[画对称轴]
一、选择题
1.下列轴对称图形中,只有一条对称轴的图形是 ( )
2.如图图,长方形的一条对称轴是 ( )
A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4
3.[2019·都江堰模拟] 如图图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AB于点O,连接CO,则下列结论不正确的是 ( )
A.AO=BO B.MN⊥AB C.AN=BN D.AB=2CO
二、填空题
4.中的虚线,哪些是图形的对称轴,哪些不是 是对称轴的是 ;不是对称轴的是 .(填写序号)
三、解答题
5.如图图,在公路l附近有两个小区A,B,某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M,要求超市M到A,B两个小区的距离相等,请你借助尺规在图上找出超市M的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
6.尺规作图:已知△ABC(如图图),作出AB边上的中线CP.(不写作法,保留作图痕迹)
7.(1)如图图所示图形为轴对称图形,请用无刻度的直尺准确地画出它的一条对称轴(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图图,在长方形ABCD中,BC边所在直线上有E,F两点,且BE=CF,请用无刻度的直尺画出该图的对称轴.
[分析与操作] 如图图,有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,电信部门要修建一座信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等.发射塔C应修建在什么位置 请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
1.C 选项A有三条对称轴,选项B有五条对称轴,选项D有两条对称轴,只有选项C仅有一条对称轴.
2.B
3.D 由作法得MN垂直平分AB,
∴OA=OB,MN⊥AB,AN=BN,只有选项D不成立.
4.②④⑥ ①③⑤
5.解:如图图图,点M即为所求.
6.解:如图图图所示,CP即为所求.
7.解:(1)如图图图所示.
直线l就是所求作的对称轴.
(2)如图图图,①延长EA,FD,相交于点M;
②连接AC,BD,相交于点N;
③作直线MN.
直线MN即为该图的对称轴.
[素养提升]
解:如图图图所示,①作两条公路夹角的平分线OD,OE;
②作线段AB的垂直平分线FG,则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2即为所求作的位置.[线段的垂直平分线的性质和判定]
一、选择题
1.如图图,已知直线l垂直平分线段AB,P是l上一点,已知PA=1,则PB ( )
A.等于1 B.小于1 C.大于1 D.最小为1
2.如图图所示,线段AB,AC的垂直平分线相交于点P,则PB与PC的关系是 ( )
A.PB>PC B.PB=PC C.PB
3.已知:如图图,直线PO与AB交于点O,PA=PB,则下列结论中正确的是 ( )
A.AO=BO B.PO⊥AB
C.PO是线段AB的垂直平分线 D.点P在线段AB的垂直平分线上
4.如图图,AC=AD,BC=BD,则有 ( )
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
5.如图图,在△ABC中,DE垂直平分AB,垂足为D,与AC交于点E.若BC=6,AC=8,则△BCE的周长为 ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
6.如图图,C,E是直线l两侧的点,以点C为圆心,CE的长为半径画弧交直线l于A,B两点,再分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接CA,CB,CD,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.CD⊥直线l B.点A,B关于直线CD对称
C.点C,D关于直线l对称 D.CD平分∠ACB
7.如图图,以点C为圆心,大于点C到AB的距离的长为半径作弧,交AB于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F,作射线CF,则 ( )
A.CF平分∠ACB B.CF⊥AB
C.CF平分AB D.CF垂直平分AB
8.[2019·邯郸模拟] 对于△ABC,嘉淇用尺规进行如图图下操作:
如图图,(1)分别以点B和点C为圆心,BA,CA的长为半径作弧,两弧相交于点D;
(2)作直线AD交BC边于点E.
根据嘉淇的操作方法,可知线段AE是 ( )
A.△ABC的高线 B.△ABC的中线
C.边BC的垂直平分线 D.△ABC的角平分线
二、填空题
9.如图图,两车从南北方向的路段AB的A端出发,分别向东、向西行进相同的距离,到达C,D两地,此时可以判断C,D到B的距离相等,用到的数学道理是 .
10.如图图,DE是△ABC的边AC的垂直平分线,垂足为E,与BC交于点D.若BC=9,AD=4,则BD= .
11.如图图,点P在∠AOB内,M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,连接MN交OA于点E,交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm,则MN的长是 cm.
三、解答题
12.如图图,直线MN和直线DE分别是线段AB,BC的垂直平分线,它们交于点P,PA和PC相等吗 请说明理由.
13.如图图,在△ABC中,AB,BC边的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在AC边的垂直平分线上.
14.已知:线段a,b(如图图).求作:直角三角形,使其两直角边长分别为a,b(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
15.如图图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)AD=FC;
(2)AB=BC+AD.
已知:如图图,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AF=6,BC=7,求△ABC的周长.
答案
1.A
2.B 如图图图,连接AP.
∵线段AB,AC的垂直平分线相交于点P,∴PA=PB,PA=PC.∴PB=PC.
3.D 4.B
5.C ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
∵BC=6,AC=8,
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14.
6.C 由作法可知CD垂直平分AB,
故选项A,B正确;
设CD与AB交于点G,
易证Rt△ACG≌Rt△BCG,
∴∠ACG=∠BCG,
即CD平分∠ACB,故选项D正确;
AB不一定平分CD,故选项C错误.
故选C.
7.B 8.A
9.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
10.5 11.20
12.解:PA=PC.
理由:如图图图,连接PB.∵直线MN和直线DE分别是线段AB,BC的垂直平分线,
∴PA=PB,PC=PB.∴PA=PC.
13.证明:连接PA,PB,PC.
∵AB,BC边的垂直平分线相交于点P,
∴PA=PB,PB=PC.∴PA=PC.
∴点P在AC边的垂直平分线上.
14.解:如图图图,△ABC即为所求.
15.证明:(1)∵E是CD的中点,∴DE=CE.
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.
∴△ADE≌△FCE.∴AD=FC.
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=FE.
又∵BE⊥AE,∴BE垂直平分AF.
∴AB=FB.
∵FB=BC+FC=BC+AD,
∴AB=BC+AD.
[素养提升]
解:(1)证明:如图图图,连接BD,CD.
∵点D在BC的垂直平分线上,∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.
(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE=AF=6.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=(AE+BE)+BC+(AF-CF)=6+7+6=19.