[关于原点对称的点的坐标]
一、选择题
1.2020·淮安在平面直角坐标系中，点(3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(2，3) B.(－3，2) C.(－3，－2) D.(－2，－3)
2.2019·嘉兴如图图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3).作菱形OABC关于y轴的对称图形菱形OA′B′C′，再作菱形OA′B′C′关于点O的中心对称图形菱形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是( )
A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，1) D.(－2，－1)
二、填空题
3.若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________.
4.若将等腰直角三角形AOB按所示的方式放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为________.
5.2019·邵阳如图图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是________.
6.如图图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为____________.
三、解答题
7.2020·济南天桥区期末△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图图所示，A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2).
(1)将△ABC向右平移2个单位长度得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1；
(2)作出△A1B1C1关于点C1中心对称的图形△A2B2C2；
(3)连接A2B1，则△A2B2B1的面积为________.
[材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.
[运用](1)已知点A(－2，1)和点B(4，－3)，则线段AB的中点坐标是________；已知点M(2，3)，线段MN的中点坐标是(－2，－1)，则点N的坐标是________.
(2)已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6).直线y＝mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为________.
(3)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D，可使以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标.
答案
1.C
2.A ∵点C的坐标为(2,1),∴点C′的坐标为(－2,1),∴点C″的坐标为(2,－1).故选A.
3.(6,－1) 依题意,得解得∴点A的坐标为(6,－1).
4.(－1,－1) 如图图图,过点A作AD⊥OB于点D.
∵△AOB是等腰直角三角形,OB＝2,∴OD＝AD＝1,∴A(1,1),∴点A关于原点对称的点的坐标为(－1,－1).
5.(－2 ,－2) 过点B作BH⊥y轴于点H,如图图图.
∵△AOB为等边三角形,A(0,4),∴OH＝AH＝2,OB＝OA＝4,∴BH＝2 ,∴点B的坐标为(2 ,2).∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,∴点B′的坐标是(－2 ,－2).
6.(－a,－b＋2) 如图图图,过点A作AD⊥y轴于点D,过点A′作A′D′⊥y轴于点D′
则△ACD≌△A′CD′,∴A′D′＝AD＝a,CD′＝CD＝－b＋1,
∴OD′＝－b＋2,∴点A′的坐标为(－a,－b＋2).
7.解：(1)如图图图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图图图,△A2B2C2即为所求.
(3)3
[素养提升]
解：(1)(1,－1) (－6,－5)
(2)
(3)设点D的坐标为(x,y).
若以AB为对角线,AC,BC为邻边的四边形为平行四边形,则AB,CD的中点重合,
∴解得
若以BC为对角线,AB,AC为邻边的四边形为平行四边形,则AD,BC的中点重合,
∴解得
若以AC为对角线,AB,BC为邻边的四边形为平行四边形,则BD,AC的中点重合,
∴解得
综上可知,点D的坐标为(1,－1)或(5,3)或(－3,5).[中心对称图形]
一、选择题
1.2020·青岛下列四个图形中，中心对称图形是( )
2.2020·无锡下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.圆 B.等腰三角形
C.平行四边形 D.菱形
二、填空题
3.如图图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形.
三、解答题
4.2019·宁波①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图①②中，均只需画出符合条件的一种情形)
5.2020·吉林二模如图图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.点A，B，C都在格点上，以线段BC为对角线，按下列要求画四边形ABDC(点D在格点上).
(1)在图①中画一个中心对称图形；
(2)在图②中，画一个有一组对边平行的轴对称图形.
探究题已知：如图图①，四边形ABCD是中心对称图形，过对称中心O作直线EF分别交DC，AB于点E，F.
(1)如图图图①，四边形AFED与四边形CEFB的形状________，大小________；
(2)判断：经过中心对称图形的对称中心的任一条直线把这个图形分成面积相等的两个图形；( )
(3)你能否画一条直线，把图②中的平行四边形和圆同时分成形状相同、大小相等的两部分？
答案
1.D
2.B
3.3 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形,所以两个三角形中对应相等的两条边重合只能拼一个.因为三角形只有三条边,所以只有三种情况.
4.解：(1)答案不唯一,画出下列其中一种即可.
(2)答案不唯一,画出下列其中一种即可.
5.解：(1)如图图图①,四边形ABDC是平行四边形,是中心对称图形.
(2)如图图图②,四边形ABDC是一组对边平行的轴对称图形.
[素养提升]
解：(1)相同 相等 (2)√
(3)能.作经过平行四边形对角线交点和圆心O的直线即可,作图略.[中心对称]
一、选择题
1.2020·北京延庆区一模下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
2.如图图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是( )
A.点A与点D是对称点 B.BO＝EO
C.∠ACB＝∠FDE D.AB∥DE
3.如图图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C对称，连接AE，BF，当∠ACB＝______时，四边形ABFE为矩形( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
二、填空题
4.2020·定西期末如图图，△ABC与△DEC关于点C中心对称，若AB＝2，则DE＝________.
5.如图图所示， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与△A1B1C1关于点E对称， 则对称中心点E的坐标是__________.
6.2020·舞钢期末如图图，△ABC和△DEC关于点C中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是________.
三、解答题
7.如图图，已知△ABC和点O.
(1)在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O对称；
(2)点A，B，C，A′，B′，C′能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来.
2019·临湘期中如图图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：DF＝BE.
答案
1.D
2.C 根据中心对称的性质可知,点A与点D是对称点,BO＝EO,AB∥DE,∠ACB＝∠DFE≠∠FDE.故选C.
3.B ∵△ABC与△FEC关于点C对称,∴AC＝FC,BC＝EC,
∴四边形ABFE是平行四边形.
当AC＝BC时,四边形ABFE是矩形,
∴BC＝AC＝AB,∴∠ACB＝60°.
故选B.
4.2 ∵△ABC与△DEC关于点C中心对称,
∴DE＝AB＝2.
5.(3,－1) 连接各组对应点,其交点坐标即为对称中心点E的坐标.
6.2 ∵△DEC与△ABC关于点C中心对称,
∴△ABC≌△DEC,
∴AB＝DE＝2,AC＝DC＝1,∠D＝∠BAC＝90°,
∴AD＝2.
∵∠D＝90°,
∴AE＝＝2 .
7.解：(1)如图图图所示.
(2) ABA′B′, BCB′C′, CA′C′A.
[素养提升]
证明：∵△ABO与△CDO关于点O中心对称,
∴BO＝DO,AO＝CO.
∵AF＝CE,∴AO－AF＝CO－CE,
即FO＝EO.
在△FOD和△EOB中,
∴△FOD≌△EOB(SAS),
∴DF＝BE.
