[用待定系数法求二次函数的解析式]
一、选择题
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )
A.y＝x2－3x＋2 B.y＝2x2－6x＋4
C.y＝2x2＋6x－4 D.y＝x2－3x－2
2.如图图，抛物线的函数解析式是( )
A.y＝x2－x＋2 B.y＝x2＋x＋2
C.y＝－x2－x＋2 D.y＝－x2＋x＋2
3.如图图果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点坐标是(0，－4)，那么这条抛物线的解析式是( )
A.y＝－x2－2x－4
B.y＝－x2＋2x－4
C.y＝－(x＋3)2－1
D.y＝－x2＋6x－12
4.已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( )
A.－1，－2 B.4，－2
C.－4，0 D.4，0
5.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是( )
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A.y＝x2－4x＋3 B.y＝x2－3x＋4
C.y＝x2－3x＋3 D.y＝x2－4x＋8
6.海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为米.在如图图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )
A . y＝－＋3 B. y＝3＋1
y＝－8＋3 D. y＝－8＋3
二、填空题
7.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________.(只需写一个)
8.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________.
9.如图图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，那么它对应的函数解析式是______________.
三、解答题
10.分别求出满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)图象经过点A(1，0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2；
(2)图象的顶点坐标是(－2，3)，且过点(1，－3)；
(3)如图图，图象经过A，B，C三点.
11.2020·厦门湖里区月考已知抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为A(－1，2)，且过点B(0，3).
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当－3≤x≤－2时，试求y的取值范围.
12.2020·武汉江岸区月考如图图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若C是该抛物线上A，B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值.
数形结合思想2020·枣庄节选如图图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为N.设点M的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少.
答案
1.B 把(1,0),(2,0),(3,4)分别代入y＝ax2＋bx＋c,得解得
所以y＝2x2－6x＋4.故选B.
2.D 先设出函数解析式,然后把(0,2),(－1,0),(2,0)分别代入函数解析式,列出方程组,求出各系数即可.
3.B 设这条抛物线的解析式是y＝a(x－3)2－1.
∵抛物线与y轴的交点坐标是(0,－4),
∴－4＝9a－1,解得a＝－,
∴y＝－(x－3)2－1,
即y＝－x2＋2x－4.故选B.
4.D
5.A ∵当x＝1时,ax2＝1,∴a＝1.
将(－1,8),(0,3)分别代入y＝x2＋bx＋c,得解得
∴y与x之间的函数解析式是y＝x2－4x＋3.故选A.
6.C
7.答案不唯一,如图图y＝2x2－1 ∵图象的顶点坐标为(0,－1),
∴该二次函数的解析式为y＝ax2－1.
又∵二次函数的图象开口向上,
∴a＞0,
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2－1.
8.y＝(x＋2)2＋1 已知抛物线的顶点坐标,可以设顶点式y＝a(x－h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同,所以a＝,所以该抛物线的函数解析式是y＝(x＋2)2＋1.
9.y＝－x2＋2x＋3 ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1,∴＝1,
解得b＝2.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴的一个交点的坐标为(3,0),∴0＝－9＋6＋c,解得c＝3.
故抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
10.解：(1)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意,得解得
∴函数解析式为y＝－x2＋4x－3.
(2)∵图象的顶点坐标为(－2,3),
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.
把(1,－3)代入,
可得a(1＋2)2＋3＝－3,
∴a＝－,
∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3(或y＝－x2－x＋).
(3)根据二次函数的图象可知：
A(－1,0),B(0,－3),C(4,5).
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
把A(－1,0),B(0,－3),C(4,5)代入y＝ax2＋bx＋c,得解得
即二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
11.解：(1)∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为A(－1,2),
∴y＝a(x＋1)2＋2.
∵抛物线y＝a(x＋1)2＋2过点B(0,3),
∴a＋2＝3,解得a＝1,
∴抛物线的函数解析式为y＝(x＋1)2＋2.
(2)在y＝(x＋1)2＋2中,
当x＝－2时,y＝1＋2＝3,
当x＝－3时,y＝4＋2＝6,
故当－3≤x≤－2时,y的取值范围为3≤y≤6.
12.解：(1)由题意,得A(－1,0),B(0,a),
∴OA＝1,OB＝－a.
∵S△AOB＝,
∴×1×(－a)＝,解得a＝－1,
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2.
(2)∵A(－1,0),B(0,－1),
∴直线AB的解析式为y＝－x－1.
过点C作CD⊥x轴,交直线AB于点D,如图图图.
设C(x,－(x＋1)2),则D(x,－x－1),
∴CD＝－(x＋1)2＋x＋1.
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝[－(x＋1)2＋x＋1]×1,
∴S△ABC＝－(x＋)2＋.
∵－＜0,
∴当x＝－时,△ABC的面积最大,最大值是.
[素养提升]
解：(1)将A(－3,0),B(4,0)代入y＝ax2＋bx＋4,得解得
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)由y＝－x2＋x＋4,得C(0,4).
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋n.
将B(4,0),C(0,4)代入y＝kx＋n,
得解得
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋4.
由M(m,0),得P(m,－m2＋m＋4),
Q(m,－m＋4),
∴PQ＝－m2＋m＋4＋m－4＝－m2＋m.
∵OB＝OC,∴∠OCB＝45°.
∵PM⊥x轴,∴PM∥OC,
∴∠PQN＝∠OCB＝45°,
∴PN＝PQ·＝(－m2＋m)＝－m2＋m＝－(m－2)2＋.
∵－＜0,
∴当m＝2时,PN有最大值,最大值是.[二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质]
一、选择题
1.将二次函数y＝2x2－8x－1化成y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是( )
①y＝2x2－8x－1＝2(x2－4x＋22)－2×22－1＝2(x－2)2－9；
②y＝2x2－8x－1＝2x2－8x＋42－42－1＝2(x－4)2－17；
③y＝2(x2－4x－)＝2(x2－4x＋22－22－)＝2[(x－2)2－]＝2(x－2)2－9；
④y＝2x2－8x－1＝x2－4x－＝x2－4x＋4－4－＝(x－2)2－.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
2.抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )
A.直线x＝2 B.直线x＝－2
C.直线x＝1 D.直线x＝－1
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c中y与x的部分对应值如图图下表：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的对称轴是( )
A.直线x＝－3 B.直线x＝－2
C.直线x＝－1 D.直线x＝0
4.下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.经过原点 D.在对称轴右侧的部分是下降的
5.2019·济宁将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )
A.y＝(x－4)2－6 B.y＝(x－1)2－3
C.y＝(x－2)2－2 D.y＝(x－4)2－2
6.2020·温州已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A.y3＜y2＜y1 B.y3＜y1＜y2
C.y2＜y3＜y1 D.y1＜y3＜y2
7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图图，则( )
A.b＞0，c＞0 B.b＞0，c＜0
C.b＜0，c＜0 D.b＜0，c＞0
8.抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围是( )
A.b≥－1 B.b≤－1
C.b≥1 D.b≤1
10.2020·鄂州如图图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和B，与y轴交于点C.有下列结论：①abc<0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④a－b＋c＝0.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11.二次函数y＝－x2＋6x－5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x轴的两个交点坐标分别是________________，与y轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x________时，y随x的增大而________，在对称轴右侧，即x________时，y随x的增大而________，当x＝________时，y有最________值为________；抛物线y＝－x2＋6x－5是由抛物线y＝－x2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的.
12.若二次函数y＝2x2＋bx＋3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为________.
13.如图图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________.
三、解答题
14.已知二次函数y＝x2－2x－1.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)通过列表、描点、连线，在中画出该函数的图象；
(3)求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标.
15.2019·宁波如图图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).
(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点Q(m，n)在该二次函数的图象上：
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
16.抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1).
(1)求平移后的抛物线的解析式；
(2)设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积.
数形结合思想2020·龙东地区如图图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a的图象与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△ABC的面积是6.
(1)求a的值.
(2)在抛物线上是否存在一点P(异于点C)，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
1.C
2.C
3.B ∵当x＝－3和x＝－1时的函数值都是－3,∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－2.故选B.
4.C (1)∵二次函数y＝x2－x的二次项系数为1＞0,∴图象开口向上,∴A选项错误;(2)∵对称轴为直线x＝－＝,∴B选项错误;(3)∵原点(0,0)满足二次函数解析式y＝x2－x,∴抛物线经过原点,∴C选项正确;(4)∵抛物线的开口向上,∴图象在对称轴右侧部分是上升的,∴D选项错误.故选C.
5.D y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4,将其向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得y＝(x－3－1)2－4＋2,即y＝(x－4)2－2.
6.B 由对称轴x＝－＝－＝－2,知点(－3,y1)和点(－1,y1)对称.因为a＝－3＜0,所以当x≥－2时,y随x的增大而减小.又因为－2＜－1＜1,所以y37.B ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下,∴a＜0.∵二次函数图象的对称轴x＝－＞0,∴b＞0.∵二次函数图象与y轴交于负半轴,∴c＜0.故选B.
8.A 二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－,).∵－＝－＝1＞0,＝＝m2＋1＞0,∴此抛物线的顶点在第一象限.故选A.
9.D 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x＝b,且当x＞b时,y随x的增大而减小.因为当x＞1时,y随x的增大而减小,所以b≤1.
10.B ∵抛物线开口向上,
∴a>0.
∵对称轴在y轴右侧,
∴－>0,∴b<0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方,
∴c<0,
∴abc>0,故①错误;
对称轴在直线x＝1左侧,∴－<1,
∴－b<2a,即2a＋b>0,故②错误;
当x＝－2时,y＝4a－2b＋c>0,故③正确;
当x＝－1时,抛物线与x轴相交,即a－b＋c＝0,故④正确.
故选B.
11.向下 直线x＝3 (3,4) (1,0),(5,0) (0,－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大 4 右 3 上 4
12.－4 ∵二次函数y＝2x2＋bx＋3的图象的对称轴是直线x＝1,
∴x＝－＝1,∴b＝－4.
13.－2 抛物线y＝ax2＋bx的顶点C的坐标为(－,－).把x＝－代入y＝ax2,得点B的坐标为(－,).在y＝ax2＋bx中,令y＝0,则ax2＋bx＝0,解得x1＝0,x2＝－,∴A(－,0).∵四边形ABOC为正方形,∴BC＝OA,∴2·＝－,即b2＋2b＝0,解得b＝－2或b＝0(不符合题意,舍去).
14.解：(1)y＝x2－2x－1＝x2－2x＋2－3＝(x2－4x＋4)－3＝(x－2)2－3,
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,－3),对称轴为直线x＝2.
(2)列表如图图下：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 －1 － －3 － －1 …
描点、连线,如图图图：
(3)在y＝x2－2x－1中,令y＝0,则x2－2x－1＝0,
解得x1＝2＋,x2＝2－,
∴函数图象与x轴的交点坐标为(2＋,0),(2－,0).
在y＝x2－2x－1中,令x＝0,则y＝×02－2×0－1＝－1,
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,－1).
综上,该二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(2＋,0),(2－,0),(0,－1).
15.解：(1)把P(－2,3)代入y＝x2＋ax＋3,
得4－2a＋3＝3,解得a＝2,
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2,
∴图象的顶点坐标为(－1,2).
(2)①把(m,n)代入y＝x2＋2x＋3,得n＝m2＋2m＋3.
当m＝2时,n＝11.
②∵点Q到y轴的距离小于2,
∴|m|＜2,
∴－2＜m＜2,∴2≤n＜11.
16.解：(1)把(2,1)代入y＝a(x－3)2－1,
得1＝a(2－3)2－1,
整理,得1＝a－1,解得a＝2.
故平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1.
(2)由(1)知,平移后的抛物线的解析式为y＝2(x－3)2－1,则M(3,0).
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝2(x－3)2－1,
∴平移前的抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－1,
∴P(1,－1).
在y＝2(x－1)2－1中,令x＝0,得y＝1,
故B(0,1),
∴BM＝,BP＝PM＝.
∵BM2＝BP2＋PM2,
∴△BPM为直角三角形,且∠BPM＝90°,
∴S△BPM＝BP·PM＝××＝.
[素养提升]
解：(1)在y＝－x2＋(a＋1)x－a中,
令x＝0,得y＝－a,
∴C(0,－a).
令y＝0,即－x2＋(a＋1)x－a＝0,
解得x1＝a,x2＝1.
∵点C在y轴正半轴上,∴－a>0,∴a＜0,
∴A(a,0),B(1,0).
∵S△ABC＝6,
∴(1－a)(－a)＝6,
解得a1＝－3,a2＝4(不合题意,舍去),
∴a＝－3.
(2)存在.∵a＝－3,
∴C(0,3),二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵S△ABP＝S△ABC,
∴点P的纵坐标为±3.
把y＝3代入y＝－x2－2x＋3,得－x2－2x＋3＝3,解得x＝－2或x＝0(与点C重合,舍去);
把y＝－3代入y＝－x2－2x＋3,得－x2－2x＋3＝－3,解得x＝－1＋或x＝－1－,
∴点P的坐标为(－2,3)或(－1＋,－3)或(－1－,－3).
