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四川省凉山彝族自治州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·凉山期末）设集合，，则集合（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022高二下·凉山期末）复数，则z的虚部为（ ）．
A．3 B．-3 C． D．-1
3．（2022高二下·凉山期末）已知某5个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3．则这6个数据的平均数和方差分别为（ ）．
A．3，2 B．3， C．， D．，
4．（2022高二下·凉山期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
5．（2022高二下·凉山期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ）．
A． B． C．5 D．
6．（2022高二下·凉山期末）已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
7．（2022高二下·凉山期末）已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022高二下·凉山期末）已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2022高二下·凉山期末）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022高二下·凉山期末）已知等差数列，，，则数列的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2022高二下·凉山期末）已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A． B． C． D．
12．（2022高二下·凉山期末）若实数a，b满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·凉山期末）已知向量，，若，则 ．
14．（2022高二下·凉山期末）如果曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
15．（2022高二下·凉山期末）的展开式中的系数是 ；
16．（2022高二下·凉山期末）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为2；
②若，则；
③函数在区间上单调递增；
④函数，所有零点之和为12．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．（2022高二下·凉山期末）在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．
18．（2022高二下·凉山期末）已知数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（2022高二下·凉山期末）2022年2月4日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校从全校学生中随机抽取了400名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：
收看 没收看
男生 160 40
女生 120 80
附：，其中．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据上表说明，能否有99.5％的把握认为，是否收看冬奥会与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且没收看冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取6人参加冬季运动宣传培训会．若从这6人中随机选取3人，求选取的3人中有1名男生2名女生的概率．
20．（2022高二下·凉山期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．
（1）若E为PA的中点，求证平面PBC；
（2）求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21．（2022高二下·凉山期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
（1）求C的方程；
（2）直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
22．（2022高二下·凉山期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：若，，则．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，即，解得，所以，
又，所以.
故答案为：C
【分析】 可以求出集合N，然后进行交集的运算即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数
所以的虚部为-3，
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除运算化简z，即可求出 z的虚部 .
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：这6个数据的平均数，
方差，
故答案为：B.
【分析】由一组数据的平均数定义和方差的定义，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】当时，，
当时，，
则，所以C大约增加了，
即C大约增加了60％
故答案为：C
【分析】将和代入，作差后得到，进而求出C大约增加了60％.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线两条渐近线方程是，故可设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，故，故双曲线的方程为，其离心率为
故答案为：B
【分析】根据题意，设双曲线的方程为，将点坐标代入计算可得的值，将的值代入计算双曲线的方程，然后求出双曲线的离心率.
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A选项，若，，，则、的位置关系不确定，A不符合题意；
对于B选项，若，，则与的位置关系不确定，B不符合题意；
对于C选项，设，过直线上的点在平面内作，如下图所示：
因为，，，，则，
，则，又因为，，所以，，C对；
对于D选项，，，，则、平行或异面，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断A、B、C正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断D.
7．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】，
，，
结合函数图象，在有且仅有一个极值点，
则，解得：，
因为为整数，故整数的最大值为2.
故答案为：B
【分析】 由题意利用两角和的正弦公式化简f (x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求得整数的最大值 .
8．【答案】A
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】若命题p为真，则 ，若为真，则 ，
由于为真命题，为假，则 中一真一假
若 真 假，则满足： ；
若 真 假，则满足： ，此时 无解，
综上
故答案为：A
【分析】 分别求出p、q为真时a的取值范围，再由题设“ 为真命题，为假 ”推断p，q的真假性，综合前面，由p， q的真假性即可求出a的取值范围.
9．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
故.
故答案为：A.
【分析】 先根据任意角的定义求出，再根据诱导公式和正弦二倍角公式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由，可得公差 ，所以，
因此 ，所以前8项和为
故答案为：B
【分析】根据题意，求出等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求出答案.
11．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故答案为：D．
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得答案.
12．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；换底公式的应用
【解析】【解答】因为，所以，
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故，
故答案为：C.
【分析】 利用比较作差法先比较a与2的大小，然后构造函数，结合函数的性质比较a与b的大小即可判断得答案.
13．【答案】2
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又，所以，
解得：.
故答案为：2.
【分析】 根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解出的值.
14．【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，因为直线的斜率为，
所以，即，解得；
故答案为：1
【分析】 先根据两直线垂直的条件求出函数f(x)在点 处的切线的斜率，接着求出函数f(x)的导数，则，求出t的值.
15．【答案】21
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式中，通项公式为：
，
令，
解得，
的系数为：．
故答案为：21．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得 的系数.
16．【答案】②③④
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】因为函数是定义域为R的奇函数，满足，
所以，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期为4，所以①错误，
因为是定义域为R的奇函数，所以，
因为，所以的图象关于直线对称，
所以，，
因为函数的最小正周期为4，所以，则，所以②正确，
因为当时，，
所以在上递增，
因为函数是定义域为R的奇函数，所以在，
所以在区间上单调递增，所以③正确，
由，得，则的零点为函数与的图象交点的横坐标，的周期也为4，图象也关于直线对称，
在同一坐标系中画出两函数的图象，如图所示，
由图象可知两函数图象在上的交点的横坐标为0，2，4，6，其和为12，所以函数，所有零点之和为12，所以④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据题意可得的图象关于直线对称，函数的最小正周期为4，再结合时，分析判断②③；对于④转化为函数与的图像交点的横坐标，画出函数图象再判断即可得答案.
17．【答案】（1）解：由得：．
由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，
所以A＝90°或A＝30°
（2）解：当A＝90°时，．
当A＝30°时，，
所以△ABC的面积为或．
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】 (1)先根据正弦定理以及大角对大边求出角C ，再根据三角形内角和为180°即可求出角A；
(2)分情况分别代入三角形的面积计算公式即可求出 △ABC的面积．
18．【答案】（1）解：因为，当时，，
当时，，所以，
当时，也成立，所以
（2）解：因为，所以，
所以
【知识点】对数的运算性质；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)运用数列的递推式，计算可得 的通项公式；
(2)运用对数的运算性质化简 ， 再利用等差数列的求和公式可得数列的前n项和．
19．【答案】（1）解：∵，
∴有99.5％的把握认为是否收看冬奥会与性别有关．
（2）解：采用按性别分层抽样的方法，选取6人，
则男生有人，女生有人，
故所求概率为
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解出选取的3人中有1名男生2名女生的概率．
20．【答案】（1）证明：如图所示，设PB中点为F，连接EF，FC．
∵E为PA的中点，∴且．
又∵，，∴EFCD为平行四边形，即，
且平面PBC，平面PBC，
所以，平面PBC．
（2）解：在中，，
在中，，
∵，，∴．
则，所以，
又因平面ABCD，
以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，，，，
所以，，．
设平面PAD的一个法向量为，
则，取，所以．
设直线BP与平面PAD所成的角为，
则．
所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值是．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设PB中点为F，连接EF，FC，可证得EFCD为平行四边形 ， 即， 再利用线面平行的判定定理可证得 平面PBC；
（2） 以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，求出 和平面PAD的一个法向量，利用向量法求出直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21．【答案】（1）解：由题意知，解得，，，所以C的方程为．
（2）解：证明：设点（不妨设，则点，
由，消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1 )根 由题意知 ，求出 ，，即可得到椭圆C的方程；
(2)当直线EF的斜率不存在时易进行证明，当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为y= kx(k≠0)，与椭圆方程联立可得点E坐标，从而得到直线AE的方程，进而得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，即可证得四点共圆.
22．【答案】（1）解：由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】（1） 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 的单调性；
（2） 要证，即证 ， 设 ，求导可得 在上单调递增， 可证得 ．
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四川省凉山彝族自治州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·凉山期末）设集合，，则集合（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，即，解得，所以，
又，所以.
故答案为：C
【分析】 可以求出集合N，然后进行交集的运算即可得答案.
2．（2022高二下·凉山期末）复数，则z的虚部为（ ）．
A．3 B．-3 C． D．-1
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数
所以的虚部为-3，
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除运算化简z，即可求出 z的虚部 .
3．（2022高二下·凉山期末）已知某5个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3．则这6个数据的平均数和方差分别为（ ）．
A．3，2 B．3， C．， D．，
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：这6个数据的平均数，
方差，
故答案为：B.
【分析】由一组数据的平均数定义和方差的定义，即可求出答案.
4．（2022高二下·凉山期末）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
【答案】C
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】当时，，
当时，，
则，所以C大约增加了，
即C大约增加了60％
故答案为：C
【分析】将和代入，作差后得到，进而求出C大约增加了60％.
5．（2022高二下·凉山期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ）．
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线两条渐近线方程是，故可设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，故，故双曲线的方程为，其离心率为
故答案为：B
【分析】根据题意，设双曲线的方程为，将点坐标代入计算可得的值，将的值代入计算双曲线的方程，然后求出双曲线的离心率.
6．（2022高二下·凉山期末）已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A选项，若，，，则、的位置关系不确定，A不符合题意；
对于B选项，若，，则与的位置关系不确定，B不符合题意；
对于C选项，设，过直线上的点在平面内作，如下图所示：
因为，，，，则，
，则，又因为，，所以，，C对；
对于D选项，，，，则、平行或异面，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断A、B、C正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断D.
7．（2022高二下·凉山期末）已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】，
，，
结合函数图象，在有且仅有一个极值点，
则，解得：，
因为为整数，故整数的最大值为2.
故答案为：B
【分析】 由题意利用两角和的正弦公式化简f (x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求得整数的最大值 .
8．（2022高二下·凉山期末）已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】若命题p为真，则 ，若为真，则 ，
由于为真命题，为假，则 中一真一假
若 真 假，则满足： ；
若 真 假，则满足： ，此时 无解，
综上
故答案为：A
【分析】 分别求出p、q为真时a的取值范围，再由题设“ 为真命题，为假 ”推断p，q的真假性，综合前面，由p， q的真假性即可求出a的取值范围.
9．（2022高二下·凉山期末）平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
故.
故答案为：A.
【分析】 先根据任意角的定义求出，再根据诱导公式和正弦二倍角公式即可求出答案.
10．（2022高二下·凉山期末）已知等差数列，，，则数列的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由，可得公差 ，所以，
因此 ，所以前8项和为
故答案为：B
【分析】根据题意，求出等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求出答案.
11．（2022高二下·凉山期末）已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故答案为：D．
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得答案.
12．（2022高二下·凉山期末）若实数a，b满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；换底公式的应用
【解析】【解答】因为，所以，
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故，
故答案为：C.
【分析】 利用比较作差法先比较a与2的大小，然后构造函数，结合函数的性质比较a与b的大小即可判断得答案.
二、填空题
13．（2022高二下·凉山期末）已知向量，，若，则 ．
【答案】2
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又，所以，
解得：.
故答案为：2.
【分析】 根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解出的值.
14．（2022高二下·凉山期末）如果曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，因为直线的斜率为，
所以，即，解得；
故答案为：1
【分析】 先根据两直线垂直的条件求出函数f(x)在点 处的切线的斜率，接着求出函数f(x)的导数，则，求出t的值.
15．（2022高二下·凉山期末）的展开式中的系数是 ；
【答案】21
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：的展开式中，通项公式为：
，
令，
解得，
的系数为：．
故答案为：21．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得 的系数.
16．（2022高二下·凉山期末）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为2；
②若，则；
③函数在区间上单调递增；
④函数，所有零点之和为12．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】因为函数是定义域为R的奇函数，满足，
所以，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期为4，所以①错误，
因为是定义域为R的奇函数，所以，
因为，所以的图象关于直线对称，
所以，，
因为函数的最小正周期为4，所以，则，所以②正确，
因为当时，，
所以在上递增，
因为函数是定义域为R的奇函数，所以在，
所以在区间上单调递增，所以③正确，
由，得，则的零点为函数与的图象交点的横坐标，的周期也为4，图象也关于直线对称，
在同一坐标系中画出两函数的图象，如图所示，
由图象可知两函数图象在上的交点的横坐标为0，2，4，6，其和为12，所以函数，所有零点之和为12，所以④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据题意可得的图象关于直线对称，函数的最小正周期为4，再结合时，分析判断②③；对于④转化为函数与的图像交点的横坐标，画出函数图象再判断即可得答案.
三、解答题
17．（2022高二下·凉山期末）在△ABC中，已知，b＝1，B＝30°．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：由得：．
由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，
所以A＝90°或A＝30°
（2）解：当A＝90°时，．
当A＝30°时，，
所以△ABC的面积为或．
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】 (1)先根据正弦定理以及大角对大边求出角C ，再根据三角形内角和为180°即可求出角A；
(2)分情况分别代入三角形的面积计算公式即可求出 △ABC的面积．
18．（2022高二下·凉山期末）已知数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，当时，，
当时，，所以，
当时，也成立，所以
（2）解：因为，所以，
所以
【知识点】对数的运算性质；等差数列的前n项和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)运用数列的递推式，计算可得 的通项公式；
(2)运用对数的运算性质化简 ， 再利用等差数列的求和公式可得数列的前n项和．
19．（2022高二下·凉山期末）2022年2月4日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校从全校学生中随机抽取了400名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：
收看 没收看
男生 160 40
女生 120 80
附：，其中．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据上表说明，能否有99.5％的把握认为，是否收看冬奥会与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且没收看冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取6人参加冬季运动宣传培训会．若从这6人中随机选取3人，求选取的3人中有1名男生2名女生的概率．
【答案】（1）解：∵，
∴有99.5％的把握认为是否收看冬奥会与性别有关．
（2）解：采用按性别分层抽样的方法，选取6人，
则男生有人，女生有人，
故所求概率为
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解出选取的3人中有1名男生2名女生的概率．
20．（2022高二下·凉山期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．
（1）若E为PA的中点，求证平面PBC；
（2）求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，设PB中点为F，连接EF，FC．
∵E为PA的中点，∴且．
又∵，，∴EFCD为平行四边形，即，
且平面PBC，平面PBC，
所以，平面PBC．
（2）解：在中，，
在中，，
∵，，∴．
则，所以，
又因平面ABCD，
以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，，，，
所以，，．
设平面PAD的一个法向量为，
则，取，所以．
设直线BP与平面PAD所成的角为，
则．
所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值是．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 设PB中点为F，连接EF，FC，可证得EFCD为平行四边形 ， 即， 再利用线面平行的判定定理可证得 平面PBC；
（2） 以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 ，求出 和平面PAD的一个法向量，利用向量法求出直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21．（2022高二下·凉山期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
（1）求C的方程；
（2）直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【答案】（1）解：由题意知，解得，，，所以C的方程为．
（2）解：证明：设点（不妨设，则点，
由，消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1 )根 由题意知 ，求出 ，，即可得到椭圆C的方程；
(2)当直线EF的斜率不存在时易进行证明，当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为y= kx(k≠0)，与椭圆方程联立可得点E坐标，从而得到直线AE的方程，进而得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，即可证得四点共圆.
22．（2022高二下·凉山期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：若，，则．
【答案】（1）解：由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法
【解析】【分析】（1） 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数 的单调性；
（2） 要证，即证 ， 设 ，求导可得 在上单调递增， 可证得 ．
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