全国人教版数学九年级上册课课练：25章 专题训练 概率与代数、几何等知识的综合应用（含答案解析）

专题训练　概率与代数、几何等知识的综合应用
　类型一　概率与代数式的综合
1.有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为x的值，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面数字作为y的值，两次结果记作(x，y).
(1)用画树状图法或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果；
(2)求使分式＋有意义的(x，y)出现的概率；
(3)化简分式＋，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率.
　类型二　概率与几何的综合
2.2019·常州将中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.根据以上信息，解决下列问题：
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒子中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率(不重叠、无缝隙拼接).
3.2019·孝感一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2，－1，0，1，它们除了数字不一样外，其他完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是________；
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.如图图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图法或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的图形内(含边界)的概率.
　类型三　概率与方程(或不等式)的综合
4.2020·金华模拟有三张正面分别写有数字1，3，4的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，把关于x，y的方程组的解记为平面直角坐标系中点A的坐标(x，y)，求点A在第四象限的概率.
5.2019·甘肃模拟在甲、乙两个不透明的口袋中装有大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能出现的结果.
(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解，则小利获胜，他们两人谁获胜的概率大？
　类型四　概率与函数的综合
6.2020·慈溪期中在－2，－1，0，1，2这五个数中任意取两个数m，n，已知有二次函数y＝(x－m)2＋n.
(1)先取m＝1，则从余下的数中任意取n，求二次函数图象与y轴交于负半轴的概率；
(2)任意取两个数m，n，求抛物线y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率.
7.在一个不透明的袋子里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小等完全相同.李强从袋子里随机取出1个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标(x，y).
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；
(2)求点M(x，y)在函数y＝x＋1的图象上的概率.
答案
1.解：(1)画树状图如图图下：
或列表如图图下：
　　x y　　 －2 －1 1
－2 (－2,－2) (－1,－2) (1,－2)
－1 (－2,－1) (－1,－1) (1,－1)
1 (－2,1) (－1,1) (1,1)
所以所有可能出现的结果为(－2,－2),(－2,－1),(－2,1),(－1,－2),(－1,－1),(－1,1),(1,－2),(1,－1),(1,1).
(2)要使分式＋有意义,则有(x＋y)(x－y)≠0,
所以只有(－2,－1),(－2,1),(－1,－2),(1,－2)符合条件,所以使分式＋有意义的(x,y)出现的概率为.
(3)＋
＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝.
将使分式＋有意义的(－2,－1),(－2,1),(－1,－2),(1,－2)分别代入上式,计算可得原式的值分别为,3,－,－3,
所以使分式的值为整数的(x,y)出现的概率为.
2.解：(1)
(2)画树状图如图图下：
由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种,故P(拼成的图形是轴对称图形)＝＝.
3.解：(1)
(2)由题意,列表如图图下：
　小聪 小明　 －2 －1 0 1
－2 (－2,－2) (－1,－2) (0,－2) (1,－2)
－1 (－2,－1) (－1,－1) (0,－1) (1,－1)
0 (－2,0) (－1,0) (0,0) (1,0)
1 (－2,1) (－1,1) (0,1) (1,1)
由表可知,点M的所有等可能的结果有16种,点M落在四边形ABCD所围成的图形内(含边界)的结果有(－2,0),(－1,－1),(－1,0),(0,－2),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,0),共8个,所以满足条件的概率为P＝＝.
4.解：当a＝1时,方程组的解为此时点A的坐标为(4,－1),在第四象限.
当a＝3时,方程组的解为此时点A的坐标为(0,1),不在第四象限.
当a＝4时,方程组的解为此时点A的坐标为(1,),不在第四象限.
因为抽到的卡片上的数字有1,3,4三种情况,且都是等可能的,
所以点A在第四象限的概率为.
5.解：(1)画树状图如图图图所示：
(2)解方程x2－5x＋6＝0,得x1＝2,x2＝3.
由树状图得共有12种等可能的结果,其中m,n都是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有4种,
m,n都不是方程x2－5x＋6＝0的解的结果有2种,
所以小明获胜的概率为＝,小利获胜的概率为＝,所以小明获胜的概率大.
6.解：(1)先取m＝1,则从余下的数中任意取n,则n的可能取值有4个,且它们出现的可能性相等,其中使二次函数图象与y轴交于负半轴的取值只有1个,所以二次函数图象与y轴交于负半轴的概率为.
(2)画树状图如图图下：
由树状图可知在－2,－1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,一共有20种等可能的结果,其中取到0的结果有8种,
所以抛物线y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为＝.
7.解：(1)画树状图如图图下：
由图可知,点M的坐标共有12种,
即(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)以上12个点中,在函数y＝x＋1的图象上的点有3个,
即(1,2),(2,3),(3,4),
所以所求概率＝＝.