全国人教版数学九年级上册课课练：21章 专题训练 配方法的四种应用（含答案解析）

第21章专题训练　配方法的四种应用
　应用一　利用配方法解一元二次方程
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)
A.x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B.x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C.2t2－7t－4＝0化为＝
D.3x2－4x－2＝0化为＝
2.用配方法解一元二次方程x2－2 x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________.
　应用二　利用配方法求最值
3.阅读：求y2＋4y＋8的最小值.
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，即(y＋2)2的最小值为0，
∴y2＋4y＋8的最小值为4.
根据上面的解答过程，解决下列问题：
(1)求m2＋2m＋4的最小值；
(2)求4－x2＋2x的最大值；
(3)证明：无论x取何实数，代数式－x2＋2x－3的值一定是负数；
(4)若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为(　　)
A.M≥N B.M＞N C.M≤N D.M＜N
　应用三　利用配方法和非负数的性质求值
4.2020·济南平阴期末王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题.
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值.
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
即(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3.
为什么要对2n2进行拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法后，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好地解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程.
(1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；
(2)已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长.
　应用四　利用配方法求代数式的值
5.已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：
(1)x2＋y2；(2)x2－xy＋y2；(3)(x－y)2.
6.已知x2－3x＋1＝0，求下列各式的值：
(1)x2＋；　　　　(2)(x－)2.
答案
1.B　 B项,x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝7,故本选项错误,其他选项均正确.
2.－1　＋1
3.解：(1)m2＋2m＋4
＝m2＋2m＋1＋3
＝(m＋1)2＋3.
∵(m＋1)2≥0,
∴(m＋1)2＋3≥3,即m2＋2m＋4的最小值为3.
(2)4－x2＋2x
＝－x2＋2x＋4
＝－(x2－2x＋1)＋5
＝－(x－1)2＋5.
∵(x－1)2≥0,
∴－(x－1)2≤0,
∴－(x－1)2＋5≤5,即4－x2＋2x的最大值为5.
(3)证明：－x2＋2x－3＝－(x2－2x)－3＝－(x2－2x＋1)＋1－3＝－(x－1)2－2.
∵－(x－1)2≤0,∴－(x－1)2－2＜0,
∴无论x取何实数,代数式－x2＋2x－3的值一定是负数.
(4)A　 M－N＝(2x2－12x＋15)－(x2－8x＋11)
＝x2－4x＋4
＝(x－2)2.
∵(x－2)2≥0,
∴M≥N.
4.解：(1)∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0,
∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0,
即(x－2y)2＋(y＋1)2＝0,
∴x－2y＝0,y＋1＝0,
∴x＝－2,y＝－1,
∴xy＝(－2)－1＝－.
(2)∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0,
∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0,
即(a－5)2＋(b－6)2＝0,
∴a－5＝0,b－6＝0,
∴a＝5,b＝6.
当5是腰长时,△ABC的三边长分别为5,5,6,则此三角形的周长＝5＋5＋6＝16;
当6是腰长时,△ABC的三边长分别为5,6,6,则此三角形的周长＝5＋6＋6＝17.
∴此三角形的周长为16或17.
5.解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.
(2)x2－xy＋y2＝x2＋y2－xy＝23－(－7)＝30.
(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋y2－2xy＝23－2×(－7)＝37.
6.解：(1)方程x2－3x＋1＝0的两边同除以x并移项,得x＋＝3,
∴x2＋＝(x＋)2－2x·＝9－2＝7.
(2)(x－)2＝(x＋)2－4x·＝9－4＝5.