[配方法]
一、选择题
1.用配方法解方程x2－16x＝4时，需要两边同时加上( )
A.4 B.16 C.24 D.64
2.用配方法解下列方程，其中应在方程的两边都加上4的方程是( )
A.x2－2x＝5 B.2x2－4x＝5
C.x2＋4x＝5 D.x2＋2x＝5
3.2020·聊城用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( )
A.(x－)2＝ B.(x－)2＝
C.(x－)2＝ D.(x－)2＝
4.对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是( )
A.一定为正数 B.一定为负数
C.正、负都有可能 D.一定小于－1
二、填空题
5.填空：
(1)x2＋4x＋(____)＝(x＋____)2；
(2)x2＋(____)x＋＝（x-2.5)2 ；
(3)x2－x＋(______)＝(x－______)2；
(4)x2－px＋(______)＝(x－______)2.
6.用配方法解方程x2－2x－5＝0时，将方程化为(x－m)2＝n的形式，则m＝________，n＝________.
7.已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±，则q＝________.
8.若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________.
三、解答题
9.小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如图图下：
x2－2x＝－1.(第一步)
x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)
(x－1)2＝0.(第三步)
x1＝x2＝1.(第四步)
(1)小明的解答过程从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；
(2)请写出此题正确的解答过程.
10.用配方法解下列方程：
(1)x2＋6x＝－7；
(2)4y2＋4y＋3＝0；
(3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
材料阅读我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如图图下：
x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8＝(x＋3)2－1＝(x＋3＋1)(x＋3－1)＝(x＋4)(x＋2).
(1)请仿照上述过程，完成以下练习：
x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－8x－4＝[x＋(______)][x＋(______)].
(2)请用配方法分解因式：x4＋4.
答案
1.D 2.C
3.A 由2x2－3x－1＝0,得2x2－3x＝1,∴x2－x＝,x2－x＋()2＝＋()2,∴(x－)2＝.
4.B ∵－x2＋4x－5＝－(x2－4x＋4)－1＝－(x－2)2－1＜0,∴原式的值一定为负数.
5. (1)4 2
(2)－5
(3)
(4)
6.1 6 x2－2x－5＝0,x2－2x＝5,x2－2x＋1＝5＋1,(x－1)2＝6,所以m＝1,n＝6.
7.2
8.181 x2－2x－3599＝0,x2－2x＝3599,x2－2x＋1＝3599＋1,(x－1)2＝3600,所以x－1＝60或x－1＝－60,所以x＝61或x＝－59.又因为a＞b,所以a＝61,b＝－59,所以2a－b＝2×61－(－59)＝181.
9.解：(1)一 移项时没有变号
(2)x2－2x＝1.
x2－2x＋1＝1＋1.
(x－1)2＝2.
x－1＝±.
所以x1＝1＋,x2＝1－.
10.解：(1)配方,得x2＋6x＋9＝－7＋9,
即(x＋3)2＝2.
方程两边开平方,得x＋3＝±.
所以x1＝－3＋,x2＝－3－.
(2)移项,得4y2＋4y＝－3.
配方,得4y2＋4y＋1＝－3＋1,
即(2y＋1)2＝－2.
因为无论y为任何实数,总有(2y＋1)2≥0,
所以此方程无实数根.
(3)去括号,得4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7.
整理,得x2－6x＝－8.
配方,得x2－6x＋9＝－8＋9,即(x－3)2＝1.
所以x－3＝±1,所以x1＝2,x2＝4.
[素养提升]
解：(1)－1 5 －2 －3 －4－2 －4＋2
(2)x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2＋2x)(x2＋2－2x).[直接开平方法]
一、选择题
1.如图图果一个数的平方等于9，那么这个数是( )
A.±3 B.－3
C.3 D.±
2.方程x2－4＝0的根是( )
A.x1＝2，x2＝－2 B.x＝－2
C.x＝2 D.x1＝2，x2＝0
3.如图图果代数式3x2－6的值为21，那么x的值是( )
A.3 B.±3 C.－3 D.±
4.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A.x－6＝－4 B.x－6＝4
C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4
5.已知x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个根，且x1＜x2，则下列说法正确的是( )
A.x1小于－1，x2大于3
B.x1小于－2，x2大于3
C.x1，x2都在－1和3之间
D.x1，x2都小于3
6.2019·怀化一元二次方程x2＋2x＋1＝0的根是( )
A.x1＝1，x2＝－1
B.x1＝x2＝1
C.x1＝x2＝－1
D.x1＝－1，x2＝2
7.若关于x的方程(ax－1)2－16＝0的一个根是2，则a的值是( )
A. B.－
C.－或 D.或－
二、填空题
8.2020·扬州方程(x＋1)2＝9的根是________.
9.对于方程(3y＋2)2＝4(y－3)2，两边开平方，得3y＋2＝__________.
10.在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为a☆b＝a2－b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为_____________________.
三、解答题
11.解下列方程：
(1)16x2－49＝0； (2)64(1＋x)2＝100；
(3)(x－3)2－9＝0; (4)9x2＋6x＋1＝8；
(5)4(2x＋1)2－1＝24; (6)(3x－1)2＝(3－2x)2.
12.如图图所示，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B出发，沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如图图果点P，Q同时从点B出发，那么几秒后△PBQ的面积等于8 cm2
待定系数法若关于x的一元二次方程a(x－b)2＝7的两根为± ，则a＋b等于( )
A. B. C.3 D.5
答案
1.A 2.A
3.B 由题意知3x2－6＝21.移项,得3x2＝27.两边同除以3,得x2＝9.两边直接开平方,得x1＝3,x2＝－3.
4.D
5.A ∵x1,x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个根,且x1＜x2,
∴(x－1)2＝5,
∴x－1＝±,
∴x1＝1－＜－1,x2＝1＋＞3.故选A.
6.C
7.D 由根的定义,得(2a－1)2－16＝0.移项,得(2a－1)2＝16.两边开平方,得2a－1＝±4.所以a1＝,a2＝－.
故选D.
8.x1＝2,x2＝－4 本题考查了直接开平方法解一元二次方程,本题直接开平方求解即可.(x＋1)2＝9,x＋1＝±3,所以x1＝2,x2＝－4.故答案为x1＝2,x2＝－4.
9.±2(y－3) 式开平方和数开平方一样,要添“±”号.
10.x1＝6,x2＝－6 由a☆b＝a2－b2知4☆3＝42－32＝7,所以(4☆3)☆x＝7☆x＝72－x2,所以72－x2＝13.解这个方程,得x1＝6,x2＝－6.
11.(1)x1＝,x2＝－
(2)x1＝,x2＝－
(3)x1＝0,x2＝6
(4)x1＝,x2＝
(5)x1＝,x2＝－
(6)x1＝,x2＝－2
12.解：设x s后△PBQ的面积等于8 cm2,
则PB＝x cm,BQ＝2x cm.
依题意,得x·2x＝8,
即x2＝8.
解得x1＝2 ,x2＝－2 (不合题意,舍去).
所以2 s后△PBQ的面积等于8 cm2.
[素养提升]
B 解方程a(x－b)2＝7,得x＝b±.与方程的根± 比较,得a＝4,b＝.∴a＋b＝4＋＝.故选B.
