2.7 二次根式 课件 (共66张PPT)

(共66张PPT)
2.7 二次根式
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根 ， 0的算术平方根是0.
知识回顾
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“ ”称为二次根号.

二次根号
被开方数
读作:根号a
知识点1：二次根式的定义
新知探究
a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等
实为“”，通常将根指数2省略不写
下列式子中，哪些是二次根式？
，（m≤0）， ， （m,n异号），
，， ，，， .
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新知探究
的根指数不是2，不是二次根式
题中被开方数m-5,mn,-5是负数，不是二次根式
二次根式的双重非负性
(1)被开方数 a 必须为大于或等于 0的非负数.
(2) （a≥0）既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. 实际上就是非负数 a 的算术平方根，由于算术平方根的结果为非负数,故
思考 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？呢？
解：由 x2≥0 可知，x 可以为任意实数.
由 x3≥0 可知，x≥0.
知识点2：二次根式有意义的条件
新知探究
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即被开方数a≥0 .
例1 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由 x-2≥0 得，x≥2.
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
被开方数为非负数
变式：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由 x+3≥0 且 x-2≠0 ，得x≥-3且x≠2.
∴ x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义.
分母不能为0
（2）由 ≥0 且 3-a≠0 得，a<3.
∴当 a<3 时， 在实数范围内有意义.
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2） . （3） .
解：（1）由 a-1≥0 得，a≥1.
∴当 a≥1时， 在实数范围内有意义.
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新知探究
被开方数为非负数
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义.
性质1 0（a≥0） 二次根式的双重非负性.
表示 （a≥0），二次根式的被开方数非负
≥0，二次根式的值非负
知识点3：二次根式的性质
新知探究
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
a2 , ∣a∣, .
性质2 2=a（a≥0）.
文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数
本身.
公式逆用：若a≥0，则 a= () .
性质3 -a（a<0），
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
= =
例2 化简：
（1） . （2）.
解：（1）原式= = 4.
（2）原式=5.
利用二次根式的性质3： = =
-a（a<0）
a（a≥0）
1.计算：（1） )2 . （2）(2.
解：（1）原式 = .
（2）原式 = 22× =4×3=12.
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新知探究
2.计算：（1） . （2） )2 .
解：（1）原式= = 3.
（2）原式=（-3）2× =9×=3.
熟练掌握二次根式的性质2和性质3.
法则： =（≥0，b≥0）.
文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 .
前提条件
知识点4：二次根式的乘法法则
新知探究
；
;
.
发现：
系数相乘
根式相乘
系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.
（1）
（2）
二次根式的乘法法则的推广
例3 计算：
（1）
.
解：（1）
=
=3 .
计算： .
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新知探究
解：
=
.
符号表示： = （a≥0，b≥0）.
文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积 .
注意：此公式成立的条件是a≥0，b≥0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
知识点5：二次根式乘法法则的逆用
新知探究
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先把化成 的形式;
2.利用 = （a≥0，b≥0）和 （a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如
拓展 = （a≥0，b≥0，c≥0）.
例4 化简：
解：
（2）
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
被开方数含这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,开得尽的因数或因式.
；
=
1.计算 ：（1） （2）
解：（1）=
.
（2）=
.
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新知探究
;
2.化简 ：
解：原式 =
=4 c
=4bc.
解：
;
=-3 =-6.
=
= .
带分数化为假分数
2.化简：
(1)
(2)
(1)=
==15.
=
.
法则: （a≥0，b>0）.
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 .
知识点6：二次根式的除法法则
新知探究
发现： ；
=
=
前提条件
注意：b作为分母不能为0.
系数相除
根式相除
系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.
二次根式的除法法则的推广
（1）
（1）二次根式除法法则中的a，b，既可以是一个数，也可以是其他代数式.
（2）被开方数若是带分数，应先化为假分数，再应用公式化简.
（3）在二次根式的计算中，最后的结果中被开放数应不含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，同时分母中不含二次根式.
注意：
例5 计算：
（1）; （2）.
=2;
（3） ; （4）.
解：（3）
=2；
.
注意：先将带分数转化为假分数再进行运算.
符号表示：
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 .
知识点7：二次根式除法法则的逆用
新知探究
（a≥0，b>0）.
注意：此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
1.二次根式除法法则的逆用也称为商的算术平方根的性质.
2.公式中的a, b既可以是一个数，也可以是其他代数式.
3.利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二次根式.
说明：
例2 化简：
（1）
解：（1）
;
（2）
=
化简：（1） ; （2）
解：（1）
.
（2）
==.
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新知探究
.
计算：（1）
解：（1）
=3.
（2）
原式==2.
随堂练习
;
（2） .
（3）
解：
；
=2
.
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
知识点8：最简二次根式
新知探究
即被开方数必须是整数（式）
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
解：∵ S=ab，
例6 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知S= ，b= ，求 a.
∴=.
化简二次根式的一般方法
1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.
2.化去根号下的分母
①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数.
②若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数.
3.被开方数是多项式的要先进行因式分解.
二次根式化成最简二次根式的步骤
分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.
移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上.
化：化去被开方数中的分母.
约：约分，化为最简二次根式.
1.判断: 下列各式中，哪些是最简二次根式？
（1）； （2）；
（3）； （4）
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新知探究
2.化简： 将下列各式化简为最简二次根式.
（1）
∴
解：（1）∵ ，
∴ a≥0.
（2）
.
,
;
（3）
解：（3）
=
（4）
2.化简： 将下列各式化简为最简二次根式.
;
.
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.
A.
B.
C.
D.
A
含有能开得尽方的因式
被开方数含有分母
含有能开得尽方的因数
随堂练习
2.把下列二次根式化成最简二次根式.
（1）；（2） （ 3） ； （4）
解：（1）
;
（2）
（3）
（4）
=.
3.设长方形的面积为 S，相邻两边的长分别为 a，b. 已知S=16，b= ，求 a.
解：∵S=ab，
∴=.
同类二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式.
合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律的逆向运用.
知识点9：同类二次根式
新知探究
在下列二次根式中，能与合并的是（ ）.
A. B. C. D.
B
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新知探究
解析：选项B ，
选项C
选项D
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
知识点10：二次根式的加减
新知探究
注意：（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
二次根式加减运算的一般步骤
1.化：将每个二次根式都化成最简二次根式；
2.找：找出被开方数相同的二次根式；
3.合：将被开方数相同的二次根式合并成一项.
二次根式的乘除法与二次根式的加减法的
运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法
系数
被开方数
化简
系数相乘除.
系数相加减.
被开方数相乘除.
被开方数不变.
结果化为最简二次根式.
先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.
例 计算：
（1） （2）
解：（1）
（2）
注意：一定要将不能开方的数字和字母作为结果的一部分保留.
1.下列计算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
C
解析：A. 2×3=6×5=30，B，D 不是同类二次根式，不能相加减.
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新知探究
2.计算：
（1） （2）.
解析：（1）原式=
（2）
1.二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
2.二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号），与整式的混合运算顺序相同.
知识点11：二次根式的混合运算
新知探究
注意：一定要注意二次根式的运算顺序.
3.二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
运用类比的思想，将二次根式的混合运算类比成整式的混合运算.
4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法
（1）
（2）.
（3）
（4）.
（6）
.
（5）
一般来说，没有特别说明就将字母默认为大于等于零的数字或式子.
二次根式的混合运算的重点
1.二次根式的混合运算结果一定要化成最简形式；
2.在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时要注意公式的正用和逆用，以及简化运算过程.
解：（1）+
=+=4
（2）--.
例7 计算：
（1）. （2）.
例8 计算：
（1）.（2）
解：（1）
15=.
（2）=5 3=2.
解：（1）
+
=+=2
=4.
（2）
== .
跟踪训练
新知探究
计算：（1）. （2）
解：原式+4-4+2+6
=3+4-4+2+2
=7.
随堂练习
.
2.计算：（1） × .（2）
解：（1）原式=
=+
=6+10.
（2）原式
=75+20
20.
3.计算：
（1）. （2）
解：（1）原式+3+6
11+5.
（2）
原式=