[切线长定理和三角形的内切圆]
一、选择题
1.2019·杭州如图图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点.若PA＝3，则PB等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.2020·通辽如图图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C等于( )
A.108° B.72°
C.54° D.36°
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何.”其意思是：“今有直角三角形(如图图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少.”答案是( )
A.3步 B.5步
C.6步 D.8步
4.如图图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 ，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )
A. B.
C.2 D.3
5.一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是( )
A.3 B.3
C.6 D.6
6.2020·永州如图图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心.其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7.如图图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________.
8.如图图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝6，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是________.
三、解答题
9.2019·资阳如图图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离.
10.如图图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.
(1)求BF＋CE的值；
(2)求△ABC的周长.
11.已知：如图图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10.点P在AC上，AP＝2.若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC分别相切于点D，E.求：
(1)△BAP的面积S；
(2)⊙O的半径.
12.如图图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小.
分类讨论思想如图图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t s，当t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？
答案
1.B
2.C 如图图图,连接OA,OB.
因为PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,
所以∠OAP＝∠OBP＝90°.
因为∠P＋∠OAP＋∠OBP＋∠AOB＝360°,∠P＝72°,
所以∠AOB＝108°.
由同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半,得∠C＝∠AOB＝54°.
3.C
4.C 在Rt△BCM中,∠MBC＝90°,∠C＝60°,∴∠BMC＝30°,∴BC＝MC,即MC＝2BC.由勾股定理,得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 ,
∴(2BC)2＝BC2＋12,∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径,且AB⊥BC,∴BC为⊙O的切线.又∵CD也为⊙O的切线,∴CD＝BC＝2.
5.D 设光盘的圆心为O,连接OA,OB,则OB⊥AB,∠OAB＝×(180°－60°)＝60°.
∵AB＝3,∴OA＝6,则OB＝＝3 ,
∴光盘的直径是6 .故选D.
6.C 如图图图.∵PA,PB是⊙O的两条切线,
∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO,故①正确.
∵PA＝PB,
∠APO＝∠BPO,
∴OP⊥AB,故②正确.
∵PA,PB是⊙O的两条切线,
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
取OP的中点Q,连接AQ,BQ,
则AQ＝OP＝BQ,
∴以点Q为圆心,QA为半径作圆,则点B,O,P,A共圆,故③正确.
若M是△AOP外接圆的圆心,
则MO＝MA＝MP＝AO,∴∠AOM＝60°,
与题目提供的条件不符,故④错误.
综上,正确的说法有3个.
故选C.
7.70° 由切线长定理可知∠OBD＝∠ABC＝20°.∵BC是⊙O的切线,∴OD⊥BC,∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.
8.12 ∵PA,PB分别切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,∴PB＝PA＝6,CA＝CE,DB＝DE,∴△PCD的周长＝PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋CA＋DB＋PD＝PA＋PB＝12.
9.解：(1)∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,∴PA＝PB,∠PAC＝90°.
又∵∠APB＝60°,∴△APB是等边三角形,
∴∠BAP＝60°,∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
(2)过点O作OD⊥AB于点D,如图图图所示,则AD＝BD＝AB.
由(1)得△APB是等边三角形,
∴AB＝PA＝1,∴AD＝.
在Rt△AOD中,∵∠BAC＝30°,
∴OD＝OA.
由勾股定理,得OA2＝OD2＋AD2,
即(2OD)2＝OD2＋()2,
∴OD＝,即点O到弦AB的距离为.
10.解：(1)∵△ABC外切于⊙O,切点分别为D,E,F,∴BF＝BD,CE＝CD,∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.故BF＋CE的值是7.
(2)如图图图,连接OE,OA.
∵△ABC外切于⊙O,切点分别为D,E,F,
∴AE＝AF,∠OEA＝90°,∠OAE＝∠BAC＝30°,
∴OA＝2OE＝2 .
由勾股定理,得AE＝＝＝3,∴AF＝3,
∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20.
11.解：(1)∵∠C＝90°,AC＝8,AB＝10,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC＝6,
∴△BAP的面积S＝AP·BC＝×2×6＝6.
(2)连接OD,OE,OA.设⊙O的半径为r,
则S△BAP＝AB·r＋AP·r＝6r,
∴6r＝6,解得r＝1.
故⊙O的半径是1.
12.解：如图图图,连接OB,CE.
∵PA,PB均是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∵∠APB＝80°,
∴在四边形OAPB中,∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°,
∴∠ACB＝∠AOB＝50°.
∵AE为⊙O的直径,∴∠ACE＝90°,
∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝40°,
∴∠BAE＝∠BCE＝40°.
∵在△ABD中,AB＝AD,
∴∠ADB＝∠ABD＝70°.
∵∠ADB是△ACD的一个外角,
∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝70°－50°＝20°.
[素养提升]
解：设运动t s时,直线PQ与⊙O相切于点G,过点P作PH⊥BC于点H,如图图图,
则PH＝AB＝8,BH＝AP＝t,
可得HQ＝|26－3t－t|＝|26－4t|.
由切线长定理,得AP＝PG,QG＝BQ,
则PQ＝PG＋QG＝AP＋BQ＝t＋26－3t＝26－2t.
由勾股定理,得PQ2＝PH2＋HQ2,即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2,
化简,得3t2－26t＋16＝0,解得t1＝,t2＝8,
所以当t＝或t＝8时,直线PQ与⊙O相切.
因为当t＝0时,直线PQ与⊙O相交,
当t＝时,点Q运动到点B,点P尚未运动到点D,但也停止运动,直线PQ也与⊙O相交,
所以可得以下结论：
当t＝或t＝8时,直线PQ与⊙O相切;
当＜t＜8时,直线PQ与⊙O相离;
当0≤t＜或8＜t≤时,直线PQ与⊙O相交.[直线和圆的位置关系]
一、选择题
1.2020·温州模拟已知⊙O的半径为6 cm，圆心O到直线a的距离为6 cm，则直线a与⊙O的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2.已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
3.2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
A.1 B.1或5 C.3 D.5
二、填空题
5.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d的取值范围是________.
6.已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则直线BC与⊙A的位置关系是________.
7.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________.
8.如图图，∠APB＝30°，⊙O的半径为1 cm，圆心O在直线PB上，OP＝3 cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为______________.
三、解答题
9.如图图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长.
分类讨论思想在平面直角坐标系中，圆心P的坐标为(－3，4)，以r为半径在平面直角坐标系内作圆：
(1)当r为何值时，⊙P与坐标轴有1个公共点？
(2)当r为何值时，⊙P与坐标轴有2个公共点？
(3)当r为何值时，⊙P与坐标轴有3个公共点？
(4)当r为何值时，⊙P与坐标轴有4个公共点？
答案
1.B
2.C 由题意可知,⊙O的半径为3 cm.∵圆心O到直线l的距离为π cm＞⊙O的半径3 cm,∴直线l与⊙O相离.故选C.
3.D
4.B 若⊙P位于y轴左侧且与y轴相切,则平移的距离为1;若⊙P位于y轴右侧且与y轴相切,则平移的距离为5.
5.0≤d≤3 6.相切
7.4 ∵R,d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根,且直线l与⊙O相切,
∴d＝R,∴方程有两个相等的实数根,
即Δ＝b2－4ac＝16－4m＝0,解得m＝4.
8.1 cm或5 cm 当⊙O与直线PA相切时,点O到直线PA的距离为1 cm.
∵∠APB＝30°,∴PO＝2 cm,
∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm).
9.解：由题意知BM＝4.分两种情况：
(1)当⊙P与CD相切时,设BP＝x,则PM＝PC＝8－x.
由勾股定理,得x2＋42＝(8－x)2,解得x＝3;
(2)当⊙P与AD相切时,半径PM＝点P到AD的距离＝8.
由勾股定理,得BP2＝82－42,解得BP＝4 (负值已舍去).
综上所述,BP的长为3或4 .
[素养提升]
解：(1)根据题意,知⊙P和y轴相切,则r＝3.
(2)根据题意,知⊙P和y轴相交,和x轴相离,则3＜r＜4.
(3)根据题意,知⊙P和x轴相切或经过坐标原点,则r＝4或r＝5.
(4)根据题意,知⊙P和x轴相交且不经过坐标原点,则r＞4且r≠5.[切线的判定和性质]
一、选择题
1.下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A.与圆有公共点的直线
B.垂直于圆的半径的直线
C.到圆心的距离等于半径的直线
D.经过圆的直径一端的直线
2.2020·重庆A卷如图图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝20°，则∠AOB的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.如图图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B.若∠B＝20°，则∠P的度数为( )
A.30° B.25° C.40° D.50°
4.2020·温州如图图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为( )
A.1 B.2 C. D.
5.如图图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A.DE＝DO B.AB＝AC C.CD＝DB D.AC∥OD
6.如图图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为( )
A. B. C.3 D.2
二、填空题
7.如图图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，OP＝5，PA切⊙O于点A，则PA＝________.
8.2020·苏州如图图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD.若∠C＝40°，则∠B的度数是________°.
9.如图图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB＝30°，则∠B＝________°.
10.如图图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径为________.
11.如图图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝－1，则∠ACD＝________°.
12.2020·台州如图图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE.若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为________.
三、解答题
13.2020·嘉兴已知：如图图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC＝BC.小明同学的证明过程如图图下框：
证明：连接OC.
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B.
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC.
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若不正确，请写出你的证明过程.
14.2020·宿迁节选如图图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.请判断直线AC是不是⊙O的切线，并说明理由.
15.2020·齐齐哈尔如图图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若直径AB＝6，求AD的长.
2020·德州庆云一模如图图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过点M作AB的垂线交BC的延长线于点E，F是ME上的一点，且EF＝CF.
(1)求证：直线CF是⊙O的切线；
(2)若∠B＝2∠A，AB＝8，且AC＝CE，求BM的长.
答案
1.C 2.D 3.D 4.D
5.A
6.B ∵PQ与⊙O相切,∴∠OQP＝90°,∴PQ＝＝,∴当OP最小时,PQ最小.而OP的最小值是点O到直线l的距离3,∴PQ的最小值为＝.故选B.
7.4 ∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA.
∵在Rt△OPA中,OP＝5,OA＝3,∴PA＝＝4.
8.25 9.60
10.6 ∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC＝90°.设⊙O的半径为x,则OB＝x,OC＝x＋4.在Rt△OBC中,由勾股定理,得x2＋82＝(x＋4)2,解得x＝6.∴⊙O的半径为6.
11.112.5 如图图图,连接OC.∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD.∵BD＝－1,OA＝OB＝OC＝1,∴OD＝,
∴CD＝＝＝1,∴OC＝CD,∴∠DOC＝45°.
∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠OCA＝∠DOC＝22.5°,
∴∠ACD＝∠OCA＋∠OCD＝22.5°＋90°＝112.5°.
12.55° ∵AD为⊙O的直径,
∴∠AED＝90°,∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
∵⊙O与BC相切,
∴∠ADC＝90°,
∴∠C＋∠DAE＝90°,
∴∠C＝∠ADE.
∵∠ADE＝55°,∴∠C＝55°.
13.解：小明的证法不正确.
证明：连接OC.
∵⊙O与AB相切于点C,
∴OC⊥AB.
又∵OA＝OB,
∴AC＝BC.
14.解：直线AC是⊙O的切线.
理由：如图图图,连接OA.
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD＝90°＝∠OAB＋∠OAD.
∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠ABC.
又∵∠CAD＝∠ABC,
∴∠OAD＋∠CAD＝90°,
∴OA⊥AC.
又∵点A在⊙O上,
∴直线AC是⊙O的切线.
15.解：(1)证明：如图图图,连接OD.
∵＝＝,
∴∠BOD＝×180°＝60°.
∵＝,
∴∠EAD＝∠DAB＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OD,∴∠ADO＝∠DAB＝30°,
∴∠EAD＝∠ADO,∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)连接BD,如图图图.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB＝90°.
∵∠DAB＝30°,AB＝6,
∴BD＝AB＝3,
∴AD＝＝3 .
[素养提升]
解：(1)证明：如图图图,连接OC.
∵OB＝OC,EF＝CF,
∴∠B＝∠OCB,∠FCE＝∠E.
∵EM⊥AB,
∴∠EMB＝90°,
∴∠E＋∠B＝90°,
∴∠OCB＋∠FCE＝90°,
∴∠FCO＝90°,
∴OC⊥CF.
又∵OC是⊙O的半径,
∴直线CF是⊙O的切线.
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°.
又∵∠B＝2∠A,
∴∠B＝60°,∠A＝30°,
∴BC＝AB＝4,
∴AC＝＝4 .
∵AC＝CE,
∴CE＝4 ,
∴BE＝BC＋CE＝4＋4 .
在Rt△BEM中,∵∠BME＝90°,∠B＝60°,
∴∠E＝30°,
∴BM＝BE＝2＋2 .
