四川省内江市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

四川省内江市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
1．（2022高二下·内江期末）椭圆的长轴长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆方程变形为，，∴，长轴长为.
故答案为：D.
【分析】 将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的a，进而得到椭圆的长轴长2a的值.
2．（2022高二下·内江期末）在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数 +z2对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z=1+i，
∴ +z2= +（1+i）2= =1﹣i+2i=1+i，
对应的点为（1，1），位于第一象限，
故选A．
【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．
3．（2022高二下·内江期末）已知，，则（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的夹角余弦公式即可求得答案.
4．（2022高二下·内江期末）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故答案为：B．
【分析】 求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式，求解即可得答案.
5．（2022高二下·内江期末）“”是“为双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的定义
【解析】【解答】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故答案为：C
【分析】 根据双曲线的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得答案.
6．（2022高二下·内江期末）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（　　）
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由=30
故答案为：C.
【分析】 用间接法解答：甲、乙两人从4门课程中各选修2门共有种，然后减去都是同一门的种即可得答案.
7．（2022高二下·内江期末）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【解答】连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以.
所以，，
在△中.
故答案为：C
【分析】连接交于，若是的中点，连接，由已知得，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，由面得，再推出面，再利用余弦定理可得答案.
8．（2022高二下·内江期末）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由，
则，
则，
又，
所以，
故答案为：D.
【分析】根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tana，求出a的范围.
9．（2022高二下·内江期末）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．9
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故答案为：A
【分析】先根据随圆的方程求得c，记，再根据条件求出，然后利用余弦定理可求得mn的值， 再利用三角形面积公式求解出 的面积 .
10．（2022高二下·内江期末）随机变量的分布列如表所示，若，则（　　）
-1 0 1
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
故答案为：C．
【分析】 由 利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a，b，由此能求出D(X)，再由，即可求出答案.
11．（2022高二下·内江期末）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，如图所示，
， ，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的几何性质表示点的坐标，代入方程，求出a和c的关系，即可得到双曲线的离心率.
12．（2022高二下·内江期末）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：与的图象上存在关于轴对称的点，
等价为在时，有解即可，
则，
即，在上有解即可，
设，，
作出两个函数的图象如图：
当时，，
当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，
当时，则，得，
综上，
即实数的取值范围是
故答案为：B．
【分析】 把函数图象点的对称问题转化为，在上有解即可，利用导数求出最大值，即可求出 的取值范围 .
13．（2022高二下·内江期末）的展开式中的系数为　 　（用数字作答）.
【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由的展开式通项为，
当时，当时，
所以含的项为.
故的系数为9.
故答案为：9
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.
14．（2022高二下·内江期末）抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】(1)当直线AB轴时，在中，令，有，则
，得.
(2)当直线AB与轴不互相垂直时，设AB的方程为：
由，消去，整理得，显然.
设，则，得
==+=+
===.
综(1)，(2)所述，有．
【分析】 由抛物线 与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设，，由韦达定理可求得答案.
15．（2022高二下·内江期末）已知函数有两个零点，a的取值范围是　 　；
【答案】（0，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】解：因为
所以．
（i）设，则，只有一个零点．
（ii）设，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，则
，故存在两个零点．
（iii）设，由得或．
若，则，故当时，，
因此在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，．因此在上单调递减，
在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）
【分析】由可得，对a进行分类讨论，可求出a的取值范围 .
16．（2022高二下·内江期末）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
【分析】 依题意，双曲线上两点，，，，设直线的方程是，的中点是，，与双曲线方程联立可化为，由化为，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得x0，y0，代入直线可得，代入可求解出实数的取值范围 .
17．（2022高二下·内江期末）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男 　 　 　
女 　 80 　
合计 　 　 　
附：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，
所以列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 150 50 200
女 120 80 200
合计 270 130 400
，
有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
故的分布列是：
0 1 2
故
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1) 根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出K2，即可判断出结论；
(2)首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意 的所有可能取值为0，1，2， 求出所对应的概率，即可得到 X的分布列和数学期望.
18．（2022高二下·内江期末）在中，，，与BC斜率的积是．
（1）求点的轨迹方程；
（2），求PC的中点的轨迹方程．
【答案】（1）解：设点C坐标为，由题知
整理得点的轨迹方程为
（2）解：设点M坐标为，点C坐标为
由中点坐标公式得，即
将代入得点的轨迹方程为：，即
【知识点】平面内中点坐标公式；轨迹方程
【解析】【分析】 (1)设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于 ，列出方程，求出点的轨迹方程；
(2)利用中点坐标公式代入点的轨迹方程，可求出点的轨迹方程．
19．（2022高二下·内江期末）四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.
（1）若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；
（2）是否存在，使平面DEQ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：取中点，连接，，．
因为，所以．
因为侧面底面，且平面底面，
所以底面．可知，，，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
则，
因为为中点，所以．
所以，
所以平面的法向量为．
因为，
设平面的法向量为，
则，即．
令，则，即．
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．
（2）解：设
由（1）可知．
设，，，则，
又因为，
所以，即．
所以在平面中，，
所以平面的法向量为，
又因为平面，所以，
即，解得．
所以当时，即，平面．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，， ，证得 底面 ， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值；
（2）设 ，求出平面的法向量 ，求出当时 ， 即，平面．
20．（2022高二下·内江期末）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线的方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在给定区间的最值。
21．（2022高二下·内江期末）已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：选①：由上顶点，即，
由，且，可得，
所以椭圆的方程为.
选②：由题设，，即，而，
所以，故，
所以椭圆的方程为
（2）解：联立与，
并整理可得：，则，，
所以，
，
由，，
所以
，
故，故且不共线，故为锐角，
所以G在以AB为直径的圆外.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据所选条件及 ， 结合椭圆参数关系求出椭圆的方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求 ，， 利用向量的数量积的坐标运算判断 符号，即可判断点圆的位置关系.
22．（2022高二下·内江期末）已知函数
（1）讨论g(x)的单调性；
（2）若 ，对任意 恒成立，求a的最大值；
【答案】（1）解： ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） 即为 ，即 ，
设 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，
而 ，所以 ，即 ，当 时，即为 ，
设 ，则 ，
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
（e） ，
，即 的最大值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性关系，对a进行分类讨论即可得出 g(x)的单调性； （2） 即 ，设 ，则 ， 易知函数 在 上单调递增， 当 时，即为 ，设 ，则 ， 得 ，即可求出a的最大值 。
1 / 1四川省内江市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
1．（2022高二下·内江期末）椭圆的长轴长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2022高二下·内江期末）在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数 +z2对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高二下·内江期末）已知，，则（　　）
A． B． C．0 D．1
4．（2022高二下·内江期末）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·内江期末）“”是“为双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高二下·内江期末）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（　　）
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
7．（2022高二下·内江期末）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·内江期末）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022高二下·内江期末）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．9
10．（2022高二下·内江期末）随机变量的分布列如表所示，若，则（　　）
-1 0 1
A． B． C．5 D．7
11．（2022高二下·内江期末）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·内江期末）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
13．（2022高二下·内江期末）的展开式中的系数为　 　（用数字作答）.
14．（2022高二下·内江期末）抛物线与过焦点的直线交于两点，为原点，则　 　.
15．（2022高二下·内江期末）已知函数有两个零点，a的取值范围是　 　；
16．（2022高二下·内江期末）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为　 　.
17．（2022高二下·内江期末）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣 没有兴趣 合计
男 　 　 　
女 　 80 　
合计 　 　 　
附：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
18．（2022高二下·内江期末）在中，，，与BC斜率的积是．
（1）求点的轨迹方程；
（2），求PC的中点的轨迹方程．
19．（2022高二下·内江期末）四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面，，，是BC的中点，点在侧棱PC上.
（1）若Q是PC的中点，求二面角的余弦值；
（2）是否存在，使平面DEQ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．（2022高二下·内江期末）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
21．（2022高二下·内江期末）已知椭圆的左，右焦点分别为、，上下顶点分别为M、N，点的坐标为，在下列两个条件中任选一个：①离心率；②四边形的面积为4，解答下列各题.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于A、B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
22．（2022高二下·内江期末）已知函数
（1）讨论g(x)的单调性；
（2）若 ，对任意 恒成立，求a的最大值；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆方程变形为，，∴，长轴长为.
故答案为：D.
【分析】 将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的a，进而得到椭圆的长轴长2a的值.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z=1+i，
∴ +z2= +（1+i）2= =1﹣i+2i=1+i，
对应的点为（1，1），位于第一象限，
故选A．
【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的夹角余弦公式即可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故答案为：B．
【分析】 求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式，求解即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的定义
【解析】【解答】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故答案为：C
【分析】 根据双曲线的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由=30
故答案为：C.
【分析】 用间接法解答：甲、乙两人从4门课程中各选修2门共有种，然后减去都是同一门的种即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【解答】连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以.
所以，，
在△中.
故答案为：C
【分析】连接交于，若是的中点，连接，由已知得，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，由面得，再推出面，再利用余弦定理可得答案.
8．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由，
则，
则，
又，
所以，
故答案为：D.
【分析】根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tana，求出a的范围.
9．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故答案为：A
【分析】先根据随圆的方程求得c，记，再根据条件求出，然后利用余弦定理可求得mn的值， 再利用三角形面积公式求解出 的面积 .
10．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】
由随机变量X的分布列得：
，解得，
，
故答案为：C．
【分析】 由 利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a，b，由此能求出D(X)，再由，即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，如图所示，
， ，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，
故答案为：D．
【分析】根据双曲线的几何性质表示点的坐标，代入方程，求出a和c的关系，即可得到双曲线的离心率.
12．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：与的图象上存在关于轴对称的点，
等价为在时，有解即可，
则，
即，在上有解即可，
设，，
作出两个函数的图象如图：
当时，，
当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，
当时，则，得，
综上，
即实数的取值范围是
故答案为：B．
【分析】 把函数图象点的对称问题转化为，在上有解即可，利用导数求出最大值，即可求出 的取值范围 .
13．【答案】9
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由的展开式通项为，
当时，当时，
所以含的项为.
故的系数为9.
故答案为：9
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求出展开式中的系数.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】(1)当直线AB轴时，在中，令，有，则
，得.
(2)当直线AB与轴不互相垂直时，设AB的方程为：
由，消去，整理得，显然.
设，则，得
==+=+
===.
综(1)，(2)所述，有．
【分析】 由抛物线 与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设，，由韦达定理可求得答案.
15．【答案】（0，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】解：因为
所以．
（i）设，则，只有一个零点．
（ii）设，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，则
，故存在两个零点．
（iii）设，由得或．
若，则，故当时，，
因此在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，．因此在上单调递减，
在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．综上可得的取值范围为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）
【分析】由可得，对a进行分类讨论，可求出a的取值范围 .
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
【分析】 依题意，双曲线上两点，，，，设直线的方程是，的中点是，，与双曲线方程联立可化为，由化为，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得x0，y0，代入直线可得，代入可求解出实数的取值范围 .
17．【答案】（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，
所以列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 150 50 200
女 120 80 200
合计 270 130 400
，
有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，
则的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
故的分布列是：
0 1 2
故
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1) 根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出K2，即可判断出结论；
(2)首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意 的所有可能取值为0，1，2， 求出所对应的概率，即可得到 X的分布列和数学期望.
18．【答案】（1）解：设点C坐标为，由题知
整理得点的轨迹方程为
（2）解：设点M坐标为，点C坐标为
由中点坐标公式得，即
将代入得点的轨迹方程为：，即
【知识点】平面内中点坐标公式；轨迹方程
【解析】【分析】 (1)设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于 ，列出方程，求出点的轨迹方程；
(2)利用中点坐标公式代入点的轨迹方程，可求出点的轨迹方程．
19．【答案】（1）解：取中点，连接，，．
因为，所以．
因为侧面底面，且平面底面，
所以底面．可知，，，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
则，
因为为中点，所以．
所以，
所以平面的法向量为．
因为，
设平面的法向量为，
则，即．
令，则，即．
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．
（2）解：设
由（1）可知．
设，，，则，
又因为，
所以，即．
所以在平面中，，
所以平面的法向量为，
又因为平面，所以，
即，解得．
所以当时，即，平面．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，， ，证得 底面 ， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值；
（2）设 ，求出平面的法向量 ，求出当时 ， 即，平面．
20．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线的方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在给定区间的最值。
21．【答案】（1）解：选①：由上顶点，即，
由，且，可得，
所以椭圆的方程为.
选②：由题设，，即，而，
所以，故，
所以椭圆的方程为
（2）解：联立与，
并整理可得：，则，，
所以，
，
由，，
所以
，
故，故且不共线，故为锐角，
所以G在以AB为直径的圆外.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据所选条件及 ， 结合椭圆参数关系求出椭圆的方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求 ，， 利用向量的数量积的坐标运算判断 符号，即可判断点圆的位置关系.
22．【答案】（1）解： ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） 即为 ，即 ，
设 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，
而 ，所以 ，即 ，当 时，即为 ，
设 ，则 ，
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
（e） ，
，即 的最大值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性关系，对a进行分类讨论即可得出 g(x)的单调性； （2） 即 ，设 ，则 ， 易知函数 在 上单调递增， 当 时，即为 ，设 ，则 ， 得 ，即可求出a的最大值 。
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