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[圆锥的侧面积和全面积]
一、选择题
1.已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A.60π cm2 B.65π cm2 C.120π cm2 D.130π cm2
2.如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是( )
A.15π B.30π C.45π D.60π
3.小明用中的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知该扇形的半径是5 cm，弧长是6π cm，那么这个圆锥的高是( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )
A.l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2
B.l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2
C.l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4
D.l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4
5.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A.3.5 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
二、填空题
6.圆锥的底面圆半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为________.
7.已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，则它的侧面展开图的面积为________cm2.
8.用一个圆心角为90°，半径为20 cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm.
9.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________.
10.如图，已知⊙O的半径为4，∠A＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥底面圆的半径为________.
11.一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸(单位：cm)如图图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.
12.将母线长为6 cm，底面半径为2 cm的圆锥的侧面展开，得到如图图所示的扇形OAB，则图中阴影部分的面积为________ cm2.
13.如图所示，有一直径是 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：
(1)AB的长为________米；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米.
三、解答题
14.已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图图)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长.
15.已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长；
(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？
16.如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.
(1)求该粮囤的容积；
(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).
17.如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分).
(1)求这个扇形的面积；
(2)若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，求圆锥的底面半径.
如图所示，圆锥的底面圆的半径为10 cm，高为10 cm.
(1)求圆锥的全面积；
(2)若一只小虫从底面上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA上的点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短路程.
答案
1.B ∵r＝5 cm,l＝13 cm,∴S圆锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π(cm2).故选B.
2.D 圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形,其中r＝6,h＝8,所以母线长为10,所以圆锥的侧面积＝πrl＝π×6×10＝60π.故选D.
3.A 设圆锥的底面圆的半径是r cm,则2πr＝6π,解得r＝3,则圆锥的高是＝4(cm).
4.A ∵l1＝2π×BC＝2π,
l2＝2π×AB＝4π,
∴l1∶l2＝1∶2.
∵S1＝×2π×＝π,
S2＝×4π×＝2 π,
∴S1∶S2＝1∶2.
故选A.
5.B 的长＝·2π·AB,右侧圆的周长为π·DE.
∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,
∴·2π·AB＝π·DE,
∴AB＝2DE,
即AE＝2DE.
∵AE＋DE＝AD＝6,
∴AB＝4 cm.故选B.
6.4 ∵S侧＝πrl,∴3πl＝12π,∴l＝4.
故这个圆锥的母线长为4.
7.2π 因为底面半径为1 cm,高为 cm,由勾股定理可求得母线长R＝2 cm,则它的侧面展开图的面积为2π cm2.
8.5 圆锥的底面周长＝扇形的弧长,即2πr＝,解得r＝5.故答案为5.
9. 设这个圆锥底面圆的半径是r.
∵∠BOC＝2∠AOC,∠BOC＋∠AOC＝180°,
∴∠AOC＝60°.
又∵OA＝OC,∴△OAC为等边三角形,
∴OA＝OC＝AC＝3,
∴l＝＝2πr,解得r＝,
∴这个圆锥底面圆的半径是.
10.1 ∵∠A＝45°,∴∠BOC＝2∠A＝90.设该圆锥底面圆的半径为r,则有2πr＝,解得r＝1.
11.15π
12.(12π－9 ) 由题意知,扇形OAB的弧长＝圆锥的底面周长＝2×2π＝4π(cm),
∴扇形的圆心角n＝4π×180÷6π＝120,即∠AOB＝120°.
如图图图,过点O作OC⊥AB于点C,
则AC＝BC＝AB.
∵OA＝OB,∠AOB＝120°,∴∠OAB＝∠OBA＝30°,
∴OC＝OA＝3 cm,
∴AC＝3 cm,
∴AB＝2AC＝2×3 ＝6 (cm),
∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝－×3×6 ＝(12π－9 )cm2.
13.(1)1 (2) (1)如图图图,连接BC.
∵∠BAC＝90°,
∴BC为⊙O的直径,即BC＝.
∵AB＝AC,AB2＋AC2＝BC2＝2,
∴AB＝1(米).
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r米.
根据题意,得2πr＝,解得r＝.
14.解：∵轴截面△ABC是等边三角形,
∴AC＝BC＝2OC.
由题意,得π·OC·AC＋π·OC2＝75π,
∴3π·OC2＝75π,
∴OC2＝25.
∵OC>0,
∴OC＝5 cm,
∴AC＝2OC＝2×5＝10(cm).
即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm,母线长为10 cm.
15.解：(1)设扇形的半径为r cm.
由题意,得＝300π,解得r＝30,
∴扇形的弧长＝＝20π(cm).
(2)设圆锥的底面圆的半径为x cm,
则2π·x＝20π,解得x＝10,
∴圆锥的高＝＝20 (cm),
∴圆锥的体积＝×π×102×20 ＝
π(cm3).
16.解：(1)容积V＝π×62×3＋×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3).
答：该粮囤的容积为120π m3.
(2)圆锥的母线长l＝＝(m),所以圆锥的侧面积S＝π×6×＝6π(m2).
17.解：(1)连接BC,如图图图.
由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径,
∴BC＝2 .
在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB＝AC＝2,
∴S扇形ABC＝＝π.
(2)扇形的弧长为＝π.
设圆锥的底面半径为r,则2πr＝π,
解得r＝.
[素养提升]
解：(1)SA＝＝40(cm),
S全＝S底＋S侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2).
故圆锥的全面积是500π cm2.
(2)如图图图,设圆锥的侧面展开图为扇形SAA′,点M对应扇形上的点M′,圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为n°.
由题意,得SM′＝SM＝SA＝×40＝30(cm).
又∵S侧＝10π×40＝,
∴n＝90,∴∠ASM′＝90°.
由勾股定理,得AM′＝＝＝50(cm),
即它所走的最短路程是50 cm.
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[弧长和扇形面积]
一、选择题
1.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧()，则的展直长度为( )
A.3π m B.6π m C.9π m D.12π m
2.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A.2π B.4π C.12π D.24π
3.如图，半径为10的扇形OAB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为( )
A.10π B.9π C.8π D.6π
4.如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积是( )
A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2
二、填空题
5.已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________.
6.如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是________.
三、解答题
7.如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数；
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).
如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC.
(1)试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝6，求阴影部分的面积.
答案
1.B 的展直长度＝＝6π(m).故选B.
2.C 根据扇形的面积公式,S＝＝12π.故选C.
3.A 连接OC.由于△COE与△EOD同底等高,因此它们的面积相等,因此阴影部分面积与扇形OBC的面积相等.而∠COB＝∠CDE＝36°,根据扇形面积公式可求得阴影部分的面积为10π.
4.D 如图图图,大扇形的圆心角是90°,
半径是5 m,∴其面积为＝(m2);小扇形的圆心角是180°－120°＝60°,半径是1 m,则其面积为＝(m2),∴小羊A在草地上的最大活动区域的面积为＋＝π(m2).
5.2π 设扇形的半径是R,
则＝6π,解得R＝6(负值已舍去).
设扇形的弧长是l,则lR＝6π,即3l＝6π,
解得l＝2π.故答案为2π.
6.3π 图中阴影部分的面积＝四边形ADEF的面积＋扇形ADD′的面积－四边形AD′E′F′的面积＝扇形ADD′的面积＝＝3π.
7.解：(1)连接OD,OC,如图图图.
∵C,D是半圆O上的三等分点,
∴＝＝,
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°,
∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB,∴∠AEF＝90°,
∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
(2)由(1)知∠AOD＝60°.
∵OA＝OD,AB＝4,
∴△OAD是等边三角形,OA＝OD＝2.
∵DE⊥AO,∴AE＝OE＝OA＝1,
∴DE＝＝,
∴S阴影＝S扇形OAD－S△OAD＝－×2×＝π－.
[素养提升]
解：(1)AE与⊙O相切.理由：连接OA,AD,如图图图.
∵CD为⊙O的直径,
∴∠DAC＝90°.
又∵∠ADC＝∠B＝60°,
∴∠ACE＝30°,∴∠AOD＝60°.
又∵AE＝AC,OA＝OD,
∴∠E＝30°,△ADO为等边三角形,
∴∠ADO＝∠DAO＝60°,
∴∠EAD＝30°,
∴∠EAD＋∠DAO＝90°,
∴∠EAO＝90°,即OA⊥AE.
又∵OA是⊙O的半径,
∴AE与⊙O相切.
(2)∵AE＝AC,AC＝6,∴AE＝6.
由(1)可知△AEO为直角三角形,且∠E＝30°,
∴∠AOE＝60°,OE＝2OA.
在Rt△AEO中,由勾股定理,得OE2＝OA2＋AE2,即(2OA)2＝OA2＋62,解得OA＝2 (负值已舍去),
∴阴影部分的面积 ＝S△AEO－S扇形OAD＝×6×2 －＝6 －2π.
故阴影部分的面积为6 －2π.
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