全国人教版数学九年级上册课课练：23章　旋转 综合检测（word、含答案解析）

第二十三章综合检测
[范围：旋转　时间：90分钟　分值：100分]
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
2．如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是由△ABC经过怎样的图形变换得到的？有下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
3．已知点P(a－3，2－a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上的表示正确的是(　　)
4．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是(　　)
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．(4－)cm
5．如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－4，1) B．(－1，2) C．(4，－1) D．(1，－2)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为(　　)
A. B．2 C．3 D．2
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD.若∠CDE＝90°，则∠BCD的度数是(　　)
A．110° B．120° C．130° D．150°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为(　　)
A．18° B．20°
C．24° D．28°
10．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如图此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是(　　)
A．(4n－1，) B．(2n－1，)
C．(4n＋1，) D．(2n＋1，)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，将点A(4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为________．
12．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.
13．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为____________．
14.如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．
15．如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，点E在BA上，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 .将△BDE绕点B逆时针旋转后得到△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．
16．如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．
三、解答题(本大题共7小题，共52分)
17．(6分)如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
18．(6分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
19．(7分)如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转角α(0°＜α＜120°)得到线段AD，连接CD，BD.
(1)若α＝80°，求∠BDC的度数；
(2)请探究∠BDC的大小是否与角α的大小有关，并说明理由．
20．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′，连接D′E.
(1)求∠DAD′的度数；
(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝1，AC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE.
(1)求CD的长；
(2)求四边形ACED的面积．
22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，交AC于点E.
(1)∠ACM＝________；
(2)求BM的长度及∠MBC的度数．
23．(9分)【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如图下问题：
(1)如图①，在等边三角形ABC中，点P在其内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如图下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ADB，连接PD，寻找PA，PB，PC三者之间的数量关系……
请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程；
【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
(2)如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积；
(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝2 ，求AB的长．
答案
1.B
2.D　 连接B′C.先将△ABC绕着B′C的中点旋转180°,再将所得的三角形绕着B′C′的中点旋转180°,即可得到△A′B′C′;先将△ABC沿着B′C的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着B′C′的垂直平分线翻折,即可得到△A′B′C′.故选D.
3.C
4.B　 ∵旋转前、后的两个图形是全等图形,AB＝4 cm,OB＝1 cm,∴A′B′＝AB＝4 cm,OB′＝OB＝1 cm.
在△OB′B中,∵∠B′＝60°,OB′＝OB,
∴△OB′B是等边三角形,∴BB′＝OB＝1 cm,
∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm).
5.D
6.A　 ∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4,BC＝3,∴AB＝5.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,
∴∠AED＝∠C＝90°,AE＝AC＝4,DE＝BC＝3,
∴BE＝1.
连接BD.在Rt△BED中,BD＝＝.故选A.
7.D
8.A　 ∵∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,
∴AB＝＝＝5.
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,
∴AE＝AB＝5,∠BAE＝60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴BE＝AB＝5.
9.C　 ∵AB′＝CB′,
∴∠C＝∠CAB′,
∴∠AB′B＝∠C＋∠CAB′＝2∠C.
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′,
∴∠C＝∠C′,AB＝AB′,
∴∠B＝∠AB′B＝2∠C.
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°,
∴3∠C＝180°－108°,
∴∠C＝24°,
∴∠C′＝∠C＝24°.
10.C　 由题意易知A1(1,),A2(3,－),A3(5,),A4(7,－),…,
∴点An的坐标为
∵2n＋1是奇数,∴点A2n＋1的坐标是(4n＋1,).故选C.
11.(－2,4)
12.20　 由旋转的性质可知AB＝AB′,∠BAB′＝40°,∠AC′B′＝∠ACB＝90°,
∴∠ABB′＝70°,∴∠BB′C′＝20°.
13.y＝－x2－2x－3　 旋转前二次项的系数a＝1,抛物线的顶点坐标是(1,2),旋转后二次项的系数a＝－1,抛物线的顶点坐标是(－1,－2),∴新抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2,即y＝－x2－2x－3.
14.(0,1)
15.＋　 如图,连接CE′.
∵△ABC,△BDE都是等腰直角三角形,BA＝BC,BD＝BE,AC＝4,DE＝2 ,
∴∠EDB＝45°,AB＝BC＝2 ,BD＝BE＝2.
∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得到△BD′E′,
∴D′B＝BE′＝BD＝2,∠D′BE′＝90°＝∠ABC,
∠D′＝∠EDB＝45°,
∴∠ABD′＝∠CBE′,
∴△ABD′≌△CBE′(SAS),
∴∠D′＝∠CE′B＝45°.
过点B作BH⊥CE′于点H,
在Rt△BHE′中,BH＝E′H＝BE′＝,
在Rt△BCH中,CH＝＝,
∴CE′＝＋.故答案为＋.
16.①②③
17.解：(1)旋转角的度数为60°.
(2)证明：由旋转的性质知∠ABC＝∠A1BC1＝120°,∠C＝∠C1,AB＝A1B.
∵点A,B,C1在同一直线上,
∴∠ABC1＝180°,
∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°,∴∠A1BC＝60°.
∵AB＝A1B,∠ABA1＝60°,
∴△ABA1是等边三角形,
∴∠AA1B＝60°＝∠A1BC,
∴AA1∥BC,∴∠A1AC＝∠C.
又∵∠C＝∠C1,∴∠A1AC＝∠C1.
18.解：(1)△A1B1C1如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
(3)△PAB如图所示,点P的坐标是(2,0).
19.解：(1)由旋转的性质可知AC＝AD,
∠CAD＝80°,
∴∠ADC＝∠ACD＝×(180°－80°)＝50°.
∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋80°＝140°,又AB＝AD,
∴∠B＝∠ADB＝×(180°－140°)＝20°,
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝50°－20°＝30°.
(2)结论：∠BDC的大小与角α的大小无关.
理由：由旋转的性质可知AB＝AC＝AD,∠BAC＝∠CAD＝α,∴∠ADC＝∠ACD＝(180°－α),∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋α,
∴∠B＝∠ADB＝(180°－60°－α)＝(120°－α),
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝(180°－α)－(120°－α)＝30°,
∴∠BDC的大小与角α的大小无关.
20.解：(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′,
∴∠DAD′＝∠BAC.
∵∠BAC＝90°,
∴∠DAD′＝90°.
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′,
∴AD＝AD′,∠DAD′＝∠BAC＝90°.
∵∠DAE＝45°,
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°,∴∠D′AE＝∠DAE.
在△AED与△AED′中,
∴△AED≌△AED′(SAS),
∴DE＝D′E.
21.解：(1)根据旋转的性质,得AD＝AC＝2,∠CAD＝90°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
根据勾股定理,得
CD＝＝＝2 .
(2)根据旋转的性质,得∠ADE＝∠ACB＝135°,DE＝BC＝1.
由(1)知,CD＝2 ,∠ADC＝45°,
∴∠CDE＝∠ADE－∠ADC＝90°,
∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝AC·AD＋CD·DE＝×2×2＋×2 ×1＝2＋.
22.解：(1)60°
(2)连接AM,如图.
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,
∴∠ACM＝60°,AC＝MC,
∴△ACM为等边三角形,∴MA＝MC.
又∵AB＝BC,
∴BM垂直平分AC,即AC⊥BM,AE＝CE.
∵∠ABC＝90°,AB＝BC＝2,
∴AC＝2 ,BM平分∠ABC,
∴∠MBC＝45°,CE＝AE＝BE＝AC＝,MC＝AC＝2 .
在Rt△CME中,ME＝＝＝,
∴BM＝BE＋ME＝＋.
故BM的长度为＋,∠MBC的度数为45°.
23.解：(1)将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△ADB,连接PD,
则AD＝PA＝3,BD＝PC＝4,∠ADB＝∠APC＝150°,∠PAD＝60°,
∴△APD是等边三角形,
∴∠ADP＝60°,DP＝PA＝3,
∴∠PDB＝90°,
∴PB＝＝＝5.
(2)将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C,连接PP′,如图①所示,
则AP＝AP′,∠PAP′＝60°,∠AP′C＝∠APB＝360°－90°－120°＝150°,
∴△APP′是等边三角形,
∴PP′＝AP,∠AP′P＝∠APP′＝60°.
∵∠APC＝90°,∠AP′C＝150°,
∴∠PP′C＝90°,∠P′PC＝30°,
∴PP′＝PC,即AP＝PC.
∵∠APC＝90°,
∴AP2＋PC2＝AC2,即(PC)2＋PC2＝72,
∴PC＝2 ,∴AP＝,
∴S△APC＝AP·PC＝××2 ＝7 .
(3)如图②,把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD,连接PD.
由旋转的性质可知：BD＝PA＝1,CD＝PC＝2 ,∠CDB＝∠CPA,∠PCD＝90°,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴PD＝＝4,∠CDP＝∠CPD＝45°.
∵PD2＋BD2＝42＋12＝17,PB2＝()2＝17,
∴PD2＋BD2＝PB2,
∴∠PDB＝90°,
∴∠CDB＝135°,
∴∠CPA＝∠CDB＝135°.
又∵∠CPD＝45°,
∴∠CPA＋∠CPD＝180°,
∴A,P,D三点共线,
∴AD＝AP＋PD＝5,
在Rt△ADB中,AB＝＝＝.