全国人教版数学九年级上册课课练：24.3正多边形和圆（含答案解析）

[正多边形和圆]
一、选择题
1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
2.2019·湖州如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是(　　)
A.60° B.70° C.72° D.144°
3.2020·凉山州如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD∶AB等于(　　)
A.2 ∶ B.∶ C.∶ D.∶2
二、填空题
4.2020·扬州如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口b＝3 cm，则螺帽的边长a＝________ cm.
5.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________.
6.2019·衢州改编如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸条宽为________.
7.2020·绥化如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于________度.
三、解答题
8.已知：⊙O，如图.
求作：⊙O的内接正三角形ABC.
9.如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积.
转化思想如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
(1)计算∠CAD的度数；
(2)连接AE，求证：AE＝ME.
答案
1.A　 ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°,
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°,
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°,
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°,
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.
故选A.
2.C　 ∵正五边形ABCDE内接于⊙O,
∴∠ABC＝∠C＝＝108°,CB＝CD,∴∠CBD＝∠CDB＝＝36°,
∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°.
故选C.
3.B　 如图,连接OA,OB,OD
则∠AOD＝90°,∠AOB＝120°.令OA＝OB＝OD＝r,则AD＝r,AB＝r,
从而AD∶AB＝∶.故选B.
4.　 如图,连接AC,过点B作BD⊥AC于点D,
由螺帽是正六边形,得∠ABC＝120°,AB＝BC＝a,
∴∠BCD＝∠BAC＝30°,∴BD＝.由AC＝3,得CD＝1.5.由勾股定理可得a2＝()2＋1.52,
∴a＝(负值已舍去).
5.8＋8 　 易证四边形ABCD是正方形.
由题意可得AD＝2＋×2＝2＋2 ,
∴四边形ABCD的周长是4×(2＋2 )＝8＋8 .故答案为8＋8 .
6.　 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成,其中等边三角形的高为原来的纸条宽度,所以原来的纸条宽度为.
7.54　 连接CE.正五边形的内角∠CDE＝×(5－2)×180°＝108°.∵DC＝DE,∴∠P＝
∠DEC＝×(180°－108°)＝36°.
∵DG⊥PC,∴∠PDG＝90°－∠P＝54°.
8.解：方法一：先用圆规把圆周六等分,然后连接相间的三个分点,所得三角形即为所求(画图略).
方法二：(1)任意画一条半径OM;(2)作OM的垂直平分线交⊙O于点A,B;(3)以点A为圆心,以AB的长为半径画弧交⊙O于点C,连接AC,BC,则△ABC即为所求(画图略).
9.解：连接OB,OC,过点O作OH⊥BC于点H.∵正六边形的中心角为＝60°,OB＝OC,∴△OBC是等边三角形,
∴半径R＝OB＝BC＝AB＝10.
∵OH⊥BC,∴∠BOH＝30°,∴BH＝OB＝5.
在Rt△OBH中,边心距r＝OH＝＝5 ,周长l＝6AB＝6×10＝60.
∵S△OBC＝BC·OH＝×10×5 ＝25 ,
∴正六边形的面积S＝6S△OBC＝6×25 ＝150 .
[素养提升]
解：(1)∵A,B,C,D,E是⊙O上的五等分点,
∴∠COD＝＝72°,
∴∠CAD＝∠COD＝36°.
(2)证明：∵A,B,C,D,E是⊙O上的五等分点,∴＝＝＝＝,∴∠DAE＝∠AEB＝∠CAD＝36°,∴∠MAE＝72°,
∴∠AME＝180°－∠MAE－∠AEB＝72°＝∠MAE,∴AE＝ME.