全国人教版数学九年级上册课课练：21章 专题训练 根的判别式的三种应用（含答案解析）

专题训练　根的判别式的三种应用
　应用一　应用一元二次方程的根的判别式判断方程根的情况
1.2020·滨州对于任意实数k，关于x的方程x2－(k＋5)x＋k2＋2k＋25＝0的根的情况为(　　)
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
2.2019·河北小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c值比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是(　　)
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x＝－1
D.有两个相等的实数根
　应用二　根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值范围
3.2020·黔西南州已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)
A.m＜2 B.m≤2
C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1
4.2020·北京海淀区月考已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根.
(1)求a的取值范围；
(2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解.
　应用三　证明一元二次方程根的情况
5.已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，其中p为实数.
(1)求证：不论p为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当p为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)
6.已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋3k＝0.
(1)求证：不论k取何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长.
答案
1.B　 x2－(k＋5)x＋k2＋2k＋25＝0,
Δ＝b2－4ac＝[－(k＋5)]2－4××(k2＋2k＋25)＝－k2＋6k－25＝－(k－3)2－16.
不论k为何值,总有－(k－3)2≤0,
即Δ＝－(k－3)2－16＜0,
所以方程没有实数根.
2.A　 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根,
∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0,
解得c＝5.
∴原方程为x2＋4x＋5＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝42－4×1×5＝－4＜0,
∴原方程没有实数根.
3.D　 ∵关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根,
∴
解得m≤2且m≠1.
4.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根,
∴Δ＝(－3)2－4(a－1)＝－4a＋13≥0,
解得a≤,
即a的取值范围是a≤.
(2)∵a的取值范围是a≤,
∴整数a的最大值是3.
把a＝3代入方程x2－3x＋a－1＝0,得x2－3x＋2＝0,
解得x1＝1,x2＝2.
5.解：(1)证明：原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(4－p2)＝4p2＋9＞0,
∴不论p为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.
由求根公式得方程的根为x＝.
∵方程有整数解,
∴找到p的值,使为整数即可,
∴p可取0,2,－2,,－等,此时方程有整数解(答案不唯一,写出三个即可).
6.解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－(k＋3)]2－4·3k＝(k－3)2≥0,
∴不论k取何实数,该方程总有实数根.
(2)当△ABC的底边长为2时,方程有两个相等的实数根,
则(k－3)2＝0,解得k＝3,
此时方程为x2－6x＋9＝0,
解得x1＝x2＝3,
∴三角形的三边长分别为2,3,3,故△ABC的周长为2＋3＋3＝8;
当△ABC的腰长为2时,方程有一根为2.
把x＝2代入方程,得22－2(k＋3)＋3k＝0,
解得k＝2,此时方程为x2－5x＋6＝0,
解得x1＝2,x2＝3,
∴三角形的三边长分别为2,2,3,故△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
综上,△ABC的周长为8或7.