人教版数学九年级上册课课练：24.1.2垂直于弦的直径(Word版含答案)

[垂直于弦的直径]
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是(　　)
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE C.OE＝BE D.＝
2.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为(　　)
A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
3.2020·滨州如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C.若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.15
4.2020·广州往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为(　　)
A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm
5.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为(　　)
A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m
6.P为⊙O内一点，若过点P的最长的弦为8 cm，最短的弦为4 cm，则OP的长为(　　)
A.2 cm B. cm C.3 cm D.2 cm
7.如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)
A.3 B.4 C.3 D.4
8.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(　　)
A.19 B.16 C.18 D.20
二、填空题
9.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为________.
10.2020·湖州如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.
11.如图，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________.
12.2019·嘉兴如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________.
13.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.
14.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________.
三、解答题
15.已知：如图所示，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长.
16.已知：如图，在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB＝CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN＝∠CNM.
1.分类讨论思想在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________.
2.建模思想如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米.
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为矩形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由.
答案
1.C　2.C　3.C
4.C　 如图,过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,连接OA.
由题意,得OA＝OC＝26 cm,AD＝AB＝24 cm.
在Rt△AOD中,由勾股定理可得OD＝10 cm,
所以水深CD＝OC－OD＝26－10＝16(cm).
因此本题选C.
5.B　 如图,连接OB.
由题意可得AD＝BD＝4 m.
设⊙O的半径OC＝OB＝x m,
则OD＝(8－x)m.
在Rt△BOD中,由勾股定理,得x2＝(8－x)2＋42,解得x＝5.
故拱桥的半径OC为5 m.
6.A　 设⊙O中过点P的最长的弦为AB,最短的弦为CD,如图所示,则CD⊥AB于点P.
根据题意,得AB＝8 cm,CD＝4 cm,
∴OC＝AB＝4 cm.
∵CD⊥AB,∴CP＝CD＝2 cm.
在Rt△OCP中,根据勾股定理,得
OP＝＝＝2 (cm).
7.C　 如图,过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,连接AO.
∵OE⊥AB,∴AE＝AB＝4.在Rt△OAE中,OA＝5,由勾股定理可得OE＝3,同理得OF＝3.又∵AB⊥CD,∴四边形OEPF是正方形,∴PE＝OE＝3.在Rt△OPE中,由勾股定理可得OP＝3 .
8.D　 如图,延长AO交BC于点D,过点O作OE⊥BC于点E.
∵∠A＝∠B＝60°,∴△DAB是等边三角形,∴AD＝DB＝AB＝12,∠ADB＝∠A＝60°,
∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中,∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°,∴DE＝OD＝2,∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理,知BC＝2BE＝20.
9.3
10.3　 过点O作OH⊥CD于点H,连接OC,如图,
则CH＝DH＝CD＝4,OC＝AB＝5.
在Rt△OCH中,OH＝＝＝3,
所以CD与AB之间的距离是3.
11.5　 ∵OE过圆心且与AP垂直,
∴PE＝EA.
同理PF＝FB,∴EF是△PAB的中位线,
∴EF＝AB＝5.
12.　 连接OD.因为CD⊥OC,所以CD＝,根据题意可知圆的半径一定,故当OC最小时CD最大,故当OC⊥AB时CD最大,此时CD＝AB＝.
13.10或70　 对于半径为50 cm的圆而言,圆心到长为60 cm的弦的距离为40 cm,到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时,两弦间的距离＝40－30＝10(cm);②当圆心在两平行弦之间时,两弦间的距离＝40＋30＝70(cm).综上所述,水位上升10 cm或70 cm.
14.(－4,－7)　 过点P作PH⊥MN于点H,连接PM,则MH＝MN＝3,OH＝OM＋MH＝7.由勾股定理,得PH＝4,∴圆心P的坐标为(－4,－7).
15.解： 如图,过点O作OG⊥AP于点G,连接OF.
∵DB＝10 cm,
∴OD＝OF＝5 cm,
∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm).
∵∠PAC＝30°,
∴OG＝AO＝×8＝4(cm).
∵OG⊥EF,∴EG＝GF＝EF.
∵GF＝＝＝3(cm),
∴EF＝2GF＝6 cm,
∴圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm.
16.证明：连接OM,ON,OA,OC,如图所示.
∵M,N分别为AB,CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,AM＝AB,CN＝CD,
∴∠AMO＝∠CNO＝90°.
又∵AB＝CD,∴AM＝CN.
在Rt△AOM和Rt△CON中,
∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),
∴OM＝ON,
∴∠OMN＝∠ONM,
∴∠AMO＋∠OMN＝∠CNO＋∠ONM,
即∠AMN＝∠CNM.
[素养提升]
1.3或　 如图,连接CP,PB的延长线交⊙C于点P′.
∵PC＝5,BC＝3,PB＝4,
∴BC2＋PB2＝PC2,
∴△CPB为直角三角形,且∠CBP＝90°,
即CB⊥PB,∴PB＝P′B＝4.
∵∠ACB＝90°,∴PB∥AC.
又∵PB＝AC＝4,
∴四边形ACBP为平行四边形.
又∵∠ACB＝90°,∴ ACBP为矩形,
∴PA＝BC＝3.
在Rt△APP′中,∵PA＝3,PP′＝2BP＝8,
∴P′A＝＝.
综上所述,PA的长为3或.
2.解：(1)如图①,设点E是桥拱所在圆的圆心,连接AE,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交于点D.
根据垂径定理知F是AB的中点,D是的中点,DF的长是桥拱到水面的最大高度,
∴AF＝FB＝AB＝40米,EF＝DE－DF＝AE－DF.
由勾股定理,知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设桥拱的半径为r米,则r2＝402＋(r－20)2,
解得r＝50.
答：桥拱的半径为50米.
　
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥.理由如图下：
如图②,由题意,知MN∥AB.又∵DE⊥AB,∴DE⊥MN,则PM＝MN＝30米.
由(1)知,EF＝50－20＝30(米).
在Rt△PEM中,PE＝＝40米,
∴PF＝PE－EF＝40－30＝10(米).
∵10米＞9米,
∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥.