[等腰三角形的判定]
一、选择题
1.以下列各组数据为边长,可以构成等腰三角形的是 ( )
A.1,1,2 B.1,1,3 C.2,2,1 D.2,2,5
2.[2019·温州龙湾区期中] 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是 ( )
A.有两个角分别为20°,120°
B.有两个角分别为40°,80°
C.有两个角分别为30°,60°
D.有两个角分别为50°,80°
3.[2019·惠州博罗县期中] 在△ABC中,与∠A相邻的外角是110°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B的度数是 ( )
A.70° B.55° C.70°或55° D.70°或55°或40°
4.如图图,AD是△ABC的中线,下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠BAD+∠B=∠CAD+∠C B.AB-BD=AC-CD
C.AB+BD=AC+CD D.AD=BC
5.如图图,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC,BD=CD
D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
6.[2019·菏泽曹县期中] 如图图,AD平分∠BAC,AD⊥BD于点D,DE∥AC,则图中的等腰三角形有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.[2019·松滋期中] 如图图,在△ABC中,∠BAC=72°,∠C=36°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,则图中的等腰三角形有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题
8.在△ABC中,若∠A=100°,∠B=40°,AC=5,则AB= .
9.如图图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ADC的度数为 .
10.如图图,在△ABC中,∠B=20°,∠A=105°,点P在△ABC的三边上运动,当△PAC为等腰三角形时,顶角的度数是 .
三、解答题
11.如图图,上午8时,一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北方向航行,12时到达B处.测得∠NAC=32°,∠ABC=116°.求B处与灯塔C之间的距离.
12.尺规作图:已知线段a(如图图),画一个底边长度为a,底边上的高也为a的等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
13.如图图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F.求证:△CEF是等腰三角形.
14.已知:如图图,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F.求证:△ADF是等腰三角形.
15.如图图,将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠,使点C,D分别落在点C',D'处,AD交EC'于点G,∠AGC'=48°.
(1)求∠CEF的度数;
(2)求证:△EFG是等腰三角形.
如图图所示,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
答案
1.C 2.D
3.D
4.D 由∠BAD+∠B=∠CAD+∠C可得∠ADB=∠ADC.又∠ADB+∠ADC=180°,所以∠ADB=∠ADC=90°.又BD=DC,由垂直平分线的性质可得AB=AC.
由等式的性质,根据AB-BD=AC-CD,AB+BD=AC+CD,又BD=CD,均可得AB=AC.选项D不能得到AB=AC.
5.D 选项A由等角对等边可得△ABC是等腰三角形;选项B由所给条件可得△ADB≌△ADC,由全等三角形的性质可得AB=AC;选项C由垂直平分线的性质可得AB=AC;选项D不可以得到AB=AC.
6.C 如图图图所示.
∵DE∥AC,∴∠1=∠3.
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴△ADE是等腰三角形.
∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∵∠2=∠3,∴∠B=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形.
7.D ∵∠BAC=72°,∠C=36°,
∴∠ABC=72°.∴∠BAC=∠ABC.
∴CA=CB.∴△ABC是等腰三角形.
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D,
∴∠DAB=∠CAD=36°.
∴∠CAD=∠C.∴CD=AD.
∴△ACD是等腰三角形.
∵∠ADB=∠CAD+∠C=72°,
∴∠ADB=∠ABC.∴AD=AB.
∴△ADB是等腰三角形.
8.5
9.20°或70°或100° 如图图图,有三种情形:
①当AC=AD时,∠ADC=70°;
②当CD'=AD'时,∠AD'C=100°;
③当AC=AD″时,∠AD″C=20°.
10.105°或55°或70° (1)如图图图①,当点P在AB上时,AP=AC,顶角∠A=105°.
(2)∵∠B=20°,∠BAC=105°,
∴∠ACB=180°-20°-105°=55°.
当点P在BC上时,若AC=PC,如图图图②,则顶角∠C=55°.
若AC=AP,如图图图③,则顶角∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°.
若AP=PC,如图图图④,则顶角∠APC=180°-2∠C=180°-2×55°=70°.
综上所述,顶角的度数为105°或55°或70°.
11.解:根据题意,得AB=30×4=120(海里).
在△ABC中,∠NAC=32°,∠ABC=116°,
∴∠C=180°-∠NAC-∠ABC=32°.
∴∠C=∠NAC.∴BC=AB=120海里,
即B处与灯塔C之间的距离是120海里.
12.解:如图图图所示,△ABC即为所求.
13.证明:∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠BAC+∠ACD=90°.
∴∠ACD=∠B.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB.
∵∠EAB+∠B=∠CEF,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF.
∴CF=CE.
∴△CEF是等腰三角形.
14.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
∵DE⊥BC,∴∠FEB=∠FEC=90°.
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等).
又∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),
∴∠EFC=∠ADF.∴AD=AF.
∴△ADF是等腰三角形.
15.解:(1)∵四边形ABCD是长方形,
∴AD∥BC.
∴∠BEG=∠AGC'=48°.
由折叠的性质得∠CEF=∠C'EF,
∴∠CEF=×(180°-48°)=66°.
(2)证明:由(1)知AD∥BC,
∴∠GFE=∠CEF.
∵∠CEF=∠C'EF,
∴∠GFE=∠C'EF.
∴GE=GF,即△EFG是等腰三角形.
[素养提升]
证明:如图图图,过点D作DG∥AC交BC于点G,
则∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.
在△DFG和△EFC中,
∴△DFG≌△EFC(ASA).
∴GD=CE.
∵BD=CE,
∴BD=GD.
∴∠B=∠DGB.
∴∠B=∠ACB.
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.[等腰三角形的性质]
一、选择题
1.如图图,等腰三角形的对称轴是 ( )
A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4
2.如图图,在等腰三角形中,若∠1=110°,则∠2的度数为 ( )
A.35° B.70° C.110° D.35°或55°
3.[2020·福建] 如图图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于 ( )
A.10 B.5 C.4 D.3
4.如图图,已知PA=PB,在证明∠A=∠B时,需要添加辅助线,下面有甲、乙两种辅助线的作法:
甲:作底边AB上的中线PC;
乙:作PC平分∠APB交AB于点C.则 ( )
A.甲、乙两种作法都正确 B.甲作法正确,乙作法不正确
C.甲作法不正确,乙作法正确 D.甲、乙两种作法都不正确
5.[2019·西安模拟] 如图图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 ( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
6.如图图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,P是边AB上的一个动点(不与顶点A,B重合),则∠BPC的度数可能是 ( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
二、填空题
7.若等腰三角形的两条边长分别为2,4,则它的周长为 .
8.[2019·上海浦东新区期末] 如图图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且BC=BD.若∠CBD=46°,则∠A= °.
9.[2019·揭阳揭西县期末] 如图图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,AD是中线,BE是高,AD与BE交于点F,则∠BFD= °.
三、解答题
10.如图图,在△ABC中,D为BC上一点,AB=BD,根据图中的数据,求∠BAC的度数.
11.[2019·北京朝阳区模拟] 如图图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点D,连接BD,求∠ABD的度数.
12.如图图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:DE=DF.
13.如图图,在△ABC中,D为BC边上一点,且AB=AC=BD,AD=CD,求∠BAC的度数.
14.如图图①,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上一点(不与点B,C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E,F,H.易证PE+PF=CH.
证明过程如图图下:
连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB·PE,S△ACP=AC·PF,S△ABC=AB·CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB·PE+AC·PF=AB·CH.
∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
如图图图②,若P为BC延长线上的点,其他条件不变,PE,PF,CH之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,并加以证明.
[规律探究] 如图图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:
以点A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以点A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以点A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3……
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= .
答案
1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C
7.10 当2为底边长时,其他两边的长都为4.
∵2,4,4可以构成三角形,
∴周长为10.
当2为腰长时,其他两边长分别为2和4.
∵2+2=4,
∴不能构成三角形,故舍去.
故答案为10.
8.46 ∵BC=BD,∠CBD=46°,
∴∠C=∠BDC=×(180°-46°)=67°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=67°.∴∠A=46°.
9.70
10.解:∵∠ADB=∠CAD+∠C=30°+40°=70°,AB=BD,
∴∠BAD=∠ADB=70°.
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+30°=100°.
11.解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD=72°.
∴∠DBC=36°.
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°.
12.证明:连接AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
13.解:∵AD=CD,∴设∠DAC=∠C=x°.
∵AB=AC=BD,
∴∠BAD=∠BDA=∠DAC+∠C=2x°,
∠B=∠C=x°.
∴∠BAC=3x°.
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴5x=180,解得x=36.
∴∠BAC=3x°=108°.
14.解:PE=PF+CH.
证明:连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB·PE,S△ACP=AC·PF,S△ABC=AB·CH.
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,
∴AB·PE=AC·PF+AB·CH.
∵AB=AC,∴PE=PF+CH.
[素养提升]
9
