江西省名校2022届高三理数5月模拟冲刺试卷
一、单选题
1．（2022·江西模拟）若，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】∵，，
∴，
故.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
2．（2022·江西模拟）已知集合，，则（ ）
A．{1} B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，
所以，
又，
所以；
故答案为：A
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再由交集的定义即可得出答案。
3．（2022·江西模拟）2021年全运会的吉祥物以四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型，分别取名“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”．某同学共有5个吉祥物娃娃，其中2个“朱朱”，“熊熊”“羚羚”“金金”各1个，从中随机抽取两个送给同学，则抽取的吉祥物中含“朱朱”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】两个都是“朱朱”，有1种方法，若有1个“朱朱”，则有种方法，
所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率.
故答案为：C
【分析】根据题意由列举法计算出各个事件的个数，再把结果代入到概率公式由此计算出答案。
4．（2022·江西模拟）我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理后得到如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A．从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态
B．2000-2020年年均增长率都低于1.5%
C．历次人口普查的年均增长率逐年递减
D．第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点
【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，
所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，A正确，不符合题意；
2000-2020年年均增长率都低于1.5%，其中2000最高，增长率为1.07%，B正确，不符合题意；
年均增长率在1964-19820是逐年递增，1982-2020是逐年递减，C错误，符合题意；
第三次（1982年）人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，D正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由折线图中的数据，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2022·江西模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】，，又，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的正弦公式整理化简原式，代入数值计算出结果即可。
6．（2022·射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由已知可得，解得，
当时，则.
故答案为：D.
【分析】由题意求得，再代入化简求值即可。
7．（2022·江西模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．-23 B．23 C．-27 D．27
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】∵，
由展开式的通项为，
∴的展开式中的系数为.
故答案为：B.
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出r的取值，并代入到余弦公式由此计算出结果。
8．（2022·江西模拟）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；圆的标准方程
【解析】【解答】若方程表示圆，则，解得：；
，，甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由圆的一般式，结合圆的几何性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
9．（2022·江西模拟）在长方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．平面平面
C．直线与平面的夹角为 D．平面平面
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接，
由正方体的性质可得，
所以，
所以四边形为平行四边形，，所以与不平行，A不符合题意；
若平面平面，
因为平面平面，平面平面，
则，由题可知与不平行，B不符合题意；
由题可知，平面，平面，
进而可得平面，同理平面，
而，所以平面平面，
故直线与平面的夹角和直线与平面的夹角相等，
由正方体的性质可知，即为直线与平面的夹角，且，C不符合题意；
由题可知平面，平面，所以平面平面，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由正方体的几何性质结合线面平行以及线面垂直的性质定理即可得出线线之间的关系，然后由线面角的定义结合三角形中的几何计算关系，计算出夹角的大小，再由面面垂直的判定定理即可得证出结论，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022·江西模拟）已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的周期性；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数的最小正周期为，
∴，则，
则，
∵图像关于直线对称，
∴，即，
∵，
∴当时，，
则，
由，解得，
当时，，
即函数图象的一个对称中心为.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出的值，由此即可得出函数的解析式，再结合余弦函数图象的性质即可得出答案。
11．（2022·江西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，点到直线的距离为，
连接，由双曲线的定义可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的简单性质以及点到直线的距离公式，结合双曲线的定义由三点共线的性质即可求出b与a的关系，结合双曲线里a、b、c的关系由离心率公式，代入数值计算出结果即可。
12．（2022·江西模拟）已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由题设关于y轴对称，即为偶函数，
又，则，即是周期为4的函数，
若，则，故，
所以且，又过定点，
所以与的部分图象如下图示：
当过时，；
当过时，；
由图知：时，和直线有5个交点.
故答案为：C
【分析】首先整理化简已知条件就得出函数为偶函数，由此作出函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的k的取值范围，从而得出答案。
二、填空题
13．（2022·江西模拟）已知抛物线的准线方程为，若上有一点位于第一象限，且点到抛物线焦点的距离为，则点的坐标为 ．
【答案】（2，2）
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的准线方程为，∴，即，
∴，又点到抛物线焦点的距离为，
∴，即，又点位于第一象限，
∴，，即.
故答案为：（2，2）.
【分析】首先由已知条件结合抛物线的简单性质计算出P的值，再由点到直线的距离公式得出点的坐标即可。
14．（2022·江西模拟）已知向量，均为单位向量，，，，则与的夹角为 ．
【答案】120°
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：，
，
，
所以，
又，
所以与的夹角为120°.
故答案为：120°.
【分析】根据题意由数量积的运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
15．（2022·江西模拟）的内角，，的对边分别为，，，面积为，，且，则 ．
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】由，可得，
又，
所以，又，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
【分析】首先由三角形的面积公式计算出c的取值，再把结果代入到余弦定理由此计算出结果即可。
16．（2022·江西模拟）已知菱形中，沿对角线进行翻折，当三棱锥的体积最大时， ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为在翻折过程中，三棱锥的底面为三角形是不变的，所以当为直二面角时，三棱锥的体积最大.
如图，取的中点，连接，
则，因为面面，且面面，所以面，所以，菱形中，设，所以，
，
令，或（舍去）
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以当时，三棱锥的体积最大，此时.
故答案为：.
【分析】根据题意由折叠的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出点到平面的距离，然后由三棱锥的几何性质计算出边的大小，并代入到体积公式然后由函数的单调性求出函数的最值，从而得出答案。
三、解答题
17．（2022·江西模拟）设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明：因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)首先整理化简数列的递推公式，由此得出数列的通项公式，进而得出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式代入数值计算出结果，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相消法整理化简即可得出答案。
18．（2022·江西模拟）如图，四棱锥中，四边形为菱形，，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
则为的中点，
因为四边形为菱形，则，
因为，为的中点，则，
，平面，平面，则，
，，平面.
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为菱形，，则，且，
故为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线垂直，然后由菱形的几何性质即可得出线线垂直，利用线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由(1)的结论建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值。
19．（2022·江西模拟）自中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议提出“坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位”的发展战略以来，某公司一直致力于创新研发，并计划拿出100万对，两种芯片进行创新研发，根据市场调研及经验得到研发芯片后一年内的收益率与概率如下表所示：
收益率 -10% 10% 20% 30%
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
研发芯片的收益（万元）与投资额（万元）满足函数关系．
（1）若对研发芯片投资60万，芯片投资40万，求总收益不低于18万元的概率；
（2）若研发芯片收益不低于投资额的10%，则称芯片“研发成功”，否则为“研发失败”，若要使总收益的数学期望值不低于10.5万元，能否保证芯片“研发成功”，请说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：设“总收益不低于18万元”为事件M，
对芯片投资40万的收益为（万元），
要使总收益不低于18万元，则投资芯片的收益不低于12万元，即收益率不低于，
由表可知，
即总收益不低于18万元的概率为0.3；
（2）解：若对芯片投资万元，则，
要保证芯片“研发成功”，需满足，
解得或（舍去），
故，
对研发芯片投资万元，则投资芯片获得收益的分布列为
收益
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
对研发芯片投资收益的数学期望为
，
则投资总收益的数学期望值为，
由，可得（负值舍去），
满足，
所以能保证芯片“研发成功”.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的解析式，再由题意代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出收益的分布列，然后由把概率的取值代入到期望公式进而整理化简得到期望的函数解析式，由基本不等式即可得出x的取值范围，由此得出结论。
20．（2022·江西模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为A，若，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，求面积的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知为等腰直角三角形，，
则，
故，
所以，
又因椭圆的长轴长为，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设，
联立，消得，
则，
所以
，
令，则，
故，
因为，
所以，
所以.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件，结合等腰直角三角形的几何性质即可得出点A的坐标，再由正切函数的定义代入数值由此计算出b的取值，由此得出a的取值从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立椭圆的方程消元后的到关于x的方程，结合韦达定理即可得出两根之和两根之积的关于k的代数式，然后代入到三角形的面积公式，整理化简由二次函数的图象和性质即可得出面积的取值范围。
21．（2022·江西模拟）已知函数．
（1）从下列条件中选择一个作为已知条件，求的单调区间；
①在处的切线与直线垂直；
②的图象与直线交点的纵坐标为-1．
（2）若存在极值，证明：当时，．
【答案】（1）解：∵，定义域为，
∴，
选①，由在处的切线与直线垂直，
∴，故，
所以，
由，可得，
所以当时，，当时，，
故函数的单调减区间为，单调增区间为；
选②，，令，可得，即，
所以，
由，可得，
所以当时，，当时，，
故函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）解：由上可知，
令，则，
由，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，，函数单调递增，没有极值，
当时，，且，
因为，故有唯一的零点，且，
由可得，即，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，
，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 选①， 由直线垂直的性质定理即可求出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程，由此计算出a的取值，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。 选②， 数学对函数求导再把点的坐标代入计算出a的取值，由此得出x的取值范围，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意对函数求导，并构造函数g(x)对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合极值的定义即可得出极小值，由此得出结论。
22．（2022·江西模拟）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）过的直线与曲线交于，两点，求中点的极坐标方程．
【答案】（1）解：曲线的普通方程为：，即，所以曲线的极坐标方程为：.
（2）解：曲线的方程为，所以圆心为，设，过的直线与曲线交于，两点，所以，则，所以，所以，所以中点的极坐标方程为：，化简为：.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)由圆的坐标方程转化为一般方程，再由极坐标方程与普通方程的互化公式，整理化简即可得出答案。
(2)由已知条件结合圆的标准方程，求出圆心坐标再由数量积的坐标公式整理化简即可得出圆心的轨迹方程，再由中点的坐标公式以及极坐标的转化形式，从而得出点M的极坐标方程。
23．（2022·江西模拟）已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，；
当时，，解得：；
当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：；
的解集为：.
（2）解：当时，，，
，解得：，
，，，
即实数的取值范围为.
【知识点】绝对值不等式；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合不等式的解法即可求出x的取值范围，从而得出不等式的解集。
(2)由绝对值不等式的解法，整理化简即可得出m的不等式，由此求解出m的取值范围即可。
1 / 1江西省名校2022届高三理数5月模拟冲刺试卷
一、单选题
1．（2022·江西模拟）若，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2022·江西模拟）已知集合，，则（ ）
A．{1} B． C． D．
3．（2022·江西模拟）2021年全运会的吉祥物以四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型，分别取名“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”．某同学共有5个吉祥物娃娃，其中2个“朱朱”，“熊熊”“羚羚”“金金”各1个，从中随机抽取两个送给同学，则抽取的吉祥物中含“朱朱”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西模拟）我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理后得到如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A．从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态
B．2000-2020年年均增长率都低于1.5%
C．历次人口普查的年均增长率逐年递减
D．第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点
5．（2022·江西模拟）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08
7．（2022·江西模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．-23 B．23 C．-27 D．27
8．（2022·江西模拟）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·江西模拟）在长方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论成立的是（ ）
A． B．平面平面
C．直线与平面的夹角为 D．平面平面
10．（2022·江西模拟）已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2022·江西模拟）已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·江西模拟）已知抛物线的准线方程为，若上有一点位于第一象限，且点到抛物线焦点的距离为，则点的坐标为 ．
14．（2022·江西模拟）已知向量，均为单位向量，，，，则与的夹角为 ．
15．（2022·江西模拟）的内角，，的对边分别为，，，面积为，，且，则 ．
16．（2022·江西模拟）已知菱形中，沿对角线进行翻折，当三棱锥的体积最大时， ．
三、解答题
17．（2022·江西模拟）设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（2022·江西模拟）如图，四棱锥中，四边形为菱形，，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
19．（2022·江西模拟）自中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议提出“坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位”的发展战略以来，某公司一直致力于创新研发，并计划拿出100万对，两种芯片进行创新研发，根据市场调研及经验得到研发芯片后一年内的收益率与概率如下表所示：
收益率 -10% 10% 20% 30%
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
研发芯片的收益（万元）与投资额（万元）满足函数关系．
（1）若对研发芯片投资60万，芯片投资40万，求总收益不低于18万元的概率；
（2）若研发芯片收益不低于投资额的10%，则称芯片“研发成功”，否则为“研发失败”，若要使总收益的数学期望值不低于10.5万元，能否保证芯片“研发成功”，请说明理由．（参考数据：）
20．（2022·江西模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为A，若，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，求面积的取值范围．
21．（2022·江西模拟）已知函数．
（1）从下列条件中选择一个作为已知条件，求的单调区间；
①在处的切线与直线垂直；
②的图象与直线交点的纵坐标为-1．
（2）若存在极值，证明：当时，．
22．（2022·江西模拟）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）过的直线与曲线交于，两点，求中点的极坐标方程．
23．（2022·江西模拟）已知函数．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】∵，，
∴，
故.
故答案为：B.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，即，解得，
所以，
又，
所以；
故答案为：A
【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再由交集的定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】两个都是“朱朱”，有1种方法，若有1个“朱朱”，则有种方法，
所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率.
故答案为：C
【分析】根据题意由列举法计算出各个事件的个数，再把结果代入到概率公式由此计算出答案。
4．【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，
所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，A正确，不符合题意；
2000-2020年年均增长率都低于1.5%，其中2000最高，增长率为1.07%，B正确，不符合题意；
年均增长率在1964-19820是逐年递增，1982-2020是逐年递减，C错误，符合题意；
第三次（1982年）人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，D正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由折线图中的数据，结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】，，又，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的正弦公式整理化简原式，代入数值计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由已知可得，解得，
当时，则.
故答案为：D.
【分析】由题意求得，再代入化简求值即可。
7．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】∵，
由展开式的通项为，
∴的展开式中的系数为.
故答案为：B.
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出r的取值，并代入到余弦公式由此计算出结果。
8．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；圆的标准方程
【解析】【解答】若方程表示圆，则，解得：；
，，甲是乙的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由圆的一般式，结合圆的几何性质即可得出关于a的不等式，求解出a的取值范围，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接，
由正方体的性质可得，
所以，
所以四边形为平行四边形，，所以与不平行，A不符合题意；
若平面平面，
因为平面平面，平面平面，
则，由题可知与不平行，B不符合题意；
由题可知，平面，平面，
进而可得平面，同理平面，
而，所以平面平面，
故直线与平面的夹角和直线与平面的夹角相等，
由正方体的性质可知，即为直线与平面的夹角，且，C不符合题意；
由题可知平面，平面，所以平面平面，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由正方体的几何性质结合线面平行以及线面垂直的性质定理即可得出线线之间的关系，然后由线面角的定义结合三角形中的几何计算关系，计算出夹角的大小，再由面面垂直的判定定理即可得证出结论，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】函数的周期性；余弦函数的图象；余弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数的最小正周期为，
∴，则，
则，
∵图像关于直线对称，
∴，即，
∵，
∴当时，，
则，
由，解得，
当时，，
即函数图象的一个对称中心为.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出的值，由此即可得出函数的解析式，再结合余弦函数图象的性质即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，点到直线的距离为，
连接，由双曲线的定义可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的简单性质以及点到直线的距离公式，结合双曲线的定义由三点共线的性质即可求出b与a的关系，结合双曲线里a、b、c的关系由离心率公式，代入数值计算出结果即可。
12．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由题设关于y轴对称，即为偶函数，
又，则，即是周期为4的函数，
若，则，故，
所以且，又过定点，
所以与的部分图象如下图示：
当过时，；
当过时，；
由图知：时，和直线有5个交点.
故答案为：C
【分析】首先整理化简已知条件就得出函数为偶函数，由此作出函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的k的取值范围，从而得出答案。
13．【答案】（2，2）
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的准线方程为，∴，即，
∴，又点到抛物线焦点的距离为，
∴，即，又点位于第一象限，
∴，，即.
故答案为：（2，2）.
【分析】首先由已知条件结合抛物线的简单性质计算出P的值，再由点到直线的距离公式得出点的坐标即可。
14．【答案】120°
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：，
，
，
所以，
又，
所以与的夹角为120°.
故答案为：120°.
【分析】根据题意由数量积的运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】由，可得，
又，
所以，又，
∴，
∴，解得.
故答案为：.
【分析】首先由三角形的面积公式计算出c的取值，再把结果代入到余弦定理由此计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为在翻折过程中，三棱锥的底面为三角形是不变的，所以当为直二面角时，三棱锥的体积最大.
如图，取的中点，连接，
则，因为面面，且面面，所以面，所以，菱形中，设，所以，
，
令，或（舍去）
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以当时，三棱锥的体积最大，此时.
故答案为：.
【分析】根据题意由折叠的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出点到平面的距离，然后由三棱锥的几何性质计算出边的大小，并代入到体积公式然后由函数的单调性求出函数的最值，从而得出答案。
17．【答案】（1）证明：因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)首先整理化简数列的递推公式，由此得出数列的通项公式，进而得出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式代入数值计算出结果，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相消法整理化简即可得出答案。
18．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
则为的中点，
因为四边形为菱形，则，
因为，为的中点，则，
，平面，平面，则，
，，平面.
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为菱形，，则，且，
故为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线垂直，然后由菱形的几何性质即可得出线线垂直，利用线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由(1)的结论建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值。
19．【答案】（1）解：设“总收益不低于18万元”为事件M，
对芯片投资40万的收益为（万元），
要使总收益不低于18万元，则投资芯片的收益不低于12万元，即收益率不低于，
由表可知，
即总收益不低于18万元的概率为0.3；
（2）解：若对芯片投资万元，则，
要保证芯片“研发成功”，需满足，
解得或（舍去），
故，
对研发芯片投资万元，则投资芯片获得收益的分布列为
收益
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
对研发芯片投资收益的数学期望为
，
则投资总收益的数学期望值为，
由，可得（负值舍去），
满足，
所以能保证芯片“研发成功”.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出函数的解析式，再由题意代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出收益的分布列，然后由把概率的取值代入到期望公式进而整理化简得到期望的函数解析式，由基本不等式即可得出x的取值范围，由此得出结论。
20．【答案】（1）解：由题意可知为等腰直角三角形，，
则，
故，
所以，
又因椭圆的长轴长为，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设，
联立，消得，
则，
所以
，
令，则，
故，
因为，
所以，
所以.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先由已知条件，结合等腰直角三角形的几何性质即可得出点A的坐标，再由正切函数的定义代入数值由此计算出b的取值，由此得出a的取值从而得出椭圆的方程。
(2)利用设而不求法设出点的坐标，以及直线的方程再联立椭圆的方程消元后的到关于x的方程，结合韦达定理即可得出两根之和两根之积的关于k的代数式，然后代入到三角形的面积公式，整理化简由二次函数的图象和性质即可得出面积的取值范围。
21．【答案】（1）解：∵，定义域为，
∴，
选①，由在处的切线与直线垂直，
∴，故，
所以，
由，可得，
所以当时，，当时，，
故函数的单调减区间为，单调增区间为；
选②，，令，可得，即，
所以，
由，可得，
所以当时，，当时，，
故函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）解：由上可知，
令，则，
由，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，，函数单调递增，没有极值，
当时，，且，
因为，故有唯一的零点，且，
由可得，即，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，
，
所以，即.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 选①， 由直线垂直的性质定理即可求出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程，由此计算出a的取值，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。 选②， 数学对函数求导再把点的坐标代入计算出a的取值，由此得出x的取值范围，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意对函数求导，并构造函数g(x)对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，结合极值的定义即可得出极小值，由此得出结论。
22．【答案】（1）解：曲线的普通方程为：，即，所以曲线的极坐标方程为：.
（2）解：曲线的方程为，所以圆心为，设，过的直线与曲线交于，两点，所以，则，所以，所以，所以中点的极坐标方程为：，化简为：.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)由圆的坐标方程转化为一般方程，再由极坐标方程与普通方程的互化公式，整理化简即可得出答案。
(2)由已知条件结合圆的标准方程，求出圆心坐标再由数量积的坐标公式整理化简即可得出圆心的轨迹方程，再由中点的坐标公式以及极坐标的转化形式，从而得出点M的极坐标方程。
23．【答案】（1）解：当时，；
当时，，解得：；
当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：；
的解集为：.
（2）解：当时，，，
，解得：，
，，，
即实数的取值范围为.
【知识点】绝对值不等式；绝对值三角不等式
【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合不等式的解法即可求出x的取值范围，从而得出不等式的解集。
(2)由绝对值不等式的解法，整理化简即可得出m的不等式，由此求解出m的取值范围即可。
1 / 1
