3.2 综合法证明不等式[上学期]
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文档简介
3.2 综合法证明不等式
星子实验中学 周 荣
[教学目标]
一、知识目标： 综合法证明不等式
二、能力目标：
1、理解综合法证明不等式的意义。
2、熟练掌握过去学过的重要不等式，并用这些不等式来
证明新的不等式。
三、情感目标：
掌握综合法证明不等式，培养学生严谨周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能力的训练，由因导果，进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育，确实提高学生的思想道德品质。
[教学重点]
一、掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”，从已知条件及已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论。
二、理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系，即A（已知）→B1→B2→‥‥→Bn→B（结论）
[教学难点] “由因导果”时，从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点。
[教学方法]
一、针对本节课需要学生严谨周密的逻辑思维的特点，整堂课实行引导，探索，综合，归纳四步教学法。力求做到以创造发展为目的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段，以推理判断为特征。
二、采用多媒体教学手段，增大教学容量和感官性。
[教学过程]
一、导入
回顾与反思 例1
例1 对于
a，b，c∈R 求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca
证法一：
当且仅当a=b=c时等号成立
比较法证明不等式是一种很好的方法，但是是否还有其他的方法呢？引导学生思考可否用其他的方法证？
仔细观察：左边是三项平方和形式，右边是两两乘积之和形式，我们可以联想到前面所学的定理2：
但两者项数不同，要动动脑筋，做一些适当的变形，
二、例题
1、证法二：由定理2知：对a,b,c∈R,有
由不等式性质2的推论可知：以上三个同向不等式可以相加
再将以上不等式两边同时除以2，得
当且仅当a=b=c时，等号成立。
2、归纳简明思路
当且仅当a=b=c时，等号成立
3、与学生共析：
“综合法”证明不等式实质上是“由因导果”的直接推理论证。其要点是：由已知性质定理出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所要证的不等式为止。
4、提醒！在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧。
证明不等式的常用关系
同学们，前面在1.3节我们学习了两个正数的算术平均值与几何平均值的关系定理及其几个重要的不等式。这些都是在证明不等式过程中常用的关系：
当且仅当a=b时等号成立
5、例5：若x,y,z是三个不尽相等的正实数，且 x+y+z=1
求证: (1-x)(1-y)(1-z)>8xy
证明：由已知条件x+y+z=1 及定理4可以知
1-z=x+y≥2
1-y=x+z≥2
1-x=y+z≥2
分析，但由于x,y,z不尽相等，就是说其中至少有两个数不相等，故以上三个不等式至少有一个不等式是严格不等式（不含等号）所以以上三个同向不等式相乘就得出
(1-x)(1-y)(1-z)>
即 (1-x)(1-y)(1-z)>8xyz
三、随堂练习
1）若a,b∈R+ 则
2) 若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
3) 若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
4) 若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)
酌情让学生演板，与学生一起分析各题，最后总结简明思路。
视学生的反馈情况酌情向学生提供各题简明思路。
题1：若a,b∈R+ 则
简明思路：
题2：若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
简明思路：
(a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
题3：若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
简明思路：
(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
题4 ：若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)
简明思路：
四、课时小结
本节课我们学习了“综合法”证明不等式。其核心是引导我们运用已有知识（已知或已证成立的不等式或定理）进行逻辑思考和推理论证，启发我们大家从不同角度去思考问题，去主动获取新知识。
教材中主要讲授了运用均值不等式来证明不等式，因而要加强对这个定理及它的各种各样的变形形式的理解。
五、布置作业
1、习题2—3 （课本P86）第5，6，7，8题
2、思考题：设a,b,c为一个不等边三角形的三边边长，求证：
abc > (b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)
（轮换不等式展现数学的另一种美）
3、预习新课“分析法”证明不等式
预习提纲
1） 什么是分析法证明不等式？它的基本思想是什么？
2） 分析法适合证明哪类不等式？
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星子实验中学 周 荣
[教学目标]
一、知识目标： 综合法证明不等式
二、能力目标：
1、理解综合法证明不等式的意义。
2、熟练掌握过去学过的重要不等式，并用这些不等式来
证明新的不等式。
三、情感目标：
掌握综合法证明不等式，培养学生严谨周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能力的训练，由因导果，进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育，确实提高学生的思想道德品质。
[教学重点]
一、掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”，从已知条件及已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论。
二、理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系，即A（已知）→B1→B2→‥‥→Bn→B（结论）
[教学难点] “由因导果”时，从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点。
[教学方法]
一、针对本节课需要学生严谨周密的逻辑思维的特点，整堂课实行引导，探索，综合，归纳四步教学法。力求做到以创造发展为目的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段，以推理判断为特征。
二、采用多媒体教学手段，增大教学容量和感官性。
[教学过程]
一、导入
回顾与反思 例1
例1 对于
a，b，c∈R 求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca
证法一：
当且仅当a=b=c时等号成立
比较法证明不等式是一种很好的方法，但是是否还有其他的方法呢？引导学生思考可否用其他的方法证？
仔细观察：左边是三项平方和形式，右边是两两乘积之和形式，我们可以联想到前面所学的定理2：
但两者项数不同，要动动脑筋，做一些适当的变形，
二、例题
1、证法二：由定理2知：对a,b,c∈R,有
由不等式性质2的推论可知：以上三个同向不等式可以相加
再将以上不等式两边同时除以2，得
当且仅当a=b=c时，等号成立。
2、归纳简明思路
当且仅当a=b=c时，等号成立
3、与学生共析：
“综合法”证明不等式实质上是“由因导果”的直接推理论证。其要点是：由已知性质定理出发，逐步导出其“必要条件”，直到最后的“必要条件”是所要证的不等式为止。
4、提醒！在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧。
证明不等式的常用关系
同学们，前面在1.3节我们学习了两个正数的算术平均值与几何平均值的关系定理及其几个重要的不等式。这些都是在证明不等式过程中常用的关系：
当且仅当a=b时等号成立
5、例5：若x,y,z是三个不尽相等的正实数，且 x+y+z=1
求证: (1-x)(1-y)(1-z)>8xy
证明：由已知条件x+y+z=1 及定理4可以知
1-z=x+y≥2
1-y=x+z≥2
1-x=y+z≥2
分析，但由于x,y,z不尽相等，就是说其中至少有两个数不相等，故以上三个不等式至少有一个不等式是严格不等式（不含等号）所以以上三个同向不等式相乘就得出
(1-x)(1-y)(1-z)>
即 (1-x)(1-y)(1-z)>8xyz
三、随堂练习
1）若a,b∈R+ 则
2) 若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
3) 若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
4) 若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)
酌情让学生演板，与学生一起分析各题，最后总结简明思路。
视学生的反馈情况酌情向学生提供各题简明思路。
题1：若a,b∈R+ 则
简明思路：
题2：若a,b∈R+ 则 (a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
简明思路：
(a+b)(a2+b2)(a3+b3) ≥ 8a3b3
题3：若 a,b ∈R+ 且a≠b 则(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
简明思路：
(a+b)(a3+b3) > (a2+b2)2
题4 ：若a,b ∈R 则 a2+b2+c2 +3≥ 2(a+b+c)
简明思路：
四、课时小结
本节课我们学习了“综合法”证明不等式。其核心是引导我们运用已有知识（已知或已证成立的不等式或定理）进行逻辑思考和推理论证，启发我们大家从不同角度去思考问题，去主动获取新知识。
教材中主要讲授了运用均值不等式来证明不等式，因而要加强对这个定理及它的各种各样的变形形式的理解。
五、布置作业
1、习题2—3 （课本P86）第5，6，7，8题
2、思考题：设a,b,c为一个不等边三角形的三边边长，求证：
abc > (b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)
（轮换不等式展现数学的另一种美）
3、预习新课“分析法”证明不等式
预习提纲
1） 什么是分析法证明不等式？它的基本思想是什么？
2） 分析法适合证明哪类不等式？
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