【解析版】广东省揭阳市2012-2013学年高三（上）期末数学试卷（文科）

2012-2013学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）=（　　）
　
A．
﹣2﹣i
B．
﹣2+i
C．
2﹣i
D．
2+i
考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
解答：
解：===2﹣i，
故选C．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
　
2．（5分）集合A=[0，4]，B={x|x2+4x≤0}，则A∩B=（　　）
　
A．
R
B．
{x|x≠0}
C．
{0}
D．
?
考点：
交集及其运算．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
解元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．
解答：
解：∵集合A=[0，4]，B={x|x2+4x≤0}={x|﹣4≤x≤0}=[﹣4，0]，
∴A∩B={0}，
故选C．
点评：
本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，属于基础题．
　
3．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为（　　）
　
A．
﹣2
B．
2
C．
﹣4
D．
4
考点：
双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
将双曲线化成标准方程，求得a2=b2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p的值为4．
解答：
解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：=1
∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）
∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，
∴=2，可得p=4
故选D．
点评：
本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．
　
4．（5分）不等式x﹣1＞0成立的充分不必要条件是（　　）
　
A．
﹣1＜x＜0或x＞1
B．
0＜x＜1
C．
x＞1
D．
x＞2
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
由x﹣1＞0，得x＞1，综合选项可得x＞2?x＞1，而x＞1不能推出x＞2．
解答：
解：由x﹣1＞0，得x＞1，
显然x＞2?x＞1，而x＞1不能推出x＞2．
故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要条件，
故选D
点评：
本题考查充要条件的判断，属基础题．
　
5．（5分）对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中是真命题的为（　　）
　
A．
若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．
若m∥α，n∥α，则m∥n
　
C．
若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．
若m?β，n?β，m∥α，n∥α，则α∥β
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
逐个验证：选项A，可得n∥α，或n?α，故错误；选项B，可得m∥n，或mn相交，异面均有可能，故错误；选项C，由同垂直于一个平面的直线平行，故正确；选项D，需满足mn相交，才可推出α∥β，故错误．
解答：
解：选项A，若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n?α，故A错误；
选项B，若m∥α，n∥α，则可能m∥n，或mn相交，异面均有可能，故B错误；
选项C，由同垂直于一个平面的直线平行，可知若m⊥α，n⊥α，则必有m∥n，故C正确；
选项D，若m?β，n?β，m∥α，n∥α，需满足mn相交，才可推出α∥β，故D错误．
故选C
点评：
本题考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断，属基础题．
　
6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（　　）
　
A．
矩形
B．
菱形
C．
正方形
D．
梯形
考点：
向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形．再由，得
对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形．
解答：
解：∵，
∴即，可得线段AB、CD平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵，
∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直
因此四边形ABCD是菱形
故选：B
点评：
本题给出向量条件，判断四边形ABCD的形状，着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其性质，考查了菱形的判定方法，属于中档题．
　
7．（5分）等比数列{an}中a1=512，公比，记（即表示数列{an}的前n项之积），，，，中值为正数的个数是（　　）
　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
数列的应用；等比数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
等比数列{an}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，利用新定义，即可得到结论．
解答：
解：等比数列{an}中a1＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴，，，．
故选B．
点评：
本题考查等比数列，考查新定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
8．（5分）（2013?河东区二模）给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（　　）
　
A．
i＞10
B．
i＜10
C．
i＞20
D．
i＜20
考点：
循环结构．
专题：
压轴题；图表型．
分析：
结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．
解答：
解：根据框图，i﹣1表示加的项数
当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，
i﹣1=10执行“是”
所以判断框中的条件是“i＞10”
故选A
点评：
本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．
　
9．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为（4，5），若解释变量的值为10，则预报变量的值约为（　　）
　
A．
16.3
B．
17.3
C．
12.38
D．
2.03
考点：
回归分析的初步应用；线性回归方程．
专题：
概率与统计．
分析：
先确定回归方程，再将x=10代入，即可得出结论．
解答：
解：设回归方程为y=1.23x+b，
∵样本中心点为（4，5），
∴5=4.92+b
∴b=0.08
∴y=1.23x+0.08
x=10时，y=12.38
故选C．
点评：
本题考查回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
10．（5分）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=﹣2f（﹣2），则（　　）
　
A．
a＞c＞b
B．
c＞b＞a
C．
c＞a＞b
D．
a＞b＞c
考点：
利用导数研究函数的单调性．
专题：
导数的综合应用．
分析：
先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g'（x）＜0恒成立，从而故g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较a，b，c的大小．
解答：
解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，
当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，
即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，
则g（x）在（0，+∞）上递增，
又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2），
故a＞c＞b．
故选A．
点评：
本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
　
二、填空题：本题共4小题，满分共20分，把答案填在答题卷相应的位置上．
11．（5分）
高一
高二
高三
女生
600
y
650
男生
x
z
750
某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为　1200　．
考点：
分层抽样方法．
专题：
概率与统计．
分析：
依表可知x+y+z=4000﹣600﹣650﹣750=2000，再由=0.2，求得x的值，即可求得高二的学生人数y+z的值．
解答：
解：依表知x+y+z=4000﹣600﹣650﹣750=2000，再由=0.2，于是x=800，
故高二的学生人数为y+z=2000﹣800=1200，
故答案为 1200．
点评：
本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用各个个体被抽到的概率相等，属于基础题．
　
12．（5分）（2011?朝阳区三模）如果实数x，y满足条件那么2x﹣y的最大值为　1　．
考点：
简单线性规划．
专题：
图表型．
分析：
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解答：
解：先根据约束条件画出可行域，
当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，
t最大是1，
故答案为：1．
点评：
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
　
13．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是　　．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
解答：
解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱
底面的高为2，则底面面积S==4
棱柱的高H=2
则正三棱柱的体积V=SH=8
故答案为：8
点评：
本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何的形状，并分析出棱长，高等关键几何量是解答本题的关键，本题易将2当成底面的棱长，而错解为12．
　
14．（5分）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　．
考点：
余弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
由条件利用正弦定理可得 2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，利用两角和的正弦公式化简求得cosA的值．
解答：
解：在△ABC中，∵（2b﹣c）cosA=acosC，由正弦定理可得 2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，
化简可得 2sinBcosA=sin（A+C），化简求得cosA=，
故答案为．
点评：
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
　
三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）=f（x）?f'（x）的最小值及相应的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求的值．
考点：
利用导数研究函数的极值；两角和与差的正切函数．
专题：
综合题；导数的综合应用．
分析：
（1）求出导数f′（x），表示出g（x）并化简，由余弦函数的性质可求其最小值及相应x的值的集合；
（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；
解答：
解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx﹣sinx，
∴g（x）=f（x）?f'（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，
∴当2x=﹣π+2kπ（k∈Z），即时，g（x）取得最小值﹣1，
相应的x值的集合为．
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx﹣2sinx，
∴cosx=3sinx，故，
∴．
点评：
本题考查导数的运算法则及两角和差的正切函数，考查学生的运算求解能力．
　
16．（12分）设事件A表示“关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根”．
（1）若a、b∈{1，2，3}，求事件A发生的概率P（A）；
（2）若a、b∈[1，3]，求事件A发生的概率P（A）．
考点：
古典概型及其概率计算公式；几何概型．
专题：
概率与统计．
分析：
（1）先求出关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根的条件，求出数对（a，b）的所有可能事件，再求出求出事件A包含的事件，根据公式计算即可；
（2）先判断为几何概型，利用面积比计算即可．
解答：
解：（1）由关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，得△≥0．
∴4a2﹣4b2≥0，故a2≥b2，当a＞0，b＞0时，得a≥b．
若a、b∈{1，2，3}，则总的基本事件数（即有序实数对（a，b）的个数）
为3×3=9．事件A包含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），共有6个．
∴事件A发生的概率．
（2）若a、b∈[1，3]，则总的基本事件所构成的区域Ω={（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3}，是平面直角坐标系aOb中的一个正方形
如图：
其面积．
事件A构成的区域是A={（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3，a≥b}，
是平面直角坐标系aOb中的一个等腰直角三角形，如图
的阴影部分，
其面积．
故事件A发生的概率．
点评：
本题考查古典概型的概率计算及几何概型的概率计算．
　
17．（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
考点：
圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题．
专题：
综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（1）设动点坐标，利用，可得轨迹方程，从而可得动点P的轨迹C；
（2）利用面积求得点Q的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得点Q的坐标．
解答：
解：（1）设动点P（x，y），又点M（4，0）、N（1，0），
∴，，． …（3分）
由，得，…（4分）
∴（x2﹣8x+16）=4（x2﹣2x+1）+4y2，故3x2+4y2=12，即．
∴轨迹C是焦点为（±1，0）、长轴长2a=4的椭圆； …（7分）
（2）设曲线C上存在点Q（x0，y0）满足题意，则． …（9分）
∴，
又|MN|=3，故|y0|=1． …（11分）
∵，∴． …（12分）
∴． …（13分）
∴曲线C上存在点使得△MNQ的面积．…（14分）
点评：
本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
18．（14分）已知梯形ABCD中AD∥BC，，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．
考点：
直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直?线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；
（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．
解答：
解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH?平面EBCF，
∴DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH．
∵，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．
又BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三
棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x．
又．
∴三棱锥D﹣BCF的体积f（x）===．
点评：
本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积．
　
19．（14分）（2013?浙江模拟）数列{an}的前n项和，若，．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点：
数列递推式；数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（1）利用数列{an}的前n项和，，，建立方程，求出a，b的值，即可求数列{an}的前n项和Sn；
（2）利用，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（3）求得数列{bn}的通项，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．
解答：
解：（1）由，得，由，得．
∴，解得，故； …（4分）
（2）当n≥2时，．…（7分）
由于也适合． …（8分）
∴； …（9分）
（3）． …（10分）
∴数列{bn}的前n项和=． …（14分）
点评：
本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
20．（14分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．
考点：
二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题：
导数的综合应用．
分析：
（1）由题意可设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），又由最小值是，联合解之即可；
（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（﹣3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．
解答：
解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），
则．
又f（x）的最小值是，故．解得a=1．
∴f（x）=x2﹣x； …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x=x3﹣x2+ax2+x2﹣a2x=x3+ax2﹣a2x．
∴g'（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）．　　　　　　…（6分）
由g'（x）=0，得，或x=﹣a，又a≠0，故．…（7分）
当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得． …（8分）
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≥6（满足a＞0）； …（10分）
当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≤﹣9（满足a＜0）． …（13分）
综上所述得a≤﹣9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪[6，+∞）． …（14分）
点评：
本题考查二次函数的性质，涉及函数由函数的导数来研究单调性问题，属中档题．