全国人教版数学九年级上册课课练：24章 专题训练 圆中常用辅助线的作法（含答案解析）

专题训练　圆中常用辅助线的作法
　作法一　作半径或直径
①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形
1.如图图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为(　　)
A.5 B. C.5 D.5
2.2019·绍兴如图图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2 ，则的长为(　　)
A.π B.π C.2π D.2 π
3.2020·攀枝花如图图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝________.
②连接过切点的半径或直径：见切线，连切点，得垂直
4.2019·青岛如图图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为(　　)
A.π B.2π C.2 π D.4π
5.2019·台州如图图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.4－
6.如图图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长.
　作法二　作弦心距：解决弦长的计算与证明问题
7.一条排水管的截面如图图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，排水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽为(　　)
A.1.4 m B.1.6 m C.1.8 m D.2 m
8.如图图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 ，则a的值是(　　)
A.2 B.2＋ C.2 D.2＋
　作法三　构造直径所对的圆周角：见直径想直角
9.2020·泰安如图图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为(　　)
A.4 B.4 C. D.2
10.2019·绵阳如图图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长.
　作法四　判定直线与圆相切(作半径或作垂直)
①有交点 作半径，证垂直
11.如图图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE.
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.
　
12.如图图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线.
②无交点 作垂直，证半径
13.如图图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点.
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长.
答案
1.D　 如图图图,连接OB,OA,
设OB与AP交于点D.由PB＝AB可知＝,从而可知OB⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB为等边三角形,在Rt△OAD中,运用“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD的长,从而可求出AP的长为5 .故选D.
2.A　 在△ABC中,由三角形内角和定理,得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°.
连接OB,OC,则∠BOC＝2∠A＝90°.
设圆的半径为r,由勾股定理,得r2＋r2＝(2 )2,解得r＝2,所以的长为＝π.
3.1　 如图图图,连接OB,OC,
则易知∠BOC＝2∠BAC＝120°,由垂径定理可知∠BOD＝∠BOC＝60°,
则∠OBD＝30°,∴OD＝OB＝1.
4.B　 如图图图,连接CO,DO.
因为AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,
所以∠ACO＝∠BDO＝90°.
又因为∠A＝45°,
所以∠AOC＝45°＝∠A,所以CO＝AC＝4.
因为AC＝BD,∠ACO＝∠BDO,CO＝DO,
所以△ACO≌△BDO,
所以∠DOB＝∠AOC＝45°,
所以∠DOC＝180°－∠DOB－∠AOC＝180°－45°－45°＝90°,所以的长＝＝2π.
故选B.
5.A　 如图图图,设⊙O与AC的切点为E,连接AO,OE.
∵等边三角形ABC的边长为8,
∴AC＝8,∠C＝∠BAC＝60°.
∵⊙O分别与边AB,AC相切,
∴∠OEC＝90°,∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°,
∴∠AOC＝90°,
∴OC＝AC＝4.
在Rt△OCE中,∠OEC＝90°,∠C＝60°,
∴∠COE＝30°,
∴CE＝OC＝2,∴OE＝2 ,
∴⊙O的半径为2 .
6.解：(1)连接OC.
∵∠COD＝2∠A,∠D＝2∠A,
∴∠COD＝∠D.
∵PD与⊙O相切于点C,
∴OC⊥PD,即∠OCD＝90°,
∴∠D＝×(180°－90°)＝45°.
(2)由(1)可知∠COD＝∠D,∴OC＝CD＝2.
由勾股定理,得OD＝＝2 ,
∴BD＝OD－OB＝2 －2.
7.B　 如图图图,过点O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,连接OC.
∵AB＝1.2 m,OE⊥AB,
∴AE＝AB＝0.6 m.
又∵OA＝1 m,
∴由勾股定理,得OE＝0.8 m.
∵排水管水面上升了0.2 m,
∴OF＝0.8－0.2＝0.6(m).
由题意可知CD∥AB.
∵OE⊥AB,∴OE⊥CD,
∴CF＝＝0.8 m,CD＝2CF,
∴CD＝1.6 m.故选B.
8.B　 如图图图,
连接PB,过点P作PC⊥AB于点C,过点P作横轴的垂线,垂足为E,交AB于点D,则PB＝2,BC＝.在Rt△PBC中,由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角,∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形,∴PD＝,DE＝OE＝2,∴a＝PE＝2＋.故选B.
9.B　 连接CD,如图图图.
∵AB＝BC,∠BAC＝30°,
∴∠ACB＝∠BAC＝30°,
∴∠B＝180°－30°－30°＝120°,
∴∠D＝180°－∠B＝60°.
∵AD是直径,
∴∠ACD＝90°,∴∠CAD＝30°.
又∵AD＝8,∴CD＝AD＝4,
∴AC＝＝＝4 .
10.解：(1)证明：∵C为的中点,
∴＝.
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴＝,∴＝,
∴CD＝BF.
在△BFG和△CDG中,
∴△BFG≌△CDG(AAS).
(2)解法一：如图图图①,连接OF.设⊙O的半径为r.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°.
在Rt△ADB中,BD2＝AB2－AD2,
即BD2＝(2r)2－22.
在Rt△OEF中,OF2＝OE2＋EF2,
即EF2＝r2－(r－2)2.
由(1)知＝＝,
∴＝,∴BD＝CF,
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2,
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2],
解得r＝1(不合题意,舍去)或r＝3,
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12,
∴BF＝2 .
解法二：如图图图②,连接OC,交BD于点H.
∵C是的中点,
∴OC⊥BD,
∴DH＝BH.
∵OA＝OB,
∴OH＝AD＝1.
∵∠COE＝∠BOH,∠OEC＝∠OHB＝90°,OC＝OB,
∴△COE≌△BOH(AAS),
∴OE＝OH＝1,
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3.
∵CF⊥AB,
∴CE＝EF＝＝＝2 ,
∴BF＝＝＝2 .
11.解：(1)证明：如图图图,连接BD,OD,OE.
∵AB为半圆O的直径,
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴DE＝BE.
在△OBE和△ODE中,
∴△OBE≌△ODE(SSS),
∴∠ODE＝∠ABC＝90°,即OD⊥DE.
又∵OD是半圆O的半径,
∴DE是半圆O的切线.
(2)在Rt△ABC中,∵∠BAC＝30°,
∴BC＝AC.
∵BC＝2DE＝4,∴AC＝8.
又∵∠C＝90°－∠BAC＝60°,DE＝BE＝EC,
∴△DEC为等边三角形,∴DC＝DE＝2,
∴AD＝AC－DC＝6.
12.证明：如图图图,作直径DG,连接BG.
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠G＝∠BAD,∠BDM＝∠DAC,
∴∠BDM＝∠G.
∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD＝90°,
∴∠G＋∠BDG＝90°,
∴∠BDM＋∠BDG＝90°,即∠MDG＝90°.
又∵OD是⊙O的半径,
∴直线DM是⊙O的切线.
13.解：(1)证明：如图图图,过点O作OM⊥AB,垂足为M.
∵⊙O与AC相切于点D,∴OD⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC.
又∵AO⊥BC,
∴∠DAO＝∠MAO.
又∵OM⊥AB,OD⊥AC,
∴OM＝OD,∴AB与⊙O相切.
(2)如图图图,过点O作ON⊥BE,垂足为N,连接OF.
依题意得O是BC的中点,∴OB＝2.
∵在Rt△OBM中,∠ABC＝60°,OB＝2,
∴BM＝1,OM＝.
∵BE⊥AB,OM⊥AB,ON⊥BE,
∴四边形OMBN是矩形,
∴ON＝BM＝1,BN＝OM＝.
在Rt△NOF中,∵OF＝OM＝,ON＝1,
∴由勾股定理得NF＝,
∴BF＝BN＋NF＝＋.