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内蒙古科尔沁左翼中旗2022届高三数学考前押题试卷
一、单选题
1．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2
2．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知i为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． B．-1 C． D．1
3．（2021高三上·河南月考）在等比数列 中， ，则数列 的公比 （ ）
A．2 B．1 C．-1或1 D．-1或2
4．（2022·齐齐哈尔模拟）某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：
月份（x） 5 6 7 8
日平均用电量（y） 1.9 3.4 t 7.1
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t的值为（ ）
A．5.8 B．5.6 C．5.4 D．5.2
5．（2022·齐齐哈尔模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·齐齐哈尔模拟）在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）剪纸艺术是中国传统的民间工艺，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．其特点主要表现在空间观念的二维性．在小学实验课本中，有这样一幅图例(如图所示)，矩形ABCD满足，E为BC的中点，其中曲线为过A、D、E三点的圆弧，若随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知，下列三个命题：①，，②，，③，．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
10．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）椭圆C：左，右焦点分别为、，P为椭圆C上一点，且垂直x轴，若，，成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·齐齐哈尔模拟）如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2018高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则方程 实根的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．（2022·河南模拟）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
14．（2022·河南模拟）函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .
15．（2022·河南模拟）在中，，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于 .
16．（2022·河南模拟）若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于，两点，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2019·河北模拟）已知数列 满足 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
18．（2022·焦作模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若，求．
19．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2.
（1）若点F在棱上，且平面，求；
（2）若，求点A到平面的距离，
20．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线，与C的另一个交点分别为D，E，且，求T点的坐标.
21．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求a的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
22．（2022·焦作模拟）在极坐标系中，已知直线和曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求与的直角坐标方程；
（2）若与交于A，B两点，且点，求的值．
23．（2022·焦作模拟）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：，
因为，
所以a=1或2，
故答案为：C．
【分析】先化简集合B，再根据并集结果求解.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则z的虚部为．
故答案为：A.
【分析】由复数的乘方运算以及除法运算计算可得答案.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意知 ，所以 ，所以 或 .
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合等比数列的通项公式可得，求解可得答案。
4．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表格中的数据可得，，
将点代入回归直线方程得，解得。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合平均数公式和线性回归直线恒过中心点的坐标，进而得出实数t的值。
5．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，，
所以，
。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式，进而得出的值，再利用二倍角的余弦公式得出的值。
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示：连接，因为，
所以 与 的夹角就是异面直线与AC所成角，
不妨设，由余弦定理得：
，
，，
在中， 。
故答案为：C．
【分析】连接结合，所以 与 的夹角就是异面直线与AC所成角，不妨设，由余弦定理得出AB的长，再利用勾股定理得出，的长，在中结合余弦定理得出异面直线与AC所成角的余弦值。
7．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB=1，，
则，，，，
设过A、D、E三点的圆F的方程为，
则，即圆F的方程为，
，
，是等边三角形，，
∴阴影部分的面积为．
又矩形ABCD的面积，
故该点落在阴影部分的概率．
故答案为：A．
【分析】根据对称性，可以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立平面直角坐标系，设AB=1，，求出各点坐标，求出过A、D、E三点的圆的方程，求出阴影部分面积为，矩形ABCD面积为S，则根据几何概型概率计算方法可知所求概率为．
8．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】∵圆锥的母线与底面所成的角为60°，∴设底面圆的半径为a，母线长为，
则，∴，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积，解得，
设该圆锥内切球的半径r，易知圆锥轴截面为等边三角形，故．
故答案为：D．
【分析】作出圆锥轴截面图象，根据圆锥的母线与底面所成的角为60°，求出底面半径和圆锥母线的关系，根据圆锥体积求出底面半径和母线长度，判断轴截面三角形形状，从而可求其内切圆半径，从而得到圆锥内切球半径．
9．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调区间
【解析】【解答】对于①，因为，所以，对恒成立，故①正确；对于②，因为，所以，所以，所以对恒成立，故②正确；
对于③，因为在上为减函数，所．故③错误．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小可判断出结果.
10．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题知，，，，
又垂直x轴，所以，解得，
又由椭圆定义可得，即，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：D
【分析】根据等差数列定义和勾股定理可得c，再由椭圆定义可得a，然后由几何量关系可得.
11．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由曲线过知，，
即，则，解得，
又因为，则，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，
代入曲线方程得到，
则，即点N的纵坐标为。
故答案为：D
【分析】由曲线过结合代入法得出，再利用得出的值，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，再利用代入法结合曲线方程得出y的值，从而得出点N的纵坐标。
12．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， ， ，
∴ 有一实根 ；
当 时， ， ，
∴ ，
∴ 或 |，
分别画出函数 以及 ， 的图象如图，
由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，
故答案为：C．
【分析】去掉绝对值，写成分段函数的形式，作出分段函数的图象，通过函数图象交点个数与方程实数根的关系即可确定该方程实数根的个数.
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
【分析】 将原命题转化为命题“，使得”是真命题，分a = 0，a≠0两种情况讨论，取并集，即可求解出实数的取值范围 .
14．【答案】12
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意可得：围成的封闭图形的面积为：
，
故答案为：12
【分析】 明确f (x)与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
∵，
∴，
∴，
，
当且仅当，即，时，等号成立.
此时，
，
所以.
故答案为：
【分析】 直接利用余弦定理和三角形面积公式，基本不等式的应用求出边长 .
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：
双曲线的，
设为双曲线的右焦点，连接，则是平行四边形，
则，由双曲线定义得，即，且，
所以，
令，
则，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是，
故答案为：
【分析】求得双曲线的a， b， c，设|AF|=m，|FB|=n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'， AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，运用平行四边形的性质和函数的导数，判断单调性，可得极值、最值，进而得到 的取值范围.
17．【答案】解：（Ⅰ）∵
∴ ，
两式相减得 ，
∴ ．
又当 时， 满足上式，
∴ ．
∴数列 的通项公式 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
∴
∴
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知递推关系式，得到 ，即可求出 数列 的通项公式；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，利用裂项相消法进行数列求和，即可得结果.
18．【答案】（1）解：由条件及正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以，所以．
（2）解：因为，，
由正弦定理得：，即，
整理可得．
由已知可得，所以，即，
所以．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角A的取值范围，再利用辅助角公式和三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合角C的值和两角和的正弦公式，进而结合角A的取值范围得出角A的值，再利用两角差的正弦公式，进而得出角A的正弦值。
19．【答案】（1）解：如图，在上取点，使得∥，连接，，
则∥∥.
因为平面，平面平面，所以∥，
所以四边形是平行四边形，所以.
又因为，所以.
（2）解：作，垂足为，连接，，.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
由条件可知是等腰直角三角形，，.
，所以三棱锥的体积为.
在底面内计算可得，所以
同理可得.
所以是等腰三角形，面积为.
设点到平面的距离为，则，即，
解得.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1） 在上取点，使得∥，连接，， 根据面面平行的性质可得 ∥， 进而求出；
（2）作，根据面面垂直的性质可得平面 平面，再根据三棱锥的体积为，即可求得结果.
20．【答案】（1）解：依题意，设.
由抛物线的定义得，解得，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得.
故抛物线的方程为.
（2）解：设，，，，，由题易知，.
联立，得，则，.
直线的方程为，
联立，得，
所以，所以，同理可得.
则
，
解得，当时，直线与重合，不符合题意，
故，即T点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线定义结合已知表示出点坐标，代入抛物线即可求出；
（2）联立直线与抛物线，表示出直线的方程，进而可得出坐标，根据直线的斜率为1即可求出.
21．【答案】（1）解：的定义域为，.
令，得，又，
所以曲线的斜率为1的切线为，
由题意知这条切线即，故.
（2）解：存在，使得成立，即存在，使得成立.
设，则.
设，则.
当时，，当时，，
所以.
若，则，即，所以单调递增，
故当时，，不符合题意.
若，，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减，
所以当时，，符合题意.
综上可知，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数导数，令求得切点即可得出方程，比较可得出答案；
（2）构造函数，利用导数讨论的单调性，根据函数值变化可得.
22．【答案】（1）解：对于，由可得，
整理得，
所以的直角坐标方程为．
对于，由，得，
所以，
整理得的直角坐标方程为．
（2）解：由题意得经过定点，且倾斜角为．
设l的参数方程为，（为参数），代入椭圆方程得．
设点A，B对应的参数分别为，则，，
于是得．
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标和直角坐标互化公式，进而得出直线 与曲线的直角坐标方程。
（2）利用已知条件结合直线与曲线相交，联立二者方程求出交点A，B的坐标，再利用两点距离公式得出 的值。
23．【答案】（1）解：由题意知：，
当时，恒成立；
当时，由得：，所以；
当时，，无解．
综上所述，不等式的解集为．
（2）解：由得：．
设，则
，
当时，单调递增，；
当时，；
当时，单调递减，．
所以，因此，即实数m的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法，进而得出绝对值不等式 的解集。
（2） 由得出，设，再利用不等式恒成立问题求解方法，则，再利用分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用比较法得出分段函数的最大值，进而得出实数m的取值范围。
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内蒙古科尔沁左翼中旗2022届高三数学考前押题试卷
一、单选题
1．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知集合，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：，
因为，
所以a=1或2，
故答案为：C．
【分析】先化简集合B，再根据并集结果求解.
2．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知i为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． B．-1 C． D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则z的虚部为．
故答案为：A.
【分析】由复数的乘方运算以及除法运算计算可得答案.
3．（2021高三上·河南月考）在等比数列 中， ，则数列 的公比 （ ）
A．2 B．1 C．-1或1 D．-1或2
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意知 ，所以 ，所以 或 .
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合等比数列的通项公式可得，求解可得答案。
4．（2022·齐齐哈尔模拟）某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：
月份（x） 5 6 7 8
日平均用电量（y） 1.9 3.4 t 7.1
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t的值为（ ）
A．5.8 B．5.6 C．5.4 D．5.2
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表格中的数据可得，，
将点代入回归直线方程得，解得。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合平均数公式和线性回归直线恒过中心点的坐标，进而得出实数t的值。
5．（2022·齐齐哈尔模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，，
所以，
。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式，进而得出的值，再利用二倍角的余弦公式得出的值。
6．（2022·齐齐哈尔模拟）在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示：连接，因为，
所以 与 的夹角就是异面直线与AC所成角，
不妨设，由余弦定理得：
，
，，
在中， 。
故答案为：C．
【分析】连接结合，所以 与 的夹角就是异面直线与AC所成角，不妨设，由余弦定理得出AB的长，再利用勾股定理得出，的长，在中结合余弦定理得出异面直线与AC所成角的余弦值。
7．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）剪纸艺术是中国传统的民间工艺，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．其特点主要表现在空间观念的二维性．在小学实验课本中，有这样一幅图例(如图所示)，矩形ABCD满足，E为BC的中点，其中曲线为过A、D、E三点的圆弧，若随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB=1，，
则，，，，
设过A、D、E三点的圆F的方程为，
则，即圆F的方程为，
，
，是等边三角形，，
∴阴影部分的面积为．
又矩形ABCD的面积，
故该点落在阴影部分的概率．
故答案为：A．
【分析】根据对称性，可以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立平面直角坐标系，设AB=1，，求出各点坐标，求出过A、D、E三点的圆的方程，求出阴影部分面积为，矩形ABCD面积为S，则根据几何概型概率计算方法可知所求概率为．
8．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】∵圆锥的母线与底面所成的角为60°，∴设底面圆的半径为a，母线长为，
则，∴，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积，解得，
设该圆锥内切球的半径r，易知圆锥轴截面为等边三角形，故．
故答案为：D．
【分析】作出圆锥轴截面图象，根据圆锥的母线与底面所成的角为60°，求出底面半径和圆锥母线的关系，根据圆锥体积求出底面半径和母线长度，判断轴截面三角形形状，从而可求其内切圆半径，从而得到圆锥内切球半径．
9．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知，下列三个命题：①，，②，，③，．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调区间
【解析】【解答】对于①，因为，所以，对恒成立，故①正确；对于②，因为，所以，所以，所以对恒成立，故②正确；
对于③，因为在上为减函数，所．故③错误．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小可判断出结果.
10．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）椭圆C：左，右焦点分别为、，P为椭圆C上一点，且垂直x轴，若，，成公差为2的等差数列，则椭圆C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题知，，，，
又垂直x轴，所以，解得，
又由椭圆定义可得，即，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：D
【分析】根据等差数列定义和勾股定理可得c，再由椭圆定义可得a，然后由几何量关系可得.
11．（2022·齐齐哈尔模拟）如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由曲线过知，，
即，则，解得，
又因为，则，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，
代入曲线方程得到，
则，即点N的纵坐标为。
故答案为：D
【分析】由曲线过结合代入法得出，再利用得出的值，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，再利用代入法结合曲线方程得出y的值，从而得出点N的纵坐标。
12．（2018高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则方程 实根的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， ， ，
∴ 有一实根 ；
当 时， ， ，
∴ ，
∴ 或 |，
分别画出函数 以及 ， 的图象如图，
由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，
故答案为：C．
【分析】去掉绝对值，写成分段函数的形式，作出分段函数的图象，通过函数图象交点个数与方程实数根的关系即可确定该方程实数根的个数.
二、填空题
13．（2022·河南模拟）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
【分析】 将原命题转化为命题“，使得”是真命题，分a = 0，a≠0两种情况讨论，取并集，即可求解出实数的取值范围 .
14．（2022·河南模拟）函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】12
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由题意可得：围成的封闭图形的面积为：
，
故答案为：12
【分析】 明确f (x)与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后即可求出答案.
15．（2022·河南模拟）在中，，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
∵，
∴，
∴，
，
当且仅当，即，时，等号成立.
此时，
，
所以.
故答案为：
【分析】 直接利用余弦定理和三角形面积公式，基本不等式的应用求出边长 .
16．（2022·河南模拟）若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于，两点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】如图所示：
双曲线的，
设为双曲线的右焦点，连接，则是平行四边形，
则，由双曲线定义得，即，且，
所以，
令，
则，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是，
故答案为：
【分析】求得双曲线的a， b， c，设|AF|=m，|FB|=n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'， AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，运用平行四边形的性质和函数的导数，判断单调性，可得极值、最值，进而得到 的取值范围.
三、解答题
17．（2019·河北模拟）已知数列 满足 ，
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
【答案】解：（Ⅰ）∵
∴ ，
两式相减得 ，
∴ ．
又当 时， 满足上式，
∴ ．
∴数列 的通项公式 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
∴
∴
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知递推关系式，得到 ，即可求出 数列 的通项公式；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，利用裂项相消法进行数列求和，即可得结果.
18．（2022·焦作模拟）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若，求．
【答案】（1）解：由条件及正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以，所以．
（2）解：因为，，
由正弦定理得：，即，
整理可得．
由已知可得，所以，即，
所以．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角A的取值范围，再利用辅助角公式和三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合角C的值和两角和的正弦公式，进而结合角A的取值范围得出角A的值，再利用两角差的正弦公式，进而得出角A的正弦值。
19．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2.
（1）若点F在棱上，且平面，求；
（2）若，求点A到平面的距离，
【答案】（1）解：如图，在上取点，使得∥，连接，，
则∥∥.
因为平面，平面平面，所以∥，
所以四边形是平行四边形，所以.
又因为，所以.
（2）解：作，垂足为，连接，，.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
由条件可知是等腰直角三角形，，.
，所以三棱锥的体积为.
在底面内计算可得，所以
同理可得.
所以是等腰三角形，面积为.
设点到平面的距离为，则，即，
解得.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1） 在上取点，使得∥，连接，， 根据面面平行的性质可得 ∥， 进而求出；
（2）作，根据面面垂直的性质可得平面 平面，再根据三棱锥的体积为，即可求得结果.
20．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线，与C的另一个交点分别为D，E，且，求T点的坐标.
【答案】（1）解：依题意，设.
由抛物线的定义得，解得，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得.
故抛物线的方程为.
（2）解：设，，，，，由题易知，.
联立，得，则，.
直线的方程为，
联立，得，
所以，所以，同理可得.
则
，
解得，当时，直线与重合，不符合题意，
故，即T点的坐标为.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线定义结合已知表示出点坐标，代入抛物线即可求出；
（2）联立直线与抛物线，表示出直线的方程，进而可得出坐标，根据直线的斜率为1即可求出.
21．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求a的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：的定义域为，.
令，得，又，
所以曲线的斜率为1的切线为，
由题意知这条切线即，故.
（2）解：存在，使得成立，即存在，使得成立.
设，则.
设，则.
当时，，当时，，
所以.
若，则，即，所以单调递增，
故当时，，不符合题意.
若，，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减，
所以当时，，符合题意.
综上可知，的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数导数，令求得切点即可得出方程，比较可得出答案；
（2）构造函数，利用导数讨论的单调性，根据函数值变化可得.
22．（2022·焦作模拟）在极坐标系中，已知直线和曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求与的直角坐标方程；
（2）若与交于A，B两点，且点，求的值．
【答案】（1）解：对于，由可得，
整理得，
所以的直角坐标方程为．
对于，由，得，
所以，
整理得的直角坐标方程为．
（2）解：由题意得经过定点，且倾斜角为．
设l的参数方程为，（为参数），代入椭圆方程得．
设点A，B对应的参数分别为，则，，
于是得．
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合极坐标和直角坐标互化公式，进而得出直线 与曲线的直角坐标方程。
（2）利用已知条件结合直线与曲线相交，联立二者方程求出交点A，B的坐标，再利用两点距离公式得出 的值。
23．（2022·焦作模拟）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知：，
当时，恒成立；
当时，由得：，所以；
当时，，无解．
综上所述，不等式的解集为．
（2）解：由得：．
设，则
，
当时，单调递增，；
当时，；
当时，单调递减，．
所以，因此，即实数m的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法，进而得出绝对值不等式 的解集。
（2） 由得出，设，再利用不等式恒成立问题求解方法，则，再利用分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用比较法得出分段函数的最大值，进而得出实数m的取值范围。
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