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四川省绵阳市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·绵阳期末）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以；
故答案为：A
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案.
2．（2022高二下·绵阳期末）命题：“，都有”的否定是（ ）
A．，都有 B．，使得
C．，都有 D．，使得
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题：“，都有”的否定是“，使得”.
故答案为：B.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
3．（2022高二下·绵阳期末）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．-120 B．120 C．-160 D．160
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由已知得，所以，
因为展开式通项公式为，
令，得，
则展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】 由已知求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
4．（2022高二下·绵阳期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】∵函数，，
∴，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.
故答案为：D.
【分析】 求出f (x)的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得函数f (x)的单调递增区间.
5．（2022高二下·绵阳期末）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】易知函数的定义域为，，
故函数为偶函数，
当时，且，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除ABD选项.
故答案为：C.
【分析】由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再对求导可得的单调性，逐项进行判断，可得答案.
6．（2022高二下·绵阳期末）已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】依题意得，
当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，
当，时，由线面平行的判定定理可得，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】 根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可得答案.
7．（2022高二下·绵阳期末）已知命题若，则；命题若，则，下列四个命题：
①②③④
其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：令，则，所以在定义域上单调递增，
又，所以当时，即对任意的恒成立，即命题为真命题，则为假命题；
当，时满足，但是，故命题为假命题，则为真命题；
所以为真命题，为假命题，为真命题，为真命题；
故答案为：D
【分析】 先判断出p， q的真假，再分别讨论复合命题的真假，从而得到答案.
8．（2022高二下·绵阳期末）2022年男足世界杯将于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙、丙、丁4名志愿者去A、B、C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能到一个足球场，且甲被安排到足球场，则不同安排的种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若足球场安排的人数为2，则甲被安排到足球场，还得从另外三个人中抽一个人安排至足球场，
此时，不同的安排方法种数为种；
若足球场安排的人数为，则将另外三人分为两组，两组人数分别为2、1，
此时，不同的安排方法种数为种.
综上所述，不同的安排方法种数为种.
故答案为：B.
【分析】对A足球场安排的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得答案.
9．（2022高二下·绵阳期末）如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：，，
．
又，，，
所以，，，
所以
，
所以.
故答案为：A．
【分析】 首先根据空间向量线性运算法则用表示出，再根据数量积的运算律计算可得答案.
10．（2022高二下·绵阳期末）国际排球比赛的规则如下：每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局就获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，甲、乙两队比赛1场后，设甲队的积分为X，乙队的积分为Y，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】乙两队比赛1场后，包含以下种情况，
①甲队以取胜，概率为，
②甲队以取胜，即前三局比赛中甲胜负，第四局甲胜，概率为，
③甲队以取胜，即前四局比赛中甲胜负，第五局甲胜，概率为，
甲、乙两队比赛1场后，的概率为，
故答案为：D.
【分析】 先将分为3种情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可得答案.
11．（2022高二下·绵阳期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
则，即，
，因此，.
故答案为：D.
【分析】构造函数，其中，求导可得函数在上为增函数，再利用对数函数的单调性比较大小，可得答案.
12．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意得，， ，于是，设，显然在上单调，于是，根据单调性可知，故，于是，故，在令，，于是递减，递增，故，取得最小值.
故答案为：A
【分析】由题意得，设，，求导分析可求得的单调性，进而求出 的最小值 .
二、填空题
13．（2022高二下·绵阳期末）已知随机变量，若，则
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，故，所以，
故答案为：
【分析】 由二项分布的期望公式，列出方程，解方程，求出p，即可求出答案.
14．（2022高二下·绵阳期末）在的展开式中，的系数为
【答案】0
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，展开式的通项为，
则展开式中的系数为，
展开式中的系数即为展开式中的系数，
所以，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：0.
【分析】 根据二项式定理求出含的项，进而求解出的系数.
15．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，对于任意，都有成立，则实数的取值范围是
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意得，对于任意，都有成立可等价为
对于任意，都有成立，
，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
对于任意，都有成立，
即对于任意，都有成立，等价为成立，
令，，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
，，
的取值范围是.
故答案为：.
【分析】对求导，根据导数符号判断出的单调性，进而求出，令，，求导，根据导数符号判断出的单调性，进而求解出实数的取值范围.
16．（2022高二下·绵阳期末）在正方体A1B1C1D1中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是
【答案】
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 建立空间直角坐标系，利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得
，然后利用二次函数的性质即得 的取值范围 .
三、解答题
17．（2022高二下·绵阳期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是AB的中点
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：设与的交点为，连接，
∵是的中点，是的中点，∴
∵平面，平面，
∴平面
（2）解：由（1）可得直线与直线所成角为，又在直三棱柱中，因为，，，则，所以，故，，，故，即直线与直线所成角的余弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 设与的交点为，连接， 由三角形中位线的性质可得 ，根据线面平行的判定定理可证得 平面；
（2） 由（1）可得直线与直线所成角为 ，根据勾股定理可证得 ，利用余弦定理可求出直线与直线所成角的余弦值．
18．（2022高二下·绵阳期末）某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
（1）求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
【答案】（1）解：从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率
（2）解：依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：
0 1 2
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1) 首先求出从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队的抽取方法数为 ，再分类讨论高一恰好有1名学生入选代表队的抽取方法数 和 ，进而利用概率公式求得高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2) 依题意得，的所有可能取值为， 并且符合超几何分布，分别求出所对应的概率，列出分布列求其数学期望.
19．（2022高二下·绵阳期末）已知函数
（1）当k=0时，求函数的极值；
（2）是否存在实数k，使得函数在区间[2，3]上的最大值是9 若存在，求出所有实数k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，则，当时，，此时单调递减，当和时，，此时单调递增，故的极大值为，的极小值为
（2）解：，令，
若，则时，，故此时在单调递增，故的最大值为，不符合舍去；
当，则，此时设是的两根，且，；当时，，此时单调递减，当和时，，此时单调递增，
当时，即，此时在单调递增，故的最大值为，符合要求，
当时，此时，当，此时单调递减，当，，此时单调递增，且，，此时不符合最大值为，舍去；
当，解得，此时在单调递减，故的最大值为，不符合要求，
综上，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 当时，，求导，根据导数判断函数函数 的单调性，进而可求出函数的极值；
（2） 分类讨论，根据导函数的正负确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最值，进而求出 所有实数k的值 .
20．（2022高二下·绵阳期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)通过证明 ， ， 推出平面， 得到平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 求出 平面的一个法向量和平面的一个法向量 ，利用向量法求出二面角的余弦值.
21．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，且函数恰为曲线在处的切线.
（1）求实数、的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，该函数的定义域为，，
由已知可得，即.
（2）解：由题意可知，对任意的，，即.
即，
令，其中，且，
则，令，则，
令，则，当时，，
所以，函数在上单调递增，则.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，所以，当时，；
②当时，即当时，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，当时，，即，
所以，，
所以，存在，使得，当时，，
则函数在上单调递减，则当时，且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，所以，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义
【解析】【分析】 (1)根据导数的几何意义求出曲线y=f(x)在x=0处的切线方程，即可求出实数、的值；
(2) 由题意可知，对任意的，，即，令，其中，且，令 ，求导，利用导数可得 在上单调性，进而求出实数的取值范围 .
22．（2022高二下·绵阳期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的方程为，曲线C的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点О为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）射线的极坐标方程为=，射线与曲线C交于点M(异于原点)，射线的极坐标方程为，射线与直线交于点N，求的值.
【答案】（1）解：由，得，
得，，
所以直线l的极坐标方程为 ，
由，得，
化简得，
所以，
所以
（2）解：当时，，
所以，
当=时，，
所以，
所以
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】 (1) 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求得直线l和曲线C的极坐标方程；
(2)将 代入曲线C的极坐标方程中可求出 ， 将 代入直线 的极坐标方程中可求出 ， 从而可求出 的值.
23．（2022高二下·绵阳期末）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
由得不等式的解集为
（2）解：由二次函数，
知函数在处取得最大值9，
因为，
在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)将 代入f(x)中，再根据 ，利用零点分段法解不等式即可得不等式的解集；
(2)先分别求出y的最小值，f (x)的最大值，然后根据条件得到关于m的不等式，求解可得实数的取值范围.
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四川省绵阳市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·绵阳期末）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·绵阳期末）命题：“，都有”的否定是（ ）
A．，都有 B．，使得
C．，都有 D．，使得
3．（2022高二下·绵阳期末）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．-120 B．120 C．-160 D．160
4．（2022高二下·绵阳期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
5．（2022高二下·绵阳期末）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·绵阳期末）已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
7．（2022高二下·绵阳期末）已知命题若，则；命题若，则，下列四个命题：
①②③④
其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022高二下·绵阳期末）2022年男足世界杯将于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙、丙、丁4名志愿者去A、B、C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能到一个足球场，且甲被安排到足球场，则不同安排的种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
9．（2022高二下·绵阳期末）如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·绵阳期末）国际排球比赛的规则如下：每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局就获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为，甲、乙两队比赛1场后，设甲队的积分为X，乙队的积分为Y，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·绵阳期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·绵阳期末）已知随机变量，若，则
14．（2022高二下·绵阳期末）在的展开式中，的系数为
15．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，对于任意，都有成立，则实数的取值范围是
16．（2022高二下·绵阳期末）在正方体A1B1C1D1中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是
三、解答题
17．（2022高二下·绵阳期末）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是AB的中点
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
18．（2022高二下·绵阳期末）某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
（1）求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
19．（2022高二下·绵阳期末）已知函数
（1）当k=0时，求函数的极值；
（2）是否存在实数k，使得函数在区间[2，3]上的最大值是9 若存在，求出所有实数k的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022高二下·绵阳期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
21．（2022高二下·绵阳期末）已知函数，，且函数恰为曲线在处的切线.
（1）求实数、的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．（2022高二下·绵阳期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的方程为，曲线C的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点О为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）射线的极坐标方程为=，射线与曲线C交于点M(异于原点)，射线的极坐标方程为，射线与直线交于点N，求的值.
23．（2022高二下·绵阳期末）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以；
故答案为：A
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题：“，都有”的否定是“，使得”.
故答案为：B.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由已知得，所以，
因为展开式通项公式为，
令，得，
则展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】 由已知求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】∵函数，，
∴，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.
故答案为：D.
【分析】 求出f (x)的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得函数f (x)的单调递增区间.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】易知函数的定义域为，，
故函数为偶函数，
当时，且，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除ABD选项.
故答案为：C.
【分析】由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再对求导可得的单调性，逐项进行判断，可得答案.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】依题意得，
当，时，直线与直线的位置关系为平行或者异面，
当，时，由线面平行的判定定理可得，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】 根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】解：令，则，所以在定义域上单调递增，
又，所以当时，即对任意的恒成立，即命题为真命题，则为假命题；
当，时满足，但是，故命题为假命题，则为真命题；
所以为真命题，为假命题，为真命题，为真命题；
故答案为：D
【分析】 先判断出p， q的真假，再分别讨论复合命题的真假，从而得到答案.
8．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若足球场安排的人数为2，则甲被安排到足球场，还得从另外三个人中抽一个人安排至足球场，
此时，不同的安排方法种数为种；
若足球场安排的人数为，则将另外三人分为两组，两组人数分别为2、1，
此时，不同的安排方法种数为种.
综上所述，不同的安排方法种数为种.
故答案为：B.
【分析】对A足球场安排的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得答案.
9．【答案】A
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：，，
．
又，，，
所以，，，
所以
，
所以.
故答案为：A．
【分析】 首先根据空间向量线性运算法则用表示出，再根据数量积的运算律计算可得答案.
10．【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】乙两队比赛1场后，包含以下种情况，
①甲队以取胜，概率为，
②甲队以取胜，即前三局比赛中甲胜负，第四局甲胜，概率为，
③甲队以取胜，即前四局比赛中甲胜负，第五局甲胜，概率为，
甲、乙两队比赛1场后，的概率为，
故答案为：D.
【分析】 先将分为3种情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可得答案.
11．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
则，即，
，因此，.
故答案为：D.
【分析】构造函数，其中，求导可得函数在上为增函数，再利用对数函数的单调性比较大小，可得答案.
12．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意得，， ，于是，设，显然在上单调，于是，根据单调性可知，故，于是，故，在令，，于是递减，递增，故，取得最小值.
故答案为：A
【分析】由题意得，设，，求导分析可求得的单调性，进而求出 的最小值 .
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，故，所以，
故答案为：
【分析】 由二项分布的期望公式，列出方程，解方程，求出p，即可求出答案.
14．【答案】0
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，展开式的通项为，
则展开式中的系数为，
展开式中的系数即为展开式中的系数，
所以，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：0.
【分析】 根据二项式定理求出含的项，进而求解出的系数.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】依题意得，对于任意，都有成立可等价为
对于任意，都有成立，
，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，
对于任意，都有成立，
即对于任意，都有成立，等价为成立，
令，，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
，，
的取值范围是.
故答案为：.
【分析】对求导，根据导数符号判断出的单调性，进而求出，令，，求导，根据导数符号判断出的单调性，进而求解出实数的取值范围.
16．【答案】
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 建立空间直角坐标系，利用坐标法，可得点在上，然后利用线面角的向量求法可得
，然后利用二次函数的性质即得 的取值范围 .
17．【答案】（1）证明：设与的交点为，连接，
∵是的中点，是的中点，∴
∵平面，平面，
∴平面
（2）解：由（1）可得直线与直线所成角为，又在直三棱柱中，因为，，，则，所以，故，，，故，即直线与直线所成角的余弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 设与的交点为，连接， 由三角形中位线的性质可得 ，根据线面平行的判定定理可证得 平面；
（2） 由（1）可得直线与直线所成角为 ，根据勾股定理可证得 ，利用余弦定理可求出直线与直线所成角的余弦值．
18．【答案】（1）解：从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率
（2）解：依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：
0 1 2
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1) 首先求出从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队的抽取方法数为 ，再分类讨论高一恰好有1名学生入选代表队的抽取方法数 和 ，进而利用概率公式求得高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2) 依题意得，的所有可能取值为， 并且符合超几何分布，分别求出所对应的概率，列出分布列求其数学期望.
19．【答案】（1）解：当时，，则，当时，，此时单调递减，当和时，，此时单调递增，故的极大值为，的极小值为
（2）解：，令，
若，则时，，故此时在单调递增，故的最大值为，不符合舍去；
当，则，此时设是的两根，且，；当时，，此时单调递减，当和时，，此时单调递增，
当时，即，此时在单调递增，故的最大值为，符合要求，
当时，此时，当，此时单调递减，当，，此时单调递增，且，，此时不符合最大值为，舍去；
当，解得，此时在单调递减，故的最大值为，不符合要求，
综上，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 当时，，求导，根据导数判断函数函数 的单调性，进而可求出函数的极值；
（2） 分类讨论，根据导函数的正负确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最值，进而求出 所有实数k的值 .
20．【答案】（1）证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)通过证明 ， ， 推出平面， 得到平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 求出 平面的一个法向量和平面的一个法向量 ，利用向量法求出二面角的余弦值.
21．【答案】（1）解：因为，该函数的定义域为，，
由已知可得，即.
（2）解：由题意可知，对任意的，，即.
即，
令，其中，且，
则，令，则，
令，则，当时，，
所以，函数在上单调递增，则.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，所以，当时，；
②当时，即当时，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，当时，，即，
所以，，
所以，存在，使得，当时，，
则函数在上单调递减，则当时，且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，所以，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义
【解析】【分析】 (1)根据导数的几何意义求出曲线y=f(x)在x=0处的切线方程，即可求出实数、的值；
(2) 由题意可知，对任意的，，即，令，其中，且，令 ，求导，利用导数可得 在上单调性，进而求出实数的取值范围 .
22．【答案】（1）解：由，得，
得，，
所以直线l的极坐标方程为 ，
由，得，
化简得，
所以，
所以
（2）解：当时，，
所以，
当=时，，
所以，
所以
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】 (1) 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求得直线l和曲线C的极坐标方程；
(2)将 代入曲线C的极坐标方程中可求出 ， 将 代入直线 的极坐标方程中可求出 ， 从而可求出 的值.
23．【答案】（1）解：当时，，
由得不等式的解集为
（2）解：由二次函数，
知函数在处取得最大值9，
因为，
在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)将 代入f(x)中，再根据 ，利用零点分段法解不等式即可得不等式的解集；
(2)先分别求出y的最小值，f (x)的最大值，然后根据条件得到关于m的不等式，求解可得实数的取值范围.
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