综合法证明不等式[上学期]
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课件26张PPT。2019/3/161不等式 欢迎你和它交朋友！2019/3/162教 学 方 法针对本节课需要学生严谨周密的逻辑思维的特点，整堂课实行引导，探索，综合 ， 综合，归纳四步教学法。力求做到以创造发展为目的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段，以推理判断为特征。
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感官性。2019/3/163教 学 目 标知识目标： 综合法证明不等式
能力目标： 理解综合法证明不等式的意义。
熟练掌握过去学过的重要不等式，并用
这些不等式来证明新的不等式。
情感目标： 掌握综合法证明不等式，培养学生严谨
周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能
力的训练，由因导果，进一步巩固学生
辩证唯物主义思想观念的教育，确实提
高学生的思想道德品质。
2019/3/164重 点、难 点重点：（1）掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”。
（2）理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系。即A（已知）→B1→B2→‥‥→Bn→B（结论）
难点： “由因导果”时，从哪个不等式出发
合适是综合法证明不等式的难点！
2019/3/165回顾与反思例1例1 对于a，b∈R 求证：
证法一：2019/3/166思 考 可否用其他的方法证 仔细观察：左边是三项平方和形式，右边是两两乘积之和形式，我们可以联想到前面所学的定理2
（ ）
但项数不同，要动动脑筋，做一些适当的变形，例1 对于a，b∈R 求证：2019/3/167证法二由定理2知：对a,b,c∈R,有由不等式性质2的推论可知：
以上三个同向不等式可以相加再将以上不等式两边同时除以2，得：当且仅当a=b=c时，等号成立。2019/3/168定 理 2当且仅当a=b时，等号成立2019/3/169简 明 思 路
(三个同向不等式相加)当且仅当a=b=c时，等号成立2019/3/1610共 析“综合法”证明不等式实质上是“由因导果”的直接推理论证。其要点是：由已知性质定理出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所要证的不等式为止。2019/3/1611给你提个醒！ 在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项，并项，分解，组合是变形的重要技巧。
2019/3/1612 同学们，前面在1.3节我们学习了两个正数 的算术平均值与几何平均值的关系定理及其几个重要的不等式。这些都是在证明不等式过程中常用的关系：
证明不等式的常用关系当且仅当
a=b 时
等号成立2019/3/1613等 价 变 形可变形为 1）2）3）4）5）等等……2019/3/1614例5：若x,y,z是三个不尽相等的正实数，且 x+y+z=1 求证: (1-x)(1-y)(1-z)>8xy 怎么展开思路，寻找突破口？1 可是关键哟！2019/3/1615例题5 证 明 ： 由已知条件x+y+z=1 及定理4可以知
1-z=x+y≥2
1-y=x+z≥2
1-x=y+z≥2但由于x,y,z不尽相等，就是说其中至少有两个数不相
等，故以上三个不等式至少有一个不等式是严格不等
式（不含等号）所以以上三个同向不等式相乘就得出：
(1-x)(1-y)(1-z)>即 (1-x)(1-y)(1-z)>8xyz2019/3/1616即定理42019/3/1617随堂练习1）若a,b∈R+ 则
2) 若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
3) 若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
4) 若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)2019/3/1618题 1 简 明 思 路2019/3/1619题 2 简 明 思 路若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3(a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b32019/3/1620题 3 简 明 思 路若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2？2019/3/1621题 4 简 明 思 路若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)2019/3/1622课 时 小 结 本节课我们学习了“综合法”证明不等式。其核心是引导我们运用已有知识（已知或已证成立的不等式或定理）进行逻辑思考和推理论证，启发我们大家从不同角度去
思考问题，去主动获取新知识。
教材中主要讲授了运用均值不等式来证明不等式，因而要加强对这个定理及它的各种各样的变形形式的理解。2019/3/1623 布 置 作 业 一，习题2—3 （课本P86）第5，6，7，8题
二，思考题：设a,b,c为一个不等边三角形的三边
边长，求证：
abc > (b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)
（轮换不等式展现数学的另一种美）
三，1.预习新课“分析法”证明不等式
2.预习提纲
1）什么是分析法证明不等式？它的基本思
想是什么？
2）分析法适合证明哪类不等式？2019/3/1624板书设计 综合法证明不等式概念
应用
[例题3]
[例题4]
课堂练习
课时小结
课后作业2019/3/1625敬请多多指教星子实验中学
周 荣2019/3/1626敬请多多指教星子实验中学 周 荣
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感官性。2019/3/163教 学 目 标知识目标： 综合法证明不等式
能力目标： 理解综合法证明不等式的意义。
熟练掌握过去学过的重要不等式，并用
这些不等式来证明新的不等式。
情感目标： 掌握综合法证明不等式，培养学生严谨
周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能
力的训练，由因导果，进一步巩固学生
辩证唯物主义思想观念的教育，确实提
高学生的思想道德品质。
2019/3/164重 点、难 点重点：（1）掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”。
（2）理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系。即A（已知）→B1→B2→‥‥→Bn→B（结论）
难点： “由因导果”时，从哪个不等式出发
合适是综合法证明不等式的难点！
2019/3/165回顾与反思例1例1 对于a，b∈R 求证：
证法一：2019/3/166思 考 可否用其他的方法证 仔细观察：左边是三项平方和形式，右边是两两乘积之和形式，我们可以联想到前面所学的定理2
（ ）
但项数不同，要动动脑筋，做一些适当的变形，例1 对于a，b∈R 求证：2019/3/167证法二由定理2知：对a,b,c∈R,有由不等式性质2的推论可知：
以上三个同向不等式可以相加再将以上不等式两边同时除以2，得：当且仅当a=b=c时，等号成立。2019/3/168定 理 2当且仅当a=b时，等号成立2019/3/169简 明 思 路
(三个同向不等式相加)当且仅当a=b=c时，等号成立2019/3/1610共 析“综合法”证明不等式实质上是“由因导果”的直接推理论证。其要点是：由已知性质定理出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所要证的不等式为止。2019/3/1611给你提个醒！ 在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项，并项，分解，组合是变形的重要技巧。
2019/3/1612 同学们，前面在1.3节我们学习了两个正数 的算术平均值与几何平均值的关系定理及其几个重要的不等式。这些都是在证明不等式过程中常用的关系：
证明不等式的常用关系当且仅当
a=b 时
等号成立2019/3/1613等 价 变 形可变形为 1）2）3）4）5）等等……2019/3/1614例5：若x,y,z是三个不尽相等的正实数，且 x+y+z=1 求证: (1-x)(1-y)(1-z)>8xy 怎么展开思路，寻找突破口？1 可是关键哟！2019/3/1615例题5 证 明 ： 由已知条件x+y+z=1 及定理4可以知
1-z=x+y≥2
1-y=x+z≥2
1-x=y+z≥2但由于x,y,z不尽相等，就是说其中至少有两个数不相
等，故以上三个不等式至少有一个不等式是严格不等
式（不含等号）所以以上三个同向不等式相乘就得出：
(1-x)(1-y)(1-z)>即 (1-x)(1-y)(1-z)>8xyz2019/3/1616即定理42019/3/1617随堂练习1）若a,b∈R+ 则
2) 若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
3) 若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
4) 若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)2019/3/1618题 1 简 明 思 路2019/3/1619题 2 简 明 思 路若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3(a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b32019/3/1620题 3 简 明 思 路若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2？2019/3/1621题 4 简 明 思 路若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)2019/3/1622课 时 小 结 本节课我们学习了“综合法”证明不等式。其核心是引导我们运用已有知识（已知或已证成立的不等式或定理）进行逻辑思考和推理论证，启发我们大家从不同角度去
思考问题，去主动获取新知识。
教材中主要讲授了运用均值不等式来证明不等式，因而要加强对这个定理及它的各种各样的变形形式的理解。2019/3/1623 布 置 作 业 一，习题2—3 （课本P86）第5，6，7，8题
二，思考题：设a,b,c为一个不等边三角形的三边
边长，求证：
abc > (b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)
（轮换不等式展现数学的另一种美）
三，1.预习新课“分析法”证明不等式
2.预习提纲
1）什么是分析法证明不等式？它的基本思
想是什么？
2）分析法适合证明哪类不等式？2019/3/1624板书设计 综合法证明不等式概念
应用
[例题3]
[例题4]
课堂练习
课时小结
课后作业2019/3/1625敬请多多指教星子实验中学
周 荣2019/3/1626敬请多多指教星子实验中学 周 荣