[含30° 角的直角三角形的性质]
一、选择题
1.[2019·益阳赫山区期末] 如图图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=6,则BC的长为 ( )
A.2 B.3 C.6 D.8
2.[2019·运城稷山县期末] 如图图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,P是BC边上的动点,则AP的长可能是 ( )
A.2 B.5.2 C.7.8 D.8
3.[2019·拉萨达孜区期中] 如图图,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,DE⊥BC于点E,CE=3,则AB的长为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
4.如图图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°.若AD=2 cm,则DB的长是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.6 cm
5.如图图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AD=6,则CD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
7.如图图,∠MAN=30°,点B在射线AM上,且AB=2,则点B到射线AN的距离是 .
8.如图图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵树在折断前的高度为 米.
9.如图图,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,已知AB=8,则BF的长为 .
10.如图图所示,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= .
三、解答题
11.[2019·龙口期中] 如图图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线分别与BC,AB交于点M,N.求证:MB=2AC.
12.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境.已知AC=30 m,AB=20 m,∠BAC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元,则购买这种草皮至少需要多少元
13.如图图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.求证:DF=2DC.
14.如图图,上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北方向航行,上午10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求海岛B与灯塔C之间的距离;
(2)这条船继续向正北方向航行,在什么时间船与灯塔C之间的距离最短
15.如图图所示,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=5,PE=1,求AD的长.
[化动为静] 如图图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6 cm,点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动,同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动,设运动时间为t s.解决以下问题:
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形
答案
1.B
2.B 根据垂线段最短,可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,∴AB=6.∴AP的长不能大于6.
3.B ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠C=60°.∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.
∴∠CDE=30°.∴CD=2CE=6.
∵D是AC的中点,∴AC=2CD=12.
∴AB=AC=12.
4.D
5.A ∵∠C=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=30°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=30°=∠A.
∴BD=AD=6.∴CD=BD=×6=3.
故选A.
6.C 如图图图,过点P作PD⊥OB于点D,则△PDO为含30°角的直角三角形,
∴OD=OP=6.
∵PM=PN,MN=2,∴MD=DN=1.
∴OM=OD-MD=6-1=5.
故选C.
7.1
8.12 ∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,
∴AB=2BC.
∵BC=4米,∴AB=8米.
∴这棵树在折断前的高度为12米.
9.5 ∵在等边三角形ABC中,D是AB的中点,AB=8,∴AD=4,BC=AC=AB=8,∠A=∠C=60°.∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,∴∠AED=∠CFE=90°.∴∠ADE=∠CEF=30°.∴AE=AD=2.∴CE=8-2=6.∴CF=CE=3.∴BF=5.
10.2 过点P作PE⊥OB于点E.
∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD.
∵∠BOP=∠AOP=15°,∴∠AOB=30°.
∵PC∥OA,∴∠BCP=∠AOB=30°.
∴在Rt△PCE中,PE=PC=×4=2.
∴PD=PE=2.故答案为2.
11.证明:如图图图,连接MA.
∵MN为AB的垂直平分线,∴MA=MB.
∴∠MAB=∠B=15°.
∴∠AMC=30°.
∵∠C=90°,∴MA=2AC.
∴MB=2AC.
12.解:如图图图所示,过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.
∵∠BAC=150°,
∴∠DAB=30°.
∵AB=20 m,
∴BD=AB=10 m.
∴S△ABC=AC·BD=×30×10=150(m2).
∵这种草皮每平方米的售价是a元,
∴购买这种草皮至少需要150a元.
13.证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°.
∴∠ACB=∠EDC=∠DEC=60°.
∴△EDC是等边三角形.∴DE=DC.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
∴DF=2DE=2DC.
14.解:(1)∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=30°.∴AB=BC.
∵AB=15×2=30(海里),
∴BC=30 海里,即海岛B与灯塔C之间的距离为30海里.
(2)过点C作CP⊥AB于点P,
则线段CP的长为船与灯塔C之间的最短距离.
∵∠NBC=60°,∠BPC=90°,
∴∠PCB=90°-60°=30°.
∴PB=BC=15海里.
∵15÷15=1(时),
∴这条船继续向正北方向航行,在上午11时船与灯塔C之间的距离最短.
15. 由已知条件易知△ABE≌△CAD,从而BE=AD,只需求PB的长即可,由BQ⊥AD知,若在Rt△BPQ中有∠PBQ=30°就可以求出BP的长,于是求证∠BPQ=60°是解决问题的突破口.
解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
又AE=CD,∴△ABE≌△CAD.
∴∠ABE=∠CAD,BE=AD.
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°.
又BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
∴PB=2PQ=10.
∴BE=PB+PE=11.
∴AD=BE=11.
[素养提升]
解:(1)根据题意,得AD=t,CD=6-t,CE=2t.
∵△DEC为等边三角形,
∴CD=CE,即6-t=2t,解得t=2.
∴当t的值为2时,△DEC为等边三角形.
(2)∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠C=60°.
①当∠DEC为直角时,∠EDC=30°,
∴CE=CD,即2t=(6-t),解得t=;
②当∠EDC为直角时,∠DEC=30°,
∴CD=CE,即6-t=·2t,解得t=3.
综上,当t的值为或3时,△DEC为直角三角形.[等边三角形的性质与判定]
一、选择题
1.等边三角形的对称轴有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.下列推理中错误的是 ( )
A.在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中,∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形
3.如图图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.[2019·长沙岳麓区期中] 下列条件不能得到等边三角形的是 ( )
A.有两个内角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形
C.腰和底相等的等腰三角形 D.有两个角相等的等腰三角形
5.[2019·盐城盐都区期中] 如图图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为 ( )
A.4 B.12 C.18 D.30
6.如图图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,点E在AC上,且AE=AD,则∠DEC的度数为 ( )
A.105° B.95° C.85° D.75°
二、填空题
7.小敏设计了一种衣架,如图图,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,则A,B之间的距离为 cm.
8.[2019·温岭期中] 如图图,在△ABC中,AD为角平分线,若∠B=∠C=60°,AB=8,则CD的长为 .
9.[2019·周口期中] 如图图,在等边三角形ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,则∠BDF+∠CEF= °.
10.如图图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长为 .
三、解答题
11.如图图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
12.如图图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
13.如图图,△ABC和△CDE均为等边三角形,连接BD,AE交于点O,BC与AE相交于点P.求证:∠AOB=60°.
14.如图图,在等边三角形ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上一点,DE⊥AC交BC于点F,且DF=EF.
(1)求证:CD=BE;
(2)若AB=12,求BF的长.
数学课上,老师出示了如图图下题目:“如图图①,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.”
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如图图下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当E为AB的中点时,如图图图②,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”“<”或“=”).理由如图图下:如图图图③,过点E作EF∥BC交AC于点F.(请你完成解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
已知O是等边三角形ABD的边BD的中点,AB=4,E,F分别为射线AB,DA上一动点,且∠EOF=120°,若AF=1,求BE的长.
答案
1.C 2.B
3.C 连接AB.根据题意,得 OB=OA=AB,∴△AOB是等边三角形.∴∠AOB=60°.
4.D 有两个内角是60°的三角形,有一个角是60°的等腰三角形,腰和底相等的等腰三角形都是等边三角形,而有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形.
5.B ∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°.∴△ADE为等边三角形.∴AD=DE=AE.∵AB=10,BD=6,∴AD=AB-BD=10-6=4.∴△ADE的周长为4×3=12.
6.A ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵AD⊥BC,∴AD平分∠BAC.∴∠DAC=30°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED==75°.∴∠DEC=105°.
7.18 连接AB,如图图图所示.
∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA=18 cm.
8.4 ∵∠B=∠C=60°,∴∠BAC=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AB=8,∴BC=AB=8.∵AD为角平分线,∴BD=CD.∴CD=4.
9.120 因为△ABC是等边三角形,
所以∠A=60°.
所以∠ADE+∠AED=120°.
因为将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,所以∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF.
所以∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=240°.
所以∠BDF+∠CEF=360°-(∠ADF+∠AEF)=120°.
10.15 由多边形的内角和定理可知,这个六边形的每个内角都是120°,因此直线AB,CD,EF围成一个等边三角形,且这个等边三角形的边长为8.因此AF=4,EF=2.所以这个六边形的周长=1+3+3+2+2+4=15.
11.证明:∵CD∥AB,∴∠A=∠ACD=60°.
∵∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∴∠A=∠B=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
12.解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
13.证明:∵△ABC和△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,
即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD.∴∠CAE=∠CBD.
又∠APC=∠BPO,∴∠AOB=∠ACB=60°.
14.解:(1)证明:如图图图,过点D作DM∥AB,交CF于点M,则∠MDF=∠E.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=∠CBA=∠C=60°.
∵DM∥AB,
∴∠CDM=∠CAB=60°,∠CMD=∠CBA=60°.
∴∠CDM=∠CMD=∠C.
∴△CDM是等边三角形.
∴CM=CD=DM.
在△DMF和△EBF中,
∴△DMF≌△EBF(ASA).∴DM=BE.
∴CD=BE.
(2)∵ED⊥AC,∠CAB=∠CBA=60°,
∴∠E=∠FDM=30°.
∴∠BFE=∠DFM=30°.
∴BE=BF,DM=MF.
∵△DMF≌△EBF,∴MF=BF.
又∵CM=DM,∴CM=MF=BF.
∵BC=AB=12,∴BF=BC=4.
[素养提升]
解:(1)=
(2)结论:AE=DB.理由如图图下:
如图图图①,过点E作EF∥BC交AC于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EF∥BC,∴∠ECB=∠CEF,∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.
∴△AEF是等边三角形,∠EFC=∠DBE=120°.
∴AE=EF=AF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB=∠CEF.
在△DBE和△EFC中,
∴△DBE≌△EFC(AAS).
∴DB=EF.∴AE=DB.
(3)当点F在线段DA的延长线上时,如图图图②,过点O作OM∥AB交AD于点M.
∵△ABD是等边三角形,AB=4,∴∠ABD=∠D=∠BAD=60°,AD=BD=AB=4.∵O为边BD的中点,∴OB=OD=2.
∵OM∥AB,
∴∠MOD=∠ABD=60°,∠OMD=∠BAD=60°.
∴∠FMO=∠BOM=120°,△ODM为等边三角形.
∴OM=MD=OD=2.
∴OB=OM,AM=AD-MD=2.
∴FM=AF+AM=3.
∵∠EOF=120°=∠BOM,
∴∠BOE=∠MOF.
又∠EBO=180°-∠ABD=120°=∠FMO,
∴△OMF≌△OBE.∴BE=FM=3.
当点F在线段AD上时,如图图图③,同理可证明△OMF≌△OBE,
则BE=MF=AM-AF=2-1=1.
综上所述,BE的长为1或3.
