[二次函数y＝ax2＋k的图象和性质]
一、选择题
1.二次函数y＝x2－4的图象的顶点坐标为( )
A.(0，0) B.(0，4)
C.(1，－4) D.(0，－4)
2.2020·重庆沙坪坝区月考对于二次函数y＝－2x2＋3的图象和性质，下列说法不正确的是( )
A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴是直线x＝－3
C.其图象的顶点坐标为(0，3)
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
3.把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位长度，得到的抛物线是( )
A.y＝－2(x＋1)2 B.y＝－2(x－1)2
C.y＝－2x2＋1 D.y＝－2x2－1
4.二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误的是( )
A.△ABC是等腰三角形
B.点C的坐标是(0，1)
C.AB的长为2
D.y随x的增大而减小
5.如图图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )
A.8 B.6 C.10 D.4
二、填空题
6.抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其函数解析式为________________________.
7.将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________.
8.已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝________，c＝________.
三、解答题
9.已知某抛物线是由抛物线y＝－x2沿y轴向上平移得到的，且经过点(2，3).
(1)求这条抛物线的解析式，并写出其顶点P的坐标；
(2)若这条抛物线与x轴交于点A，B，试求△APB的面积.
数形结合思想已知抛物线y＝x2＋1具有如图图下性质：抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等.如图图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上的一动点.
(1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标；
(2)求△PMF周长的最小值.
答案
1.D 2.B 3.C
4.D 易知函数y＝－x2＋1的图象是以y轴为对称轴的抛物线,若点A在点B左侧,则函数图象与x轴的交点坐标为A(－1,0),B(1,0),顶点坐标为C(0,1)(选项A,B正确);AB＝2(选项C正确).在对称轴的两侧,函数y随x的增减性不同(选项D错误).故选D.
5.A
6.y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1 ∵抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同,∴a＝±3.
∵其顶点坐标为(0,1),∴k＝1,
∴所求抛物线的函数解析式为y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1.
7.y＝x2＋2 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度,即y＝x2－1＋3＝x2＋2.
8.3 2
9.解：(1)设这条抛物线的解析式为y＝－x2＋k.
将(2,3)代入,解得k＝5.
∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋5,其顶点P的坐标为(0,5).
(2)在y＝－x2＋5中,令y＝0,得－x2＋5＝0,
解得x＝±.
∴AB＝2,
∴S△APB＝×2 ×5＝5 .
[素养提升]
解：(1)设点P的坐标为(x,x2＋1).
∵点F的坐标为(0,2),
∴OF＝2,
∴当△POF的面积为4时,×2×|x|＝4,
解得x＝±4.
∴y＝×(±4)2＋1＝5,
∴点P的坐标为(－4,5)或(4,5).
(2)如图图图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y＝x2＋1于点P,此时△PMF的周长最小.
由题意,得PF＝PE.
∵F(0,2),M(,3),
∴ME＝3,FM＝＝2,
∴△PMF周长的最小值＝PM＋PF＋FM＝PM＋PE＋FM＝ME＋FM＝3＋2＝5.[二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质]
一、选择题
1.下列二次函数中，图象的顶点坐标是(－2，－6)的是( )
A.y＝5(x＋2)2＋6 B.y＝5(x－2)2＋6
C.y＝5(x＋2)2－6 D.y＝5(x－2)2－6
2.由二次函数y＝2(x－3)2＋1可知( )
A.其图象的开口向下
B.其图象的对称轴为直线x＝－3
C.其最小值为1
D.当x＜3时，y随x的增大而增大
3.2020·哈尔滨将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为( )
A.y＝(x＋3)2＋5 B.y＝(x－3)2＋5
C.y＝(x＋5)2＋3 D.y＝(x－5)2＋3
4.2019·兰州已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A.2>y1>y2 B.2>y2>y1
C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
5.已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是( )
6.如图图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )
A.y＝(x－2)2－2 B.y＝(x－2)2＋7
C.y＝(x－2)2－5 D.y＝(x－2)2＋4
二、填空题
7.2020·哈尔滨抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为________.
8.2020·牡丹江将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后所得抛物线的顶点的坐标是________.
9.抛物线y＝(x＋3)2－2是由抛物线y＝x2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的.
10.已知二次函数y＝(x－m)2－1，若当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________.
11.已知二次函数y＝2(x＋1)2＋1，且－2≤x≤1，则函数y的最小值是________，最大值是________.
三、解答题
12.已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：
(1)写出抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标、开口方向和对称轴；
(2)将抛物线y＝－2x2分别通过怎样的平移可以得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2
(3)如图图果要得到抛物线y＝－2(x－2020)2－2021，应将抛物线y＝－2(x－2)2怎样平移？
13.已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式.
14.如图图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25 m，喷出水流的运动路线是抛物线的一部分.水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m，且到地面的距离为3 m.求水流的落地点C到喷水枪底部B的距离.
函数建模2020·台州用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图图①).
科学原理：如图图图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位： cm)，如图图果在离水面竖直距离为h(单位： cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位： cm)与h之间的关系为s2＝4h(H－h).
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.
(1)写出s2与h之间的关系式(不要求写自变量的取值范围)，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少；
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
(3)如图图果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
答案
1.C 2.C 3.D
4.A 根据题意,可得抛物线开口向下,对称轴为直线x＝－1,∴在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.∵－1＜1＜2,∴2＞y1＞y2.故选A.
5.B 根据二次函数的图象开口向上,得a＞0,根据c是二次函数图象顶点的纵坐标,得c＜0,故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限.故选B.
6.D 如图图图,连接AB,A′B′,则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知,AA′＝BB′,AA′∥BB′,所以四边形ABB′A′是平行四边形.分别延长A′A,B′B交x轴于点M,N.因为A(1,m),B(4,n),所以MN＝4－1＝3.因为S阴影＝AA′·MN,所以9＝3AA′,解得AA′＝3,即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度,所以新图象的函数解析式为y＝(x－2)2＋4.
7.(1,8)
8.(2,－5) 先求出原抛物线的顶点坐标,再根据点的轴对称和平移规律,可求轴对称和平移后的抛物线的顶点坐标.原抛物线y＝(x－1)2－5的顶点坐标为(1,－5),关于y轴的对称点为(－1,－5),将其再向右平移3个单位长度,得平移后的抛物线的顶点坐标为(2,－5).
9.左 3 下 2 抛物线y＝x2的顶点坐标为(0,0),而抛物线y＝(x＋3)2－2的顶点坐标为(－3,－2),所以把抛物线y＝x2先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,就得到抛物线y＝(x＋3)2－2.
10.m≥1 抛物线的对称轴为直线x＝m.
∵a＝1＞0,
∴抛物线开口向上,
∴当x＜m时,y随x的增大而减小.
又∵当x＜1时,y随x的增大而减小,
∴m≥1.
11.1 9 当x＝－1时,有最小值1,
当x＝1时,有最大值9.
12.解：(1)抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标为(2,2),开口向下,对称轴为直线x＝2.
(2)抛物线y＝－2x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y＝－2(x－2)2的顶点坐标为(2,0),抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标为(2,2),所以抛物线y＝－2x2向右平移2个单位长度得到抛物线y＝－2(x－2)2,抛物线y＝－2x2向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到抛物线y＝－2(x－2)2＋2(平移方法不唯一).
(3)∵抛物线y＝－2(x－2020)2－2021的顶点坐标为(2020,－2021),
∴应将抛物线y＝－2(x－2)2向右平移2018个单位长度,再向下平移2021个单位长度(平移方法不唯一).
13.解：根据题意,设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3.
∵抛物线经过点(0,－1),
∴－1＝a(0－2)2＋3,解得a＝－1,
∴y＝－(x－2)2＋3.
14.解：如图图图,以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
根据题意,得抛物线的顶点P的坐标为(1,3),
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.
把A(0,2.25)代入,得2.25＝a(0－1)2＋3,
解得a＝－0.75,
∴y＝－0.75(x－1)2＋3.
令y＝0,
得－0.75(x－1)2＋3＝0,
解得x1＝3,x2＝－1(舍去),
∴BC＝3 m.
答：水流的落地点C到喷水枪底部B的距离为3 m.
[素养提升]
解：(1)∵s2＝4h(H－h),
∴当H＝20时,s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400,
∴当h＝10时,s2有最大值400,
∴当h＝10时,s有最大值20.
∴当h为10时,射程s有最大值,最大射程是20 cm.
(2)∵s2＝4h(20－h),
设存在a,b,使两孔射出水的射程相同,则有
4a(20－a)＝4b(20－b),
∴20a－a2＝20b－b2,
∴a2－b2＝20a－20b,
∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b),
∴(a－b)(a＋b－20)＝0,
∴a－b＝0或a＋b－20＝0,
∴a＝b或a＋b＝20.
(3)设垫高的高度为m cm,则s2＝4h(20＋m－h)＝－4(h－)2＋(20＋m)2,
∴当h＝时,s最大值＝20＋m＝20＋16,
∴m＝16,此时h＝＝18.
∴垫高的高度为16 cm,小孔离水面的竖直距离为18 cm.[二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质]
一、选择题
1.2020·亳州谯城区模拟已知二次函数y＝－(x－3)2，那么这个二次函数的图象有( )
A.最高点(3，0) B.最高点(－3，0)
C.最低点(3，0) D.最低点(－3，0)
2.在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2 的图象可能是( )
3.2020·长沙雨花区期末关于二次函数y＝(x＋2)2的图象与性质，下列说法不正确的是( )
A.其图象的开口向上
B.其图象的最高点是(－2，0)
C.其图象的对称轴是直线x＝－2
D.当x＞0时，y随x的增大而增大
4.将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( )
A.向左平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度 D.向下平移1个单位长度
5.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致是( )
二、填空题
6.将抛物线y＝－(x＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2.
7.已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________.
8.顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________________________________________________________________________.
三、解答题
9.画出二次函数y＝(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)求当－2≤x≤－1时，y的取值范围；
(2)求当0≤x≤3时，y的取值范围.
10.已知抛物线y＝a(x＋2)2经过点(1，－3).
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
转化思想如图图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点.若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________.(用含a的代数式表示)
答案
1.A 2.D 3.B
4.D A.将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝(x＋1)2的图象,它经过点(1,4);B.将函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝(x－3)2的图象,它经过点(1,4);C.将函数y＝x2的图象向上平移3个单位长度得到函数y＝x2＋3的图象,它经过点(1,4);D.将函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝x2－1的图象,它不经过点(1,4).故选D.
5.B 6.右 3
7.y1∴其对称轴是直线x＝1,抛物线的开口向上,
∴在对称轴右侧,y随x的增大而增大.
又∵抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1,y1),(x2,y2),且1＜x1＜x2,∴y18.y＝－3(x－2)2
9.解：二次函数y＝(x－1)2的图象如图图图所示：
(1)当－2≤x≤－1时,y的取值范围是4≤y≤9.
(2)当0≤x≤3时,y的取值范围是0≤y≤4.
10.解：(1)∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(1,－3),
∴－3＝9a,则a＝－,
∴抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋2)2.
(2)抛物线的对称轴是直线x＝－2,顶点坐标是(－2,0).
(3)∵a＝－<0,
∴当x<－2时,y随x的增大而增大.
[素养提升]
8a ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B,
∴BD＝BC＝2,
∴DC＝4.
在y＝a(x－2)2中,令x＝0,得y＝4a,
∴E(0,4a),
∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝DC·OE＝×4×4a＝8a.
