[用画树状图法求概率]
一、选择题
1.《笠翁对韵》中写道“天对地，雨对风，大陆对长空”.现有四张书签，除正面分别写有“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别.从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成对子的概率是( )
A. B. C. D.
2.2020·枣庄不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是( )
A. B. C. D.
3.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
4.在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数分别记为m，n，则二次函数y＝(x－m)2＋n的图象的顶点在坐标轴上的概率为( )
A. B. C. D.
5.三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a，b，c，则以a，b，c为边长的三角形是等边三角形的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.2019·嘉兴从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为________.
7.2020·玉林经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，若这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________.
8.2019·益阳小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是________.
9.如图图所示，一只蚂蚁从点A出发到D，E，F处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如图图A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口).那么蚂蚁从点A出发到达E处的概率是________.
10.某市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另外从“引体向上”“推铅球”中选一项进行测试.小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是________.
三、解答题
11.“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，依次记为A，B，C，D，为了让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如图图下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A，B，C，D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报.求小明和小华查找同一位院士资料的概率.
12.2020·江西某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.
(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为________；
(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率.
13.2020·通辽甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋中各随机取出1个小球.用画树状图的方法求：
(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率.
2020·连云港从2021年起，江苏省高考采用“3＋1＋2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科.
(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
(2)若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率.
答案
1.B 画树状图如图图下：
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中抽到的书签正好配成对子的有4种结果,
所以抽到的书签正好配成对子的概率为.
2.A 画树状图如图图下：
可知共有9种等可能的结果,其中两次都摸出白球的情况有4种,所以P(两次都摸出白球)＝.
3.D 画树状图如图图下：
所以至少有两枚硬币正面向上的概率是＝.
4.A 画树状图如图图下：
由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中取到0的结果有8种,
所以二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率为＝.
5.A 画树状图如图图下：
由树状图知,共有27种等可能的结果,构成等边三角形的结果有3种,所以以a,b,c为边长的三角形是等边三角形的概率是＝.故选A.
6. 画树状图如图图下：
共有6种等可能的结果,甲被选中的结果有4种,由概率公式即可得出甲被选中的概率为＝.
7. 画树状图如图图下：
因为共有4种等可能的结果,两辆车中至少有一辆向左转有3种情况,
所以P(至少有一辆向左转)＝.
8. 画树状图如图图下：
因为从上到下的顺序总共有6种等可能的结果,顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种,
所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是.
9. 画树状图如图图图所示：
由树状图知,共有4种等可能的结果,蚂蚁从点A出发到达E处的结果有2种,
所以蚂蚁从点A出发到达E处的概率是＝.
10. 分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”,画树状图如图图图所示.
由图可知共有8种等可能的结果,小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种结果,所以小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是＝.
11.解：根据题意画树状图如图图下：
共有16种等可能的结果,其中小明和小华查找同一位院士资料的结果有4种,所以小明和小华查找同一位院士资料的概率为＝.
12.解：(1)
(2)根据题意画出树状图如图图下：
由树状图可得所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等,其中两名同学均来自八年级的结果共有2种,所以P(两名同学均来自八年级)＝＝.
13.解：画树状图如图图下：
(1)由树状图可知共有12种等可能的结果,其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果有(1,3,6),(1,4,7),(1,5,6),(2,3,7),(2,5,7),共5种,所以P(取出的3个小球上恰好有一个偶数)＝.
(2)由树状图可知共有12种等可能的结果,其中取出的3个小球上全是奇数的情况有(1,3,7),(1,5,7),共2种,所以P(取出的3个小球上全是奇数)＝＝.
[素养提升]
解：(1)
(2)画树状图如图图下所示：
由图可知,共有12种等可能的结果,其中选择化学、生物的结果有2种,
所以P(选择化学、生物)＝＝.
答：小明在“2”中选择化学、生物的概率是.[用直接列举法、列表法求概率]
一、选择题
1.从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( )
A. B. C. D.
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个球上分别写有“细”“致”的字样，B袋中的两个球上分别写有“信”“心”的字样，从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概率是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人用如图图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所在区域的数字之和为偶数，则甲获胜；若数字之和为奇数，则乙获胜；若指针落在分界线上，则重新转动转盘.甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
4.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，随机抽取3张，把抽到的3个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
5.三名九年级同学坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名同学没有坐回原位的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是________.
7.2020·湖州在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如图图下表所示.
第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ
白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ
红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是________.
8.2020·重庆B卷盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是________.
9.2019·娄底如图图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________.
10.若从－1，1，2这三个数中任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是________.
11.淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式决定，那么她们两人都抽到物理实验的概率是________.
三、解答题
12.甲、乙、丙三名同学站成一排合影留念.
(1)请按从左向右的顺序列出所有可能站位的结果；
(2)求出甲同学站在中间位置的概率.
13.2020·扬州防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A，B，C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.
(1)小明从A测温通道通过的概率是________；
(2)利用列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.
14.2020·孝感有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数字－1，2，5，8.
(1)随机抽取一张卡片，则抽取到的数字是偶数的概率为________；
(2)随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用列表法求抽取到的两数之差的绝对值大于3的概率.
方案设计母亲节当天，小明去花店买花送给母亲，挑中了康乃馨和兰花两种花.已知康乃馨每枝5元，兰花每枝3元，小明只有30元，希望购买花的枝数不少于7枝，其中至少有一枝是康乃馨.
(1)小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
(2)如图图果小明先购买一张2元的祝福卡，再从(1)中任选一种方案买花，求他能实现购买愿望的概率.
答案
1.C 列表如图图下：
－2 －1 2
－2 (－1,－2) (2,－2)
－1 (－2,－1) (2,－1)
2 (－2,2) (－1,2)
由表可知,共有6种等可能的结果,其中积为正数的有(－1,－2)和(－2,－1)这2种,所以P(积为正数)＝＝.
2.B 从每个口袋里各摸出一个球,有“细信”“细心”“致信”“致心”4种等可能的结果,其中组成“细心”字样的有1种结果,故概率是.
3.C 列表得：
B盘 和 A盘 3 4 5
1 4 5 6
2 5 6 7
3 6 7 8
所以甲获胜的概率是.
4.A
5.D 利用列举法可知,三人全部的坐法有6种,其中恰好有两名同学没有坐回原位的情况有3种,因此恰好有两名同学没有坐回原位的概率是＝.故选D.
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币共有4种等可能的结果,即正正,正反,反正,反反,其中一正一反的结果有2种,
所以所求概率＝＝.
7. 根据表格可知,共有9种等可能的结果,其中两次摸出的球都是红球的结果有4种,则两次摸出的球都是红球的概率为.
8. 本题考查了概率的计算,列表表示所有可能的结果如图图下：
第一次 和 第二次 1 2 3
1 3 4
2 3 5
3 4 5
由上表可知,共有6种等可能的结果,其中数字之和为奇数的结果有4种,所以点P(数字之和为奇数)＝＝.因此本题答案为.
9. 因为随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,共有3种情况：S1S2,S1S3,S2S3,能让灯泡发光的有S1S2,S1S3两种情况,所以随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡发光的概率为.
10. 列表如图图下：
横坐标 纵坐标 －1 1 2
－1 (1,－1) (2,－1)
1 (－1,1) (2,1)
2 (－1,2) (1,2)
由表可知,共有6种等可能的结果,其中点M在第二象限的结果有2种,即(－1,1)和(－1,2),所以所求概率＝＝.
11. 列表如图图下：
淘淘 丽丽 物 化 生
物 (物,物) (物,化) (物,生)
化 (化,物) (化,化) (化,生)
生 (生,物) (生,化) (生,生)
由表可知,共有9种等可能的结果,其中两人都抽到物理实验的结果只有1种,所以她们两人都抽到物理实验的概率是.
12.解：(1)三名同学的站法从左到右有(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲乙),(丙乙甲),共6种等可能的结果.
(2)甲同学站在中间位置的结果有2种,记为事件A,所以P(A)＝＝.
13.解：(1)
(2)列表格如图图下：
小明 小丽 A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
由表可知,共有9种等可能的结果,其中小明和小丽从同一个测温通道通过的结果有3种,
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝.
14.解：(1)
(2)用列表法表示所有可能的情况如图图下：
第一次 第二次 －1 2 5 8
－1 (－1,－1) (2,－1) (5,－1) (8,－1)
2 (－1,2) (2,2) (5,2) (8,2)
5 (－1,5) (2,5) (5,5) (8,5)
8 (－1,8) (2,8) (5,8) (8,8)
由上表可知抽取到的两数之差的绝对值有16种等可能的情况,其中两数之差的绝对值大于3的情况有6种,
∴抽取到的两数之差的绝对值大于3的概率为＝.
[素养提升]
解：(1)设小明购买x枝康乃馨,y枝兰花,其中x≥1,x,y均为整数,则
①＋②×3,得5x＋3y＋21≤30＋3x＋3y,
所以x≤,所以1≤x≤.
当x＝1时,5×1＋3y≤30,
所以y≤,所以y可取8,7,6,
所以可购买1枝康乃馨,8枝兰花或1枝康乃馨,7枝兰花或1枝康乃馨,6枝兰花.
当x＝2时,5×2＋3y≤30,
所以y≤,所以y可取6,5,
所以可购买2枝康乃馨,6枝兰花或2枝康乃馨,5枝兰花.
当x＝3时,5×3＋3y≤30,
所以y≤5,所以y可取5,4,
所以可购买3枝康乃馨,5枝兰花或3枝康乃馨,4枝兰花.
当x＝4时,5×4＋3y≤30,
所以y≤,所以y可取3,
所以可购买4枝康乃馨,3枝兰花.
综上所述,小明一共有8种购买方案.
方案如图图下表：(单位：枝)
康乃馨 兰花
方案一 1 8
方案二 1 7
方案三 1 6
方案四 2 6
方案五 2 5
方案六 3 5
方案七 3 4
方案八 4 3
(2)若小明先购买一张2元的祝福卡,则5x＋3y≤28,则他能实现购买愿望的方案为方案二、方案三、方案四、方案五、方案七,共5种,
所以从(1)中任选一种方案买花,他能实现购买愿望的概率为.
