[旋转作图]
一、选择题
1.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.观察，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
3.如图图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心点O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度.
4.如图图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如图图果将△ABC绕点C逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________.
三、解答题
5.2020·安徽如图图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB，线段MN在网格线上.
(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1，B1分别为A，B的对应点)；
(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2.
6.是由边长为1的小正方形组成的8×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
(2)所画图形是________对称图形；
(3)求所画图形的周长(结果保留π).
转化思想如图图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长.
答案
1.D 平行四边形绕其对角线的交点旋转,能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°,故A错误;矩形绕其对角线的交点旋转,能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°,故B错误;菱形绕其对角线的交点旋转,能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是180°,故C错误;正方形绕其对角线的交点旋转,能够与原来的图形重合的最小旋转角度数是90°.故选D.
2.D 3.4 72 4.(1,0)
5.解：(1)如图图图,线段A1B1即为所求.
(2)如图图图,线段B1A2即为所求.
6.解：(1)如图图图所示：
(2)轴
(3)所画图形的周长＝半径为4的圆的周长＝2π×4＝8π.
[素养提升]
解：如图图图,将△BCE绕点C逆时针旋转90°,得到△ACF,连接DF.由旋转的性质,得CE＝CF,AF＝BE＝2,∠ACF＝∠BCE,∠CAF＝∠B＝45°.
∵∠ACB＝90°,∠DCE＝45°,
∴∠DCF＝∠ACD＋∠ACF＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°,
∴∠DCE＝∠DCF.
在△CDE和△CDF中,
∴△CDE≌△CDF(SAS),
∴DE＝DF.
∵∠DAF＝∠BAC＋∠CAF＝45°＋45°＝90°,
∴△ADF是直角三角形,
∴DF2＝AD2＋AF2,
∴DE2＝AD2＋AF2＝32＋22＝13,
∴DE＝.[旋转的概念及性质]
一、选择题
1.2019·吉林把中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A.30° B.90° C.120° D.180°
2.如图图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
3.2020·菏泽如图图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于( )
A. B.α C.α D.180°－α
4.2019·枣庄如图图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
A.4 B.2 C.6 D.2
二、填空题
5.2019·广州一副三角尺如图图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________.
6.2020·广西北部湾经济区以原点为中心，把点M(3，4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为________.
三、解答题
7.如图图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数.
分类讨论如图图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1).小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________.
答案
1.C
2.B 旋转中心到对应点的距离相等.
3.D 明确条件“若点E恰好在CB的延长线上”的实质是∠D与∠ABE互补是解决问题的关键.由旋转可知∠BAD＝α,∠ABC＝∠D.又∵∠ABC＋∠ABE＝180°,∴∠D＋∠ABE＝180°,∴∠BED＋∠BAD＝180°,则∠BED＝180°－α.
4.D 由旋转可得,S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20,即AD2＝20,∴AD＝2 .
∵DE＝2,∴在Rt△ADE中,AE＝＝2 .故选D.
5.15°或60° 分情况讨论：
①若DE⊥BC,设此时直线AD与BC交于点F,则∠BFA＝90°－45°＝45°,
∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°,
∴α＝90°－∠BAD＝15°;
②若AD⊥BC,则∠BAD＝30°,∴α＝90°－∠BAD＝60°.
故答案为15°或60°.
6.(－4,3) 如图图图,∵点M(3,4)绕点O逆时针旋转90°得到点N,
∴点N的坐标为(－4,3).
7.解：(1)证明：由题意可知,CD＝CE,∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°,
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB,
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD与△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)∵∠ACB＝90°,AC＝BC,
∴∠A＝45°.
∵△ACD≌△BCE,
∴AD＝BE,∠CBE＝∠A＝45°.
∵AD＝BF,
∴BE＝BF,
∴∠BEF＝×(180°－45°)＝67.5°.
[素养提升]
(4,4)或(1,1)
(1)若点A和点D、点B和点C分别为对应点,如图图图①,分别作线段AD,BC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点P1(4,4)即为旋转中心;
(2)若点A和点C、点B和点D分别为对应点,如图图图②,分别作线段AC,BD的垂直平分线,两条垂直平分线的交点P2(1,1)即为旋转中心.
综上所述,旋转中心的坐标是(4,4)或(1,1).
