圆的标准方程[上学期]
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(共14张PPT)
圆的标准方程
新疆奎屯市一中 王新敞
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
建系、设点
条件立式
代换
化简方程
查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
x
C
M
r
O
y
说明：
1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。
设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(x-3)2+(y-4)2=5
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
5
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
C
y
x
O
M
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据点到直线的距离公式，得
| 3×1— 4×3 — 7 |
32+(-4)2
=
5
16
r =
因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2
=
25
256
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
y
x
O
.
,
),
(
.
,
.
1
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r
y
y
x
x
r
y
x
M
x
x
y
x
y
y
M
y
x
k
x
y
k
k
k
k
OM
OM
=
+
=
+
-
-
=
-
-
=
=
-
=
所求的切线方程是
在圆上,所以
因为点
的切线方程是
经过点
，
解:设切线的斜率为 则
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
P(x , y )
由勾股定理：OM2+MP2=OP2
解法二（利用平面几何知识）：
在直角三角形OMP中
y
x
O
x0x +y0 y = r2
圆的方程是 ，经过圆上一点
的切线的方程
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 的切线方程。
6
练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：
（1）斜率等于1的切线的方程；
2x + y =10
6
6
2
（2）在y轴上截距是 的切线方程。
y = ± x+
2
所以切线方程为：y = x±
2
提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1，得： |b|
12+(-1)2
=1 解得b=±
2
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y
x
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。
课后思考题：
x+3y=10 或 3x-y=10
(x+ )2+(y+ )2=
3
4
3
4
9
50
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
作业：
习题7.7 P81 1(2)、2 、 4
圆的标准方程
新疆奎屯市一中 王新敞
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x,y)=0
(4)化方程 f(x,y)=0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
建系、设点
条件立式
代换
化简方程
查缺补漏
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
x
C
M
r
O
y
说明：
1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。
2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。
设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
(x-3)2+(y-4)2=5
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
5
(x-8)2+(y+3)2=25
补充练习：
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
(1,0)
6
(-1,2) 3
(-a,0) |a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
C
y
x
O
M
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据点到直线的距离公式，得
| 3×1— 4×3 — 7 |
32+(-4)2
=
5
16
r =
因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2
=
25
256
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
y
x
O
.
,
),
(
.
,
.
1
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
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r
y
y
x
x
r
y
x
M
x
x
y
x
y
y
M
y
x
k
x
y
k
k
k
k
OM
OM
=
+
=
+
-
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=
-
-
=
=
-
=
所求的切线方程是
在圆上,所以
因为点
的切线方程是
经过点
，
解:设切线的斜率为 则
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
P(x , y )
由勾股定理：OM2+MP2=OP2
解法二（利用平面几何知识）：
在直角三角形OMP中
y
x
O
x0x +y0 y = r2
圆的方程是 ，经过圆上一点
的切线的方程
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 的切线方程。
6
练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：
（1）斜率等于1的切线的方程；
2x + y =10
6
6
2
（2）在y轴上截距是 的切线方程。
y = ± x+
2
所以切线方程为：y = x±
2
提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1，得： |b|
12+(-1)2
=1 解得b=±
2
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y
x
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。
课后思考题：
x+3y=10 或 3x-y=10
(x+ )2+(y+ )2=
3
4
3
4
9
50
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2 = r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
作业：
习题7.7 P81 1(2)、2 、 4