[多项式与多项式相乘]
一、选择题
1.计算(x-1)(x+2)的结果是 ( )
A.x2+x-2 B.x2-x-2 C.x2+21 D.x2-2
2.计算(a+3)(-a+1)的结果是 ( )
A.-a2-2a+3 B.-a2+4a+3 C.-a2+4a-3 D.a2-2a-3
3.若(x+2)(x-3)=x2+mx-6,则m等于 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.若(x+1)(2x2-ax+1)的运算结果中x2的系数为-6,则a的值是 ( )
A.4 B.-4 C.8 D.-8
5.如图图果a2-2a-1=0,那么式子(a-3)(a+1)的值是 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.若M=(x-3)(x-4),N=(x-1)(x-6),则M与N的大小关系为 ( )
A.M >N B.M=N C.M7.通过比较①②中阴影部分的面积,可以验证的算式是 ( )
A.a(b-x)=ab-ax
B.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2
C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx
D.b(a-x)=ab-bx
二、填空题
8.计算:(5m+2)(2m-1)= .
9.若三角形的一边长为2a+4,这边上的高为2a-3,则此三角形的面积为 .
10.若x+m与x+7的乘积不含x的一次项,则m的值为 .
11.一个长方体的长、宽、高分别是2x+5,3x-1,x,则它的体积等于 .
12.如图图①,有若干张长方形和正方形卡片,图②是选取了2张不同的卡片拼成的一个图形,借助图中阴影部分面积的不同表示方法可以验证等式a(a+b)=a2+ab成立,根据图③,利用面积的不同表示方法,仿照上面的式子写出一个等式: .
三、解答题
13.计算:
(1)(a-1)(a+6); (2)(3x+4y)(2x-3y);
(3)(m-n)(m2+mn+n2).
14.已知M=(a+3)(a-4),N=(a+2)(2a-5),其中a为有理数,请你用所学的数学知识来比较它们的大小.
15.每个周末,小颖都要到城郊爷爷家的花圃去玩.有一次,爷爷给小颖出了一道数学题:如图图,爷爷家的花圃为长方形,长比宽多2米,如图图果花圃的长和宽都增加3米,那么这个花圃的面积将增加39平方米.请你帮小颖算出花圃原来的长和宽分别是多少米.
16.在高铁站广场前有一块长为(2a+b)米,宽为(a+b)米的长方形空地(如图图).计划在中间留两个相同的长方形喷泉(图中阴影部分),两喷泉及周边均留有宽度为b米的人行通道.
(1)请用含a,b的式子表示长方形空地的面积并化简;
(2)请用含a,b的式子表示两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积并化简.
17.小刚同学计算一道整式乘法:(2x+a)(3x-2),由于他抄错了多项式中a前面的符号,把“+”写成了“-”,得到的结果为6x2+bx+10.
(1)求a,b的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
[数形结合] 长方形的长为a厘米,宽为b厘米(a>b>8),如图图果将原长方形的长和宽均增加2厘米,得到的新长方形的面积记为S1平方厘米;如图图果将原长方形的长和宽均减少3厘米,得到的新长方形的面积记为S2平方厘米.
(1)如图图果S1比S2大100,求原长方形的周长;
(2)如图图果S1=2S2,求将原长方形的长和宽均减少8厘米后得到的新长方形的面积.
答案
1.A
2.A
3.C
4.C (x+1)(2x2-ax+1)=2x3-ax2+x+2x2-ax+1=2x3+(-a+2)x2+(1-a)x+1.
因为运算结果中x2的系数是-6,所以-a+2=-6,解得a=8.
5.B 因为a2-2a-1=0,所以a2-2a=1.所以(a-3)(a+1)=a2-2a-3=1-3=-2.
6.A M=(x-3)(x-4)=x2-7x+12,
N=(x-1)(x-6)=x2-7x+6.
∵M-N=6>0,
∴M>N.
7.B 图①中阴影部分的面积=(a-x)·(b-x),图②中阴影部分的面积=ab-ax-bx+x2,
所以(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
8.10m2-m-2 原式=10m2-5m+4m-2=10m2-m-2.
9.2a2+a-6
10.-7 (x+m)(x+7)=x2+mx+7x+7m=x2+(m+7)x+7m.
∵x+m与x+7的乘积不含x的一次项,
∴m+7=0.∴m=-7.
11.6x3+13x2-5x
根据题意,可知它的体积为
x(2x+5)(3x-1)=(2x2+5x)(3x-1)=6x3-2x2+15x2-5x=6x3+13x2-5x.
12.(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
13.解:(1)(a-1)(a+6)=a2+6a-a-6=a2+5a-6.
(2)原式=6x2-9xy+8xy-12y2=6x2-xy-12y2.
(3)原式=m3+m2n+mn2-m2n-mn2-n3=m3-n3.
14.解:∵M-N=(a+3)(a-4)-(a+2)(2a-5)
=a2-a-12-2a2+a+10
=-a2-2≤-2<0,
∴M15.解:设花圃原来的宽为x米,则长为(x+2)米.
依据题意可得(x+2+3)(x+3)-x(x+2)=39.
整理,得6x=24.
解得x=4.
则x+2=6.
答:花圃原来的长和宽分别是6米和4米.
16.解:(1)长方形空地的面积为(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)米2.
(2)两个长方形喷泉(图中阴影部分)的面积为
(a+b-2b)(2a+b-3b)
=(a-b)(2a-2b)
=(2a2-4ab+2b2)米2.
17.解:(1)由题意得(2x-a)(3x-2)=6x2+(-4-3a)x+2a=6x2+bx+10,
∴-4-3a=b,2a=10,
解得a=5,
∴b=-19.
(2)(2x+5)(3x-2)=6x2-4x+15x-10=6x2+11x-10.
[素养提升]
解:(1)100=S1-S2=(a+2)(b+2)-(a-3)(b-3)=ab+2a+2b+4-ab+3a+3b-9=5a+5b-5,
所以5a+5b=100+5.所以a+b=21.
所以2(a+b)=42.
所以原长方形的周长为42厘米.
(2)因为S1=2S2,所以(a+2)(b+2)=2(a-3)(b-3),即ab+2a+2b+4=2(ab-3a-3b+9).
所以ab-8a-8b+14=0.
所以ab-8a-8b=-14.
所以将原长方形的长和宽均减少8厘米后得到的新长方形的面积为(a-8)(b-8)=ab-8a-8b+64=-14+64=50(厘米2).[单项式与单项式相乘]
一、选择题
1.计算(8×104)×(5×103)的结果是 ( )
A.4×107 B.13×107 C.4×108 D.1.3×108
2.计算6x2·x3的结果是 ( )
A.6x B.6x5 C.6x6 D.6x9
3.计算(-2x2y3)·3xy2的结果是 ( )
A.-6x2y6 B.-5x3y5 C.-6x3y5 D.-24x7y5
4.计算(-3a2b3c)·(2ab2c)=-3×2·a2·a·b3·b2·c·c=-6a3b5c2时先后使用的乘法运算律分别是 ( )
A.分配律、交换律 B.结合律、交换律
C.结合律、分配律 D.交换律、结合律
5.计算2x·(-3xy)2的结果是 ( )
A.-18x3y2 B.18x3y2 C.6x3y2 D.18xy2
6.[2019·淮安期中] 下列运算正确的是 ( )
A.4y·(-2xy2)=-8xy3
B.(-3x)2·4x3=-12x5
C.3x3·5x2=15x6
D.(-2a)3·(-3a)2=-54a5
7.边长为a和2a的两个正方形按如图图所示的方式摆放,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.6a2
二、填空题
8.若( )·3a=-3a2b,则( )内应填的式子是 .
9.[2019·盐城阜宁县期中] 若单项式-6x2ym与xn-1y3是同类项,则这两个单项式的积是 .
三、解答题
10.计算:(1)-a3b·abc;
(2)(-3ab)·(-2a)·(-a2b3);
(3)(-x2y)3·(-2xy3)2.
11.计算:(3xy)3·(-x2y)+3x·(x2y2)2-(-x4y)·xy3.
[一般到特殊] 一个长方形的娱乐场的宽是4a米,长是6a米,现要求这个娱乐场拥有一半以上的绿地.小明提供了如图图所示的设计方案,其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地,并且半圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽都是2a米,游泳区的长是3a米.
(1)长方形娱乐场的面积为 平方米,休息区的面积为 平方米(用含a的式子表示);
(2)请你判断他的设计方案是否符合要求,并说明理由;
(3)若长方形娱乐场的宽为80米,绿化草地每平方米需要费用20元,求小明的设计方案中绿化草地的费用(π取3).
答案
1.C 2.B 3.C 4.D
5.B 2x·(-3xy)2=2x·9x2y2=18x3y2.
6.A (-3x)2·4x3=36x5,3x3·5x2=15x5,(-2a)3·(-3a)2=-8a3·9a2=-72a5.
7.A 根据图形得图中阴影部分的面积为:大正方形的面积+小正方形的面积-空白三角形的面积,即:4a2+a2-·2a·3a=5a2-3a2=2a2.
8.-ab
9.-3x4y6 由于单项式-6x2ym与xn-1y3是同类项,因此n-1=2,m=3,所以这两个单项式为-6x2y3,x2y3,它们的积为-3x4y6.
10.解:(1)-a3b·abc=-a4b2c.
(2)原式=-3×(-2)×(-1)a1+1+2b1+3=-6a4b4.
(3)原式=-x6y3·4x2y6=-4x8y9.
11.解:-14x5y4.
[素养提升]
解:(1)24a2 πa2
(2)他的设计方案符合要求.
=132000(元).
答:小明的设计方案中绿化草地的费用约为132000元.[单项式与多项式相乘]
一、选择题
1.单项式与多项式相乘的法则的依据是 ( )
A.乘法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法交换律
2.[2019·柳州] 计算x(x2-1)的结果是 ( )
A.x3-1 B.x3-x C.x3+x D.x2-x
3.今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题:-3xy·(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□,□的地方被弄污了,你认为□内应填写 ( )
A.3xy B.-3xy C.-1 D.1
4.一个长方形的周长为4a+4b,若它的一边长为b,则此长方形的面积为 ( )
A.b2+2ab B.4b2+4ab C.3b2+4ab D.a2+2ab
二、填空题
5.计算:(2x+1)·(-6x)= .
6.一个长方体的长、宽、高分别是3x-4,2x,x,它的体积等于 .
7.[2019·上海长宁区期中] 计算:(x-2y)·(-3xy)2= .
8.[2019·哈尔滨香坊区月考] 若a2b=2,则式子2ab(a-2)+4ab= .
三、解答题
9.计算:(1)(a+3)·(-ab);
(2)-6xy(-x2y-xy2);
(3)(-3a2)·(4a2-a+1).
10.如图图,请计算图中阴影部分的面积.
11.试说明:对于任意自然数n,式子n(n+7)-n(n-5)的值都能被6整除.
12.[2019·兰州城关区期中] 某同学在计算一个多项式乘-3x2时,因抄错符号,算成了加上-3x2,得到的答案是x2-0.5x+1,那么正确的计算结果是多少
13.已知x+y=4,x-y=6,求xy(y2+y)-y2(xy+2x)-3xy的值.
14.解方程:
(1)3x(7-x)=18-x(3x-15);
(2)3x(x+2)-2(x2+5)=x(x-2).
15.解不等式:
(1)x(2x-5)>2x2-3x-4;
(2)2x(x-1)-x(2x-5)<12.
[整体代入] 阅读下面的文字,并解决问题.
已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:考虑到满足x2y=3的x,y的可能值较多,不可能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=2×27-6×9-8×3
=-24.
请你用上述方法解决问题:已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.
答案
1.C 2.B
3.A 因为左边=-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+3xy,右边=-12xy2+6x2y+□,
所以□内应填写3xy.
4.A 因为一个长方形的周长为4a+4b,若它的一边长为b,则另一边长=2a+2b-b=2a+b,故此长方形的面积=(2a+b)b=b2+2ab.
5.-12x2-6x
6.6x3-8x2
7.9x3y2-18x2y3 (x-2y)·(-3xy)2=9x2y2(x-2y)=9x3y2-18x2y3.
8.4 2ab(a-2)+4ab
=2a2b-4ab+4ab
=2a2b.
当a2b=2时,原式=2×2=4.
9.解:(1)原式=-a2b-4ab.
(2)原式=3x3y2+2x2y3.
(3)原式=-12a4+a3-3a2.
10.解:b(2b-a)-a(2a-b)=2b2-ab-2a2+ab=2b2-2a2.
11.解:因为n(n+7)-n(n-5)
=n2+7n-n2+5n
=12n
=6×2n,
所以对于任意自然数n,式子n(n+7)-n(n-5)的值都能被6整除.
12.解:这个多项式是(x2-0.5x+1)-(-3x2)=4x2-0.5x+1,
正确的计算结果是(4x2-0.5x+1)·(-3x2)=-12x4+1.5x3-3x2.
13.解:原式=xy3+xy2-xy3-2xy2-3xy=-xy2-3xy.
解方程组得
所以原式=-5×(-1)2-3×5×(-1)=-5+15=10.
14.解:(1)去括号,得21x-3x2=18-3x2+15x.
移项、合并同类项,得6x=18.
解得x=3.
(2)去括号,得3x2+6x-2x2-10=x2-2x.
移项、合并同类项,得8x=10.
解得x=.
15.解:(1)去括号,得2x2-5x>2x2-3x-4.
移项、合并同类项,得-2x>-4.
系数化为1,得x<2.
(2)去括号,得2x2-2x-2x2+5x<12.
合并同类项,得3x<12.
系数化为1,得x<4.
[素养提升]
解:(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4(ab)3+6(ab)2-8ab
=-4×33+6×32-8×3
=-108+54-24
=-78.
