=PN.
在Rt△DPM和Rt△EPN中,
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL).
∴∠ADP=∠BEP.
∵∠BDP+∠ADP=180°,
∴∠BDP+∠BEP=180°.
