2．3．4对数函数（一）
【学习目标】
一、过程目标
1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二知识技能目标
1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三情感目标
1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣。
2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点：
1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具：多媒体
【学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
【探究活动】
一、创设情境
回顾指数函数定义、图象和性质。
二、活动尝试
师：我们已经学习了指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义，并说出这两种运算的本质区别。
（生交流，师结合学生的交流作如下总结）
在等式 中已知底数和指数，求幂值N，就是指数问题；已知底数和幂值N，求指数，就是我们前面刚刚学习过的对数问题，而且无论是求幂值N还是求指数，结果都只有一个。
师：在某细胞分裂过程中，细胞个数是分裂次数的函数。因此，当已知细胞的分裂次数的值（即输入值是分裂次数），就能求出细胞个数的值（即输出值是细胞个数）,这样，就建立起细胞个数和分裂次数之间的一个关系式，你还记得这个函数模型的类型吗？
生：是 函数。
师：反过来，在等式中，如果我们知道了细胞个数，求分裂次数，这将会是我们研究的哪类问题？
生： 问题。
师：能否根据等式，把分裂次数表示出来？
生：分裂次数可以表示为
师：在关系式中每输入一个细胞个数的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数的值？
（生思考，并交流思考结果，师总结）
师：我们通过研究发现：在关系式中把细胞个数看作自变量，则每输入一个的值，都能得到唯一一个分裂次数的值，根据函数的定义，分裂次数就可以看作是细胞个数的函数，这样就得到我们生活中的又一类与指数函数有密切关系的函数模型——对数函数。这就是我们下面将要研究的问题。
（引入新课，书写课题：对数函数）
三 师生探究：
（1） 对数函数的概念
师：在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x（年）与物质剩留量y的关系为，我们也可把它写成对数式：，其中时间x（年）也可以看作物质剩留量y的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的。习惯上，我们用x表示自变量，用y表示函数值，你能把以上两个函数表示出来吗？
生： 。
师：你能据此得到此类函数的一般式吗？
生： 。
师：上式中的底数a有什么具体限制条件吗？请结合指数式给以解释。
生：
师：你能根据指数函数的定义给出对数函数的定义吗？
（生交流，师结合学生的回答总结、归纳，并板书对数函数的定义）
一般地，函数 叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数的定义域是 ，值域是 。
合作探究：
1. 为什么对数函数的定义域是？
2. 函数和函数的定义域、值域之间有什么关系？
（2） 对数函数的图象和性质
师：根据我们研究指数函数的经历，你觉得下面应该学习什么内容了？
生：对数函数的图象。
师：请回顾一下指数函数的图象的研究过程，根据对数的定义，列举几个对数函数的解析式，并尝试在同一坐标系内作出它们的图象。
合作探究：
1.借助于计算器或计算机在同一坐标系内画出它们的图象，并观察各组函数的图象，探究它们之间的关系。
（1），；
（2）；
2.当时，函数的图象之间有什么关系？
（组织学生讨论，互相交流自己获得的结论，师用多媒体显示以上两组函数图象，借助于《几可画板》软件动态演示图象的形成过程，揭示函数、图象间的关系及函数图象间的关系，得出如下结论）
结论：（1）函数和的图象关于直线对称；
（2）函数和图象也关于直线对称。
合作探究：分析你所画的两组函数图象,看看一般的指数函数与对数函数图象有什么关系？
（生讨论并交流各自的发现，师结合学生的交流，适时归纳、总结指数函数与对数函数的图象关于直线y=x对称）
知识拓展：函数和的图象关于直线对称。
观察归纳：观察下面三个对数图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数的哪些性质？
对数函数的图象与性质
a>1 0
图象 （0性质 （1）定义域为；
（2）值域为R；
（3）图象过点（1，0）；
（4）在是单调增函数 在是单调减函数
合作探究：
（1） 对数函数，当a>1时，x取何值，y>0 x 取何值时，y<0 当0（2）对数式的值的符号与a、b的取值之间有何关系？请用一句简洁的话语叙述。
知识拓展：函数称为的反函数，反之，称为的反函数。一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数记作
四巩固应用：
【例1】求下列函数的定义域
（1）；
（2）；
（3）.
1：到现在为止，你认为求函数定义域时，应从哪些方面来考虑？
（生答，师归纳）
2：在该题中除了以上三个方面需要考虑外，还有没有其他限制呢？
（生思考交流，师适时归纳、总结）
方法引导：该题主要考查对数函数的定义域为这一限制条件，根据函数的解析式列出不等式（组），解对应的不等式（组），得出函数的定义域。
（师生共同完成该题解答，师规范板书）
知识拓展：解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可。
（1） 若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；
（2） 若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；
（3） 0的0次幂没有意义；
（4） 若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0。
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。
【例2】比较下列各组数中两个数的大小。
（1）
（2）
（3）
（4）
请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习。
（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）
师：请观察第（4）题，你认为它和其他三题有什么区别？
生：
师：能否找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小呢？
生：
师：这种困惑同学们以前遇到过吗？以前我们是怎样解决这类问题的呢？
（生思考，师适当点拨完成解答）
方法引导：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较对数式的大小。当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。
若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较。
合作探究：（1）比较两个数的大小： ；
（2）已知比较的大小；
（3）已知试比较的大小。
1：这里要比较的是两个对数的大小，它们的底数不同，但它们的真数相同；如何比较的大小呢？能否转化为比较两个同底的对数的大小呢？
（生思考，合作探究尔后交流、师归纳）
2：因为，而，
根据函数上是减函数，所以
3：同学们想一想，能否根据图象求出对数函数的底数？
（生思考，可以根据学生回答情况，适时作出讲解。）
4：我们知道“底数的对数是1”，因此，直线与图象的交点的横坐标就是“底”，交点离y轴越远则底数越大。则可用下图来说明两个对数的大小。
如图，点C和点D的纵坐标分别为从图上显然可以看出，
5：若真数相同，底数不同，则可根据图象作比较。先作出两个函数的图象，再作出直线x=与它们的交点，视交点的高低作判断。当然也可运用换底公式转化为比较的大小问题，根据的大小，结合反比例函数的单调性比较。
6：（2）可由学生自己完成。再给出如下图象加以说明。从图可以看出，
（第（3）道题，视课堂情况而定，决定是否完成，还是留待思考研究。）
7：前面两道题，第1道，是两个底数不同，真数相同的对数的大小比较，可以转化为比较两个同底的对数的大小，或者利用两个对数函数图象比较。第2道是已知两个不同底数但同真数的对数的大小，比较他们的底数的大小；第3道也是这类问题，但不同的是没给出它们都大于零这一条件。能否受第2道题的启发，类似地解出第3问呢？
（生思考并交流，师生配合得出如下解答）
（8：当然，也可以仿照第（1）小题的方法利用换底公式，转化为同底的对数的大小比较。课后同学们去试一试，本题涉及到分类讨论思想）
【随堂检测】
练习1 求函数y=loga(9-x2)的定义域
练习2: 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4
练习3：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0(4) log a m > log a n (a>1)
练习4：将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：________________
【问题式小结】
通过本节课你有什么收获和感受？
【思维拓展】
1．比较0.7与0.8两值大小
2．已知下列不等式，比较正数m、n的大小：
（1）m＜n (2) m＞n
(3) m＜n(0＜a＜1) (4) m＞n(a＞1)
3求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵
⑶ ⑷2．3．2 对数（二）
【学习目标】
1、过程目标：
(1)通过探究使学生感受化归的数学思想。
(2) 通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力、观察能力以及判断能力。
2、知识技能目标：
（1）. 要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
（２）.能灵活地应用这些性质简化对数的运算
3、情感目标：
（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣
（2）通过计数器的应用，让学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生的学习的热情。
教学重点难点：对数运算性质及应用
教学工具：多媒体
【学前准备】
对数有没有加、减、乘、除运算？
【探究活动】
一创设情境：
指数幂运算有那些性质？
根据对数的定义可知 （a>0,a≠1,n>0）,对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们之间有什么样的联系呢？
二活动尝试：
计算
由以上计算发现各式真数之间有没有关系，结果有没有联系？
三师生探究：
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）
（2）；
（3）．
探究：证明性质2．
说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
（3）注意定义域： 是不成立的，
是不成立的；
（4）利用对数使乘除运算变为加减运算
四 巩固应用：
：
例1．求下列各式的值
（1） （2）
例2用，，表示下列各式：
（1）； （2）．
；
计算（1）； （2） ．
例3．计算：
（1）lg1421g； （2）； （3）．
说明：（1）本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）本例体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（3）题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）题要避免错用对数运算性质。
例4已知，，求下列各式的值（结果保留四位小数）
（1） （2）
【随堂检测】
1计算（1）； （2）
2计算：
（1）；
（2）．．
【问题式小结】
1对数的运算法则（积、商、幂、方根的对数）及其成立的前提条件各是什么？
2对对数运算性质的综合运用，应注意掌握那些变形技巧？
【思维拓展】
1、若，下列式子中哪几个是正确的
（1）（2）
（3） （4）
（5） （6）（7）
2、求下列各式的值：
（1） （2）
（3）
（4）
3、已知，求下列各式的值（结果保留4位小数）
（1） （2） （3） （4）
4、（1）试用常用对数表示
（2）求的值
（3）已知求的值2．3．5对数函数（二）
【学习目标】
1、过程目标：
（1）培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；
（2）通过师生之间、学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习。
2、知识技能目标：
（1）对数函数性质的应用
（2）了解函数图象的变换；能运用对数函数的图象和性质解决一些简单问题.
3、情感目标：
（1）培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
（2）培养学生数学应用意识
教学重点难点：对数函数性质的应用，对数函数图象的变换；
教学工具：多媒体
【学前准备】
1复习回顾由函数y=2的图象如何得到函数y=2的图象以及函数y=2+b的图象
2研究比较函数y=2的图象与函数y=logx的图象之间的关系？
【探究活动】
一、创设情境
回顾由函数y=2的图象如何得到函数y=2的图象以及函数y=2+b的图象
二、活动尝试
用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与对数函数y=logx的图象的关系，
⑴y=log(x+1)与y=log(x+2). ⑵y=log(x-1)与y=log(x-2).
（1）作出图像，显示出函数数据表
x
logx
log(x+1)
y=log(x+2) 1
比较函数y=log(x+1),y=log(x+2)与y=logx的关系：
将对数函数y=logx的图象 平行移动 单位长度，就得到函数y=log(x+1)的图象，将对数函数y=logx的图象 平行移动 单位长度，就得到函数y=log(x+2)的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x
logx
log(x-1)
log(x-2) 1
比较函数y = log(x-1)、y=log(x-2)与y= logx的关系：将对数函数y=logx的图象 平行移动 单位长度，就得到函数y= log(x-1)的图象，将指数函数y=logx的图象 平行移动 单位长度，就得到函数y= log(x-2)的图象
三、师生探究
1由以上你能归纳出一般结论？
2比较函数y=2的图象与函数y=logx的图象之间的关系？
四 巩固应用
例1说明函数y=log(x+2)与函数y=logx的图象之间的关系？
思考：由函数y=log(x+2)图象如何变换到函数y= log(x-2)的图象
例2画出函数y=log|x|的图象，并由图象写出它的单调区间。
【随堂检测】
1、把函数f(x)= logx的图象分别沿x轴方向向左平移2个单位、沿y轴方向向下平移1个单位，得到f(x)=
2把函数f(x)的图象分别沿x轴方向向左、沿y轴方向向下平移3个单位，得到 y= log(x-2)的图象，则f(x)=
3要使y=logx+m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是
【问题式小结】
亲爱的同学：
你在这节课上学到了
了解了 结论，会用了吗？
【思维拓展】
1、把函数f(x)=logx的图象分别沿x轴方向向左平移3个单位、沿y轴方向向下平移2个单位，得到f(x)=
2把函数f(x)的图象分别沿x轴方向向右、沿y轴方向向上平移3个单位，得到y=logx的图象，则f(x)=
3作出y=lg（-x）,y=-lgx图象，并说明与y=lgx图象之间关系。2．3．6对数函数
【学习目标】
1、过程目标：
（1）通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力（2）通过探究、思考，把生活实际问题转化为数学问题，培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力。
2、知识技能目标：
（1）能根据对数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题。
（2）能运用对数函数的概念和性质解决有关实际问题。
3、情感目标：
（1）培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯
（2）让学生明确对数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模型，进一步认识数学在生活中巨大作用。
教学重点难点：对数函数性质的应用，解决与 对数函数有关的实际运用问题。
教学工具：多媒体
【学前准备】
对数函数的性质能解决那些问题？
【探究活动】
一、创设情境
回顾对数函数性质
二、活动尝试
函数y=log的单调增区间是
单调减区间是 （若将底数改为时，分别指出其单调区间）
三 师生探究：
函数f(x)=log-ax+3a)在[2，+∞]上是单调减函数，则a的取值范围是
四巩固应用：
例1 ⑴证明函数在上是增函数
⑵函数在上是减函数还是增函数？
小结：复合函数的单调性
的单调相同，为增函数，否则为减函数
例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
例3已知函数f(x)满足f(x-3)=log(a>0,a≠1)
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 判断f(x)的奇偶性；
(3) 解不等式f(x)log(2x)
【随堂检测】
1.求y=(-2x)的单调递减区间
2.求函数y=(-4x)的单调递增区间
3.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
【问题式小结】
1．通过本节课你有什么收获和感受？
【思维拓展】
（1）证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y=（+1)在（-∞,0）上是增减性.
（3）设函数
①求定义域并证明为增函数；
②当a,b满足何关系时，只在上取正值？2．3．1 对数（一）
【学习目标】
1、过程目标：
(1)通过探究使学生感受化归的数学思想。
(2) 通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力。
2、知识技能目标：
（1）理解对数的概念。
（2）能够进行对数式与指数式的互化。
（3）会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。
3、情感目标：
（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣
（2）通过阅读对数发展史，增强学生的数学素养。
教学重点难点：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，
并求一些特殊的对数式的值；对数式与指数式的互化。
教学工具：多媒体
【学前准备】
已知y=2如果y取值为5，如何来表示x值？
【探究活动】
（一）创设情境：
在前面，我们研究了一种放射性物质不断变化为其他物质的过程。设该物质最初的质量是1，则经过年，该物质的剩留。
（二）活动尝试：
由此，知道了经过的时间，就能求出该物质的剩留量；反过来，知道了该物质的剩留量，怎样求出所经过的时间呢？
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式中，已知a 和N求b的问题（这里 ）。
（三）师生探究：
1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于, 即，那么就称是以为底的对数（logarithm），记作 ，其中，叫做对数的底数(base of logarithm)，叫做真数(proper number)。
即
表达形式 名 称 对应的运算
指数式 底数 幂 指数 由求N—乘方
对数式 对数的底数 真数 对数 由求—求对数
根式 方根 被开方数 根指数 有求—开方
说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意 且 , 都有 ∴，同样：．
3．如果把中的写成， 则有 ．
如果把中的换成，则有。
上述两式称对数恒等式：
；
2．对数的性质：（1）（2）（3）对数恒等式
3．介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底 简记为
②自然对数：以作底（为无理数），= 2.718 28…… ， 简记为．
（四）巩固应用：
例1．将下列指数式写成对数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例2．将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例3．求下列各式的值：
⑴； ⑵； (3)；（4）； （5）
【随堂检测】
（1）计算： ①，② ．
（2）求 x 的值：①； ②．
（3）求底数：①， ②．③
【问题式小结】
亲爱的同学：
你在这节课上学到了新概念是
了解了 结论，会用了吗？
课后在请尝试用新的知识，去解决一些新问题。
【思维拓展】
1．计算：（1）； （2）
2．求 x 的值： ；
3．求底数：； ．
4．已知，求的值。
5．计算