[几何图形问题]
一、选择题
1.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，如图图，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A.(x＋1)(x＋2)＝18
B.x2－3x＋16＝0
C.(x－1)(x－2)＝18
D.x2＋3x＋16＝0
2.2020·遵义如图图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( )
A.(30－2x)(40－x)＝600
B.(30－x)(40－x)＝600
C.(30－x)(40－2x)＝600
D.(30－2x)(40－2x)＝600
3.2020·衡阳如图图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600
B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600
D.(35－x)(20－2x)＝600
4.如图图，把长40 cm，宽30 cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子.设剪掉的小正方形的边长为x cm(纸板的厚度忽略不计).若折成长方体盒子的表面积是950 cm2，则x的值是( )
A.3 B.4 C.4.8 D.5
二、填空题
5.矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________.
6.2020·山西如图图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为________.
7.如图图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，如图图果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，则经过________s，四边形APQC的面积等于16 cm2.
三、解答题
8.如图图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用长为100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米.
9.2020·大连甘井子区期末如图图，要为一幅长30厘米、宽20厘米的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该为多少厘米？
10.如图图，东西和南北方向的两条街道交于O点，甲沿着东西道由西向东走，速度是4 m/s；乙沿着南北道由南向北走，速度是3 m/s，当乙通过O点又继续前进50 m时，甲刚好到达O点，这两人在通过O点之后.
(1)求再经过多少秒两人相距85 m；
(2)求此时甲、乙的位置.
发散思想要在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积为荒地面积的一半，如图图(a)(b)分别是小明和小亮的设计方案.
(1)你认为小明的结果正确吗？为什么？
(2)你能帮小亮求出图中x的值吗(结果精确到0.1)
(3)你还有其他设计方案吗？与同伴交流.
答案
1.C
2.D 由题意得,无盖纸盒的底面长为(40－2x)cm,宽为(30－2x)cm,根据该无盖纸盒的底面积为600 cm2,列方程为(30－2x)(40－2x)＝600.故选D.
3.C 将阴影部分平移,可得到一个长为(35－2x)米,宽为(20－x)米的矩形,∴可列方程为(35－2x)(20－x)＝600.故选C.
4.D 依题意,得40×30－2x2－2x·(x＋)＝950,
整理,得x2＋20x－125＝0,
解得x1＝5,x2＝－25(不合题意,舍去).
5.3 设AD＝x,则AB＝x＋2.依题意,得x(x＋2)＝15,即x2＋2x－15＝0.
解得x1＝3,x2＝－5(不合题意,舍去).
6.2 cm 设剪去的正方形的边长为x cm.根据底面积是24 cm2得一元二次方程：(10－2x)(12－2x)＝24,解得x1＝2,x2＝9(不合题意,舍去),则剪去的正方形的边长为2 cm.
故答案为2 cm.
7.2 设经过t s时,四边形APQC的面积等于16 cm2.
依题意,得×6×8－(6－t)·2t＝16,
整理,得t2－6t＋8＝0,
解得t1＝2,t2＝4.
当t＝4时,BQ＝2t＝8,则点Q,C重合,此时不存在四边形APQC,舍去,所以t＝2.
8.解：设AB的长为x米,则BC的长为(100－4x)米.根据题意,得(100－4x)x＝400,
解得x1＝20,x2＝5.
则100－4x＝20或100－4x＝80.
∵80＞25,∴x＝5不合题意,应舍去.
即AB＝20米,BC＝20米.
答：羊圈的边长AB,BC分别为20米、20米.
9.解：设镜框的宽度应该为x厘米.
依题意,得(30＋2x)(20＋2x)－30×20＝×30×20,
化简,得x2＋25x－54＝0,
解得x1＝2,x2＝－27(不合题意,舍去).
答：镜框的宽度应该为2厘米.
10.解：(1)设再经过x s两人相距85 m,此时甲到达点A处,乙到达点B处.
根据题意,得
OB＝3x＋50,OA＝4x,∠AOB＝90°,
则OB2＋OA2＝AB2,
即(3x＋50)2＋(4x)2＝852,
整理,得x2＋12x－189＝0,
解得x1＝－21(不合题意,舍去),x2＝9.
答：再经过9 s两人相距85 m.
(2)此时甲在O点正东方向,且距O点9×4＝36(m),乙在O点正北方向,且距O点9×3＋50＝77(m).
[素养提升]
(1)设小路的宽为y m,然后列出表示花园长、宽的代数式,再由矩形的面积公式列出方程,解出方程后,要分析解的合理性;(2)已知圆的半径为x m,再根据“圆的面积是矩形面积的一半”列方程求解;(3)在设计方案时要综合考虑设计的美观性和方案的可行性.
解：(1)小明的结果不正确.
理由：设小路的宽为y m.
根据题意,得(16－2y)(12－2y)＝×16×12,
即y2－14y＋24＝0,解得y1＝2,y2＝12.
因为荒地的宽为12 m,若小路的宽为12 m,则不符合实际情况,故y＝12不合题意,舍去.所以y＝2,即小路的宽为2 m.
(2)小亮的设计方案：在矩形荒地四角留下相同的扇形空地,4个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积.
根据题意,得πx2＝×12×16,x2＝,x≈±5.5.
因为x>0,所以x≈－5.5不合题意,舍去,
所以x≈5.5.
所以小亮的设计方案中x的值约为5.5.
(3)还有其他方案,如图图图所示,阴影部分建造花园(答案不唯一).
根据题意,得(16－z)(12－z)＝×12×16,
即16×12－28z＋z2＝6×16.
化简,得z2－28z＋96＝0,
解得z1＝4,z2＝24(不合题意,舍去).[平均变化率与销售问题]
一、选择题
1.2019·合肥庐江一模某深度贫困村2018年人均年收入只有a万元，自精准扶贫政策实施以后，人均年收入稳步提高，预计以后几年人均年收入都将比上一年增长b%，到2020年人均年收入将达到y万元，实现全面脱贫，那么将y用含a，b的式子表示正确的是( )
A.y＝a(1＋b)2 B.y＝a(1＋b%)2
C.y＝a[1＋(b%)2] D.y＝a(1＋b2)
2.2019·衡阳国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年年底贫困人口减少至1万人.设2016年年底至2018年年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得( )
A.9(1－2x)＝1 B.9(1－x)2＝1
C.9(1＋2x)＝1 D.9(1＋x)2＝1
3.某宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如图图果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房的价格定为多少元/天时，宾馆当天的利润为10890元？设每间房的价格定为x元/天，则有( )
A.(180＋x－20)(50－)＝10890
B.(x－20)(50－)＝10890
C.x(50－)－50×20＝10890
D.(180＋x)(50－)－50×20＝10890
4.2020·鄂州目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年年底有5G用户2万户，计划到2021年年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为( )
A.20% B.30% C.40% D.50%
二、填空题
5.2019·天水中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益.沿线某地区居民2016年人均年收入为20000元，到2018年人均年收入达到39200元，则该地区居民人均年收入的年平均增长率为________.(用百分数表示)
6.某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过进价的30%.若每件商品的售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为________元.
三、解答题
7.2020·湘西州某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增.为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
8.2019·东营为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查：这种电子产品的销售单价定为200元/个时，每天可售出300个；若每个的价格每降低1元，则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，则当这种电子产品的销售单价为多少元/个时，公司每天可获利32000元？
9.2020·安庆太湖期末2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺.某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩，二月份以每袋14元的价格销售了256袋，三、四月份该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋.
(1)求三、四月份口罩销售量的月平均增长率；
(2)为回馈客户，该网店决定五月份降价促销.经调查发现：在四月份销量的基础上，该口罩每袋每降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
10.2020·六安霍邱期末疫情期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件.设该工艺品的售价为x元/件(20≤x≤40).
(1)请用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数.
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元.
①求该工艺品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额.
方程思想某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货.
(1)经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，每个背包的售价每增长10元，月均销量就相应地减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，则每个背包的售价应不高于多少元？
(2)在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加，每个背包的进价变为150元，而每个背包的售价比(1)中最高售价减少了a%(a＞0)，月均销量比(1)中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该种背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包的售价为多少元.
答案
1.B 2.B
3.B 当每间房的价格定为x元/天时,每间房每天的利润是(x－20)元,出租的房间数量是(50－)间,因此根据“宾馆当天的利润为10890元”可列方程(x－20)(50－)＝10890.故选B.
4.C 根据题意,得
2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝8.72,
解这个方程,得x1＝0.4＝40%,x2＝－3.4(不合题意,舍去).
∴x的值为40%.
故选C.
5.40% 设该地区居民人均年收入的年平均增长率为x,则20000(1＋x)2＝39200,
解得x1＝0.4＝40%,x2＝－2.4(不合题意,舍去),
∴该地区居民人均年收入的年平均增长率为40%.
故答案为40%.
6.20 由题意,得(170－5x)(x－16)＝280,解得x1＝20,x2＝30.
∵每件商品的利润不得超过进价的30%,
∴x＝30不合题意,舍去.
7.解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x.
根据题意,得20000(1＋x)2＝24200,
解得x1＝－2.1(不合题意,舍去),x2＝0.1＝10%.
答：口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)24200×(1＋10%)＝26620(个).
答：预计4月份平均日产量为26620个.
8.解：设这种电子产品的销售单价为x元/个,则每天可售出[300＋5(200－x)]个.
依题意,得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32000,
整理,得x2－360x＋32400＝0,
解得x1＝x2＝180.
答：当这种电子产品的销售单价为180元/个时,公司每天可获利32000元.
9.解：(1)设三、四月份口罩销售量的月平均增长率为x.
依题意,得256(1＋x)2＝400,
解得x1＝0.25＝25%,x2＝－2.25(不合题意,舍去).
答：三、四月份口罩销售量的月平均增长率为25%.
(2)设口罩每袋降价y元,则五月份的销售量为(400＋40y)袋.
依题意,得(14－y－8)(400＋40y)＝1920,
化简,得y2＋4y－12＝0,
解得y1＝2,y2＝－6(不合题意,舍去).
答：当口罩每袋降价2元时,五月份可获利1920元.
10.解：(1)∵该工艺品的售价为x元/件(20≤x≤40),当售价是40元/件时,每天可售出该工艺品60件,且每件的售价每降低1元,就会多售出3件,
∴每天能售出该工艺品的件数为60＋3(40－x)＝(180－3x)件(20≤x≤40).
(2)①依题意,得(x－20)(180－3x)＝900,
整理,得x2－80x＋1500＝0,
解得x1＝30,x2＝50(不合题意,舍去).
答：该工艺品的售价为30元/件.
②0.5×(180－3×30)＝45(元).
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元.
[素养提升]
解：(1)设每个背包的售价是x元.
由题意,得980－30×≥800,
解得x≤200.
故若使这种背包的月均销量不低于800个,则每个背包的售价应不高于200元.
(2)由题意可得[200(1－a%)－150]×800(1＋5a%)＝40000.
整理,得20(a%)2－a%＝0.
解得a1＝5,a2＝0(不合题意,舍去).
故200(1－a%)＝190.
答：在实际销售过程中每个背包的售价为190元.[传播与数字等代数问题]
一、选择题
1.一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为( )
A.0 B.3
C.0或3 D.
2.在国庆节期间，某微信群规定：群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A.9人 B.10人
C.11人 D.12人
3.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49个人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.在一次聚会中，在场的每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.2019·龙东地区某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题
6.一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则所列方程为________________________.
7.相邻的两个自然数，它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________.
8.九年级(1)班学生上体育课，把全班学生人数的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，则该班有学生________人.
9.有1只飞禽患了某种传染病，经过两轮传染后共有144只飞禽患了这种传染病，那么经过第三轮传染后患这种传染病的飞禽共有________只.
10.已知一个两位数等于它个位上的数字的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为__________.
三、解答题
11.有一种细菌，每个这种细菌每小时分裂成若干个新细菌.在一次试验中，科学家取了一个这种细菌进行研究，两个小时后总数达到144个，则每个这种细菌平均每小时分裂成多少个新细菌？
12.一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求原来的两位数.
13.材料阅读读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，周瑜寿龄是何数？
14.2020·慈溪期末2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎(假设每轮传染的人数相同).则：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如图图果这些病毒携带者未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
15.2020·黔南州在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习.九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两名同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高.如图图果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通一次电话，那么全班同学共通多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.
用点A1，A2，A3，…，A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图图所示的模型表示：
(1)请写出图中第四个图中y的值为________，第五个图中y的值为________；
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为__________，当x＝48时，对应的y＝________.
(3)若九年级1班全体女生相互之间共通电话190次，则该班共有多少名女生？
数学建模阅读下面的内容，并解决问题：
名画中的数学
著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的世界名画《难题》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席(教师职务)来到农村学校当一名普通老师.画中，黑板上写着一道式子，如图图所示：
计算这道算式可以得出答案为2，如图图果仔细研究，可以发现10，11，12，13，14这几个数具有一种有趣的特性：102＋112＋122＝132＋142，而且100＋121＋144＝365.
请解答以下问题：
(1)还有没有其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和呢？如图图果有，请求出另外的五个连续的整数；
(2)若七个连续整数中前四个数的平方和等于后三个数的平方和，请直接写出符合条件的连续整数.
答案
1.C 设这个数是x.
根据题意,得x2＝3x,
所以x＝0或x＝3.
故选C.
2.B 设该群一共有x人.
依题意有x(x－1)＝90,
解得x＝－9(不合题意,舍去)或x＝10.
故该群一共有10人.
3.B 根据题意,得1＋x＋x(1＋x)＝49,解得x＝6或x＝－8(不合题意,舍去),
故x的值为6.
4.B 设参加聚会的人数是x,根据题意列方程,得x(x－1)＝28,
解得x1＝8,x2＝－7(不合题意,舍去).
∴参加聚会的人数是8.
5.C 设每个支干长出的小分支为x个,则有1＋x＋x2＝43,解得x1＝6,x2＝－7(不合题意,舍去),∴每个支干长出的小分支为6个.故选C.
6. x2＋(x－1)2＝(x＋1)2
7.5,6 设较小的自然数为n.根据题意可列方程：n2＋(n＋1)2＝2n＋51,解得n＝5或n＝－5(不合题意,舍去).所以这两个自然数分别为5,6.
8.56 设该班有学生x人.
依题意,得(x)2＋7＝x,
整理,得x2－64x＋448＝0.
解得x1＝56,x2＝8.
当x＝8时,x＝1,1人不能成为方队,故舍去.
即该班有学生56人.
9.1728 设每轮传染中平均一只飞禽传染x只,则1＋x＋x(1＋x)＝144,即(1＋x)2＝144,解得x＝11(舍去x＝－13).所以(1＋x)3＝(1＋11)3＝1728.
10.25或36 设这个两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为(x＋3).
根据题意,得10x＋x＋3＝(x＋3)2,
整理,得x2－5x＋6＝0,
解得x＝2或x＝3,
∴x＋3＝5或x＋3＝6,
∴这个两位数为25或36.
11.解：设每个这种细菌平均每小时分裂成x个新细菌.
根据题意,得x2＝144,
解得x1＝12,x2＝－12(不合题意,舍去).
答：每个这种细菌平均每小时分裂成12个新细菌.
12.解：设原来的两位数的个位数字为x,则十位数字为(6－x).
根据题意,得[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008,
即x2－6x＋8＝0,解得x1＝2,x2＝4,
∴6－x＝4或6－x＝2,
∴10(6－x)＋x＝42或10(6－x)＋x＝24.
答：原来的两位数是42或24.
13.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x－3.依题意得x2＝10(x－3)＋x,解得x1＝5,x2＝6.若x＝5,则周瑜去世时的年龄是25岁,而由题意知周瑜而立之年督东吴,所以周瑜去世时的年龄大于30岁,故25不合题意,舍去;若x＝6,则周瑜去世时的年龄是36岁,符合题意.故周瑜去世时的年龄为36岁.
14.解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人.
依题意,得1＋x＋x(1＋x)＝169,
解得x1＝12,x2＝－14(不合题意,舍去).
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人.
(2)169×(1＋12)＝2197(人).
答：按照这样的传染速度,第三轮传染后,共有2197人患病.
15.解：(1)10 15
(2)∵1＝,3＝,6＝,10＝,15＝,
∴y＝.
当x＝48时,y＝＝1128.
故答案为y＝,1128.
(3)依题意,得＝190,
化简,得x2－x－380＝0,
解得x1＝20,x2＝－19(不合题意,舍去).
答：该班共有20名女生.
[素养提升]
解：(1)有.设这五个连续整数为n,n＋1,n＋2,n＋3,n＋4.依题意,得
n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝(n＋3)2＋(n＋4)2,
整理,得n2－8n－20＝0,
解得n1＝10,n2＝－2.
当n＝10时,这五个数为10,11,12,13,14,
当n＝－2时,这五个数为－2,－1,0,1,2.
故另外的五个连续的整数为－2,－1,0,1,2.
(2)设这七个连续整数为m－3,m－2,m－1,m,m＋1,m＋2,m＋3.根据题意,得
(m－1)2＋(m－2)2＋(m－3)2＋m2＝(m＋1)2＋(m＋2)2＋(m＋3)2,
整理,得m2－24m＝0,
解得m1＝24,m2＝0.
当m＝24时,这七个数为21,22,23,24,25,26,27;
当m＝0时,这七个数为－3,－2,－1,0,1,2,3.
