[三角形全等的判定(二)(“SAS”)]
一、选择题
1.如图,已知AD平分∠CAB,若利用“SAS”证明△ACD≌△ABD,则需要添加的条件是 ( )
A.CD=BD B.∠CDA=∠BDA C.∠C=∠B D.AC=AB
2.下列三角形中全等的是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
3.如图,要用“SAS”证明△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需添加条件 ( )
A.∠B=∠D B.∠C=∠E C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
4.如图所示,已知AB∥DE,点B,E,C,F在同一直线上,AB=DE,BE=CF,∠B=32°,∠A=78°,则∠F等于( )
A.55° B.65° C.60° D.70°
5.如图,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则∠ABD等于
( )
A.∠EAC B.∠ADE C.∠BAD D.∠ACE
6.根据下列条件,能画出唯一的△ABC的是 ( )
A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.AB=5,AC=6,∠A=50° D.∠A=30°,∠B=70°,∠C=80°
二、填空题
7.如图,已知AB=BD,∠A=∠D,若要应用“SAS”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是 .
8.如图,小明和小丽为了测量池塘两端A,B两点之间的距离,先取一个可以直接到达点A和点B的点C,沿AC方向走到点D处,使CD=AC;再用同样的方法确定点E,使CE=BC.若量得DE的长为60米,则池塘两端A,B两点之间的距离是 米.
9.如图所示,已知AD∥BC,则∠1=∠2,理由是 ;又知AD=CB,AC为公共边,则△ADC≌△CBA,理由是 ,则∠DCA=∠BAC,理由是 ,则AB∥DC,理由是 .
三、解答题
10.如图,C是线段BD的中点,AB=EC,∠B=∠ECD.求证:△ABC≌△ECD.
11.如图,已知在△ABC中,D为BC上的一点,DA平分∠EDC,DE=DC.
求证:△AED≌△ACD.
12.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAG=∠DAF.
求证:BC=DE.
13.[2019·陕西] 如图,点A,E,F,B在直线l上,AE=BF,AC∥BD,且AC=BD.求证:CF=DE.
14.如图,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一只小石凳E,M,F,且BE=CF,M为BC的中点,试判断三只石凳E,M,F是否在一直线上,为什么
[类比迁移] 在四边形ABCD中,AB=AD.
(1)如图①,若∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系: .
(2)如图②,若∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图③,若∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,请直接写出EF,BE,FD三者的数量关系.
答案
1.D
2.A ①②符合证明三角形全等的判定方法“SAS”.③④中相等的角所对的边不相等,所以不可能全等.故选A.
3.C 还需添加条件∠1=∠2.
理由:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
4.D 因为AB∥DE,所以∠B=∠DEF.由条件BE=CF知BC=EF.结合条件AB=DE,可由“SAS”判定△ABC≌△DEF,所以∠F=∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(78°+32°)=70°.
5.D ∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD=∠ACE.
6.C 对于选项A来说,AB+BC
7.AC=DE
8.60 在△ACB和△DCE中,
∴△ACB≌△DCE(SAS).∴AB=DE.
∵DE=60米,∴AB=60米.
9. 两直线平行,内错角相等 SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等,两直线平行
10.证明:∵C是线段BD的中点,∴BC=CD.
在△ABC和△ECD中,
∴△ABC≌△ECD.
11.证明:∵DA平分∠EDC,
∴∠EDA=∠CDA.
在△AED和△ACD中,
∴△AED≌△ACD(SAS).
12.证明:∵∠BAG=∠DAF,
∴∠BAG+∠CAE=∠DAF+∠CAE,
即∠CAB=∠EAD.
在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴BC=DE.
13.证明:∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
即AF=BE.
∵AC∥BD,
∴∠CAF=∠DBE.
在△ACF和△BDE中,
∴△ACF≌△BDE(SAS).
∴CF=DE.
14.解:三只石凳E,M,F在一条直线上.理由:如图,连接ME,MF.
∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
∵M为BC的中点,∴BM=CM.
在△BEM和△CFM中,
∴△BEM≌△CFM(SAS).
∴∠BME=∠CMF.
∴∠EMF=∠BME+∠BMF=∠CMF+∠BMF=∠BMC=180°.
∴三只石凳E,M,F在一条直线上.
[素养提升]
解:(1)EF=BE+FD
(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.
证明:如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG和△ADF中,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD-∠EAF.
又∵∠EAF=∠BAD,
∴∠1+∠3=∠BAD=∠EAF,
即∠EAG=∠EAF.
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD.
(3)EF=BE-FD.[直角三角形全等的判定(“HL”)]
一、选择题
1.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等,所需的条件是 ( )
A.AC=A'C',BC=B'C' B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B' D.∠B=∠B',BC=B'C'
2.如图所示,∠C=∠D=90°,若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,则可添加的条件是 ( )
A.AC=AD B.AB=AB
C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
3.如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PE,PF相等,则△PEA与△PFA全等的依据是 ( )
A.HL B.ASA C.SSS D.SAS
4.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是( )
A.AC=DF,∠B=∠E B.∠A=∠D,∠B=∠E
C.AB=DE,AC=DF D.AB=DE,∠A=∠D
5.如图,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,BE与CF相交于点O,BE=CF,则图中全等三角形有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上,已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC=35°,则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE等于 ( )
A.60° B.55° C.65° D.35°
二、填空题
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要添加条件: .
8.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=AD,∠BAC=65°,则∠ACD的度数为 .
9.如图,PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB.若∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA的大小为 .
10.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点,且AB=PQ,当AP= 时,△ABC与△APQ全等.
三、解答题
11.已知:如图,在四边形ACBD中,∠C=∠D=90°,BC=BD.
求证:AC=AD.
12.如图,已知点A,B,C,D在同一条直线上,EA⊥AB,FD⊥AD,AB=CD,若用“HL”证明Rt△AEC≌△Rt△DFB,还需添加什么条件 写出你的证明过程.
13.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,如图果AD=AF,AC=AE,求证:BC=BE.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE,CD相交于点F,连接AF.
求证:(1)△AEB≌△ADC;
(2)AF平分∠BAC.
15.如图,在△ABC和△DEC中,AC=DC,AB=DE,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于点F,ED与AB,BC分别交于点M,H.求证:CF=CH.
[观察与类比] (1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF;
(2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
答案
1.C 2.A 3.A
4.B 选项A,D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF,选项C可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF,只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
5.C ①∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠CFB=∠BEC=90°.
在Rt△BCF和Rt△CBE中,
∴Rt△BCF≌Rt△CBE(HL).
②∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠AFC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(AAS).
③∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠OFB=∠OEC=90°.
∵△ABE≌△ACF,
∴AB=AC,AE=AF.
∴BF=CE.
在△BOF和△COE中,
∴△BOF≌△COE(AAS).
6.B 在Rt△ABC和Rt△DEF中,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴∠DEF=∠ABC=35°.
∴∠DFE=90°-35°=55°.
7.AB=AC 8.25°
9.55° ∵PA⊥ON,PB⊥OM,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴∠AOP=∠BOP=∠MON=25°.
∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=25°+30°=55°.
10.5或10 ∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.
分两种情况:①当AP=BC=5时,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当AP=CA=10时,
在Rt△ABC和Rt△PQA中,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综上所述,当AP=5或10时,△ABC与△APQ全等.
11.证明:连接AB.
∵∠C=∠D=90°,
∴△ABC和△ABD都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴AC=AD.
12.解:还需添加条件:EC=FB.
证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,
即AC=DB.
∵EA⊥AB,FD⊥AD,∴∠A和∠D都是直角.
在Rt△AEC和△Rt△DFB中,
∴Rt△AEC≌△Rt△DFB(HL).
13.证明:∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,∴∠D=∠F=90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
14.证明:(1)∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠AEB=∠ADC=90°.
在△AEB和△ADC中,
∴△AEB≌△ADC(AAS).
(2)∵△AEB≌△ADC,∴AE=AD.
在Rt△AEF和Rt△ADF中,
∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL).
∴∠EAF=∠DAF.∴AF平分∠BAC.
15.证明:在Rt△ABC和Rt△DEC中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).
∴∠A=∠D.
∵∠ACF=∠ACB-∠FCH,∠DCH=∠DCE-∠FCH,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACF=∠DCH.
在△AFC和△DHC中,
∴△AFC≌△DHC(ASA).
∴CF=CH(全等三角形的对应边相等).
[素养提升]
解:(1)证明:∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°.
在Rt△ACF和Rt△AEF中,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL).∴CF=EF.
在Rt△ADE和Rt△ABC中,
∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL).
∴DE=BC.
∵DF=DE+EF,
∴DF=BC+CF.
(2)BC=CF+DF.
证明:如图,连接AF.
在Rt△ABC和Rt△ADE中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).
∴BC=DE.
∵∠ACB=90°,∴∠ACF=90°=∠AED.
在Rt△ACF和 Rt△AEF中,
∴Rt△ACF≌△AEF(HL).
∴CF=EF.
∵DE=EF+DF,
∴BC=CF+DF.[三角形全等的判定(三)(“ASA”“AAS”)]
一、选择题
1.如图,已知AB=DE,∠B=∠E,为了直接用“ASA”说明△ABC≌△DEF,则需要添加的条件是 ( )
A.BC=EF B.∠A=∠D C.∠C=∠F D.AC=DF
2.如图,AD=AE,若直接用“ASA”证明△ABE≌△ACD,则需要添加的条件是 ( )
A.AB=AC B.∠B=∠C C.∠AEB=∠ADC D.BE=CD
3.如图,小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF,他画图的步骤是:(1)画DE=AB;(2)在DE的同旁画∠HDE=∠A,∠GED=∠B,DH,EG相交于点F,这样△DEF就是所要画的三角形,小强画图的依据是全等三角形判定方法中的 ( )
A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS
4.如图所示,三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形,那么这两个三角形完全重合的依据是 ( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
5.如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC
6.已知△ABC的六个元素,下列甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素,则与△ABC全等的三角形是( )
A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙
二、填空题
7.如图,已知AC=EC,∠ACB=∠ECD,要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC,应添加的条件是 .
8.如图,已知AB=BD,∠A=∠D,要直接应用“ASA”判定△ABC≌△DBE,应添加的条件是 .
9.要测量河岸相对两点A,B之间的距离,已知AB垂直于河岸BF,先在BF上取两点C,D,使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使点A,C,E在一条直线上,如图,测出DE=20米,则AB的长是 米.
10.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE=FE,AB=5,CF=3,则BD的长是 .
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=5 cm,则AE= cm.
三、解答题
12.已知:如图,点C,F在AD上,AF=DC,∠B=∠E,∠A=∠D.求证:AB=DE.
13.[2020·吉林] 如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且DB=AC,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.
求证:△DEB≌△ABC.
14.如图,A,B,C,D四点在同一直线上,且AF∥DE,BF∥CE,AC=BD.
求证:△ABF≌△DCE.
15.如图,AD∥BC,AB⊥BC于点B,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度数;
(2)若AB=AD,求证:DE=BF+EF.
[截长补短法] 如图,已知AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,过点E的直线分别交AP,BC于点D,C.求证:AD+BC=AB.
答案
1.B 2.C 3.A 4.D
5.C 选项A中添加AB=DE可用“AAS”进行判定,故本选项不符合题意;
选项B中添加AC=DF可用“AAS”进行判定,故本选项不符合题意;
选项C中添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF,故本选项符合题意;
选项D中添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用“ASA”进行判定,故本选项不符合题意.
故选C.
6.D 7.∠B=∠D
8.∠ABC=∠DBE
9.20
10.2 ∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE.
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AD=CF=3.
∴BD=AB-AD=5-3=2.
11.3 ∵∠ACB=90°,∴∠ECF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B.
在△ABC和△FCE中,
∴△ABC≌△FCE(ASA).∴AC=FE.
∵AE=AC-CE,BC=2 cm,EF=5 cm,
∴AE=5-2=3(cm).
12.证明:∵AF=DC,∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AB=DE.
13.证明:∵DE∥AC,∴∠EDB=∠A.
在△DEB和△ABC中,
∴△DEB≌△ABC(SAS).
14.证明:∵AF∥DE,∴∠A=∠D.
∵BF∥CE,∴∠FBC=∠ECB.
∵∠ABF+∠FBC=180°,∠DCE+∠ECB=180°,∴∠ABF=∠DCE.
∵AC=BD,∴AC-BC=BD-BC,
即AB=DC.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(ASA).
15.解:(1)∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠BAD=90°.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠BFA=∠AED=90°.
∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°.
∴∠DAE=∠ABF=63°.∴∠ADE=27°.
(2)证明:由(1)得∠DAE=∠ABF,∠AED=∠BFA=90°.
在△DAE和△ABF中,
∴△DAE≌△ABF(AAS).
∴AE=BF,DE=AF.
∴DE=AF=AE+EF=BF+EF.
[素养提升]
证明:如图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,
∴△DAE≌△FAE(SAS).
∴∠ADE=∠AFE.
∵AD∥BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
又∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠CBA,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,
∴△BEF≌△BEC(AAS).
∴BF=BC.
∴AD+BC=AF+BF=AB.[三角形全等的判定(一)(“SSS”)]
一、选择题
1.在如图所示的三角形中,与中的△ABC全等的是 ( )
2.如图,AB=DE,AC=DF,BC=EF,则∠D的度数为 ( )
A.30° B.50° C.60° D.100°
3.如图,已知AB=AD,若利用“SSS”证明△ABC≌△ADC,则需要添加的条件是 ( )
A.AC=AC B.∠B=∠D C.BC=DC D.AB=CD
4.下面是黑板上出示的尺规作图题,需要回答横线上符号代表的内容.
如图,已知∠AOB,求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:(1)以 △ 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;
(2)作射线EG,并以点E为圆心, ○ 长为半径画弧交EG于点D;
(3)以点D为圆心, 长为半径画弧交前弧于点F;
(4)作 ,则∠DEF即为所求作的角.
则下列回答正确的是 ( )
A.△表示点E B.○表示ED C. 表示OP D. 表示射线EF
5.观察中的尺规作图痕迹,下列说法错误的是 ( )
A.∠DAE=∠EAC B.∠C=∠EAC C.AE∥BC D.∠DAE=∠B
6.如图,点A,E,B,F在同一直线上,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE中,可利用的是 ( )
A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④
7.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD
B.△ABD≌△ACE
C.∠C=30°
D.∠1=70°
二、填空题
8.如图,已知AD=BC,AB=CD,若∠C=40°,则∠A= °.
9.如图,CA=CD,AB=DE,BC=EC,AC与DE相交于点F,ED与AB相交于点G.若∠ACD=40°,则∠AGD= °.
10.如图,若AB=AC,BD=CD,∠A=80°,∠BDC=120°,则∠B= °.
11.如图,已知△ABC(AC>AB),DE=BC,以D,E为顶点作三角形,使所作的三角形与△ABC全等,则这样的三角形最多可以作出 个.
三、解答题
12.如图,点D,A,E,B在同一直线上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.
13.如图,已知∠α,∠β(∠α>∠β),求作一个角,使它等于∠α-∠β.(不写作法,保留作图痕迹,不在原图的基础上作图)
14.思考:一个平分角的仪器如图①所示,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,则AE就是这个角的平分线,请说明理由.
迁移应用:工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如图下:如图②,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.求证:∠MCD=∠NCD.
[操作探究] 如图果将四根木条首尾相连,在相连处用螺钉连接,就能构成一个平面图形.
(1)若固定三根木条AB,BC,AD不动,AB=AD=2 cm,BC=5 cm,如图,量得第四根木条DC=5 cm,判断此时∠B与∠D是否相等,并说明理由;
(2)若固定一根木条AB不动,AB=2 cm,量得木条CD=5 cm,如图果木条AD,BC的长度不变,当点D移到BA的延长线上时,点C也在BA的延长线上;当点C移到AB的延长线上时,点A,C,D能构成周长为30 cm的三角形,求出木条AD,BC的长度.
答案
1.C
2.D 在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.
∵∠A=180°-∠B-∠C=100°,
∴∠D=100°.
3.C 4.D
5.A 根据图中尺规作图的痕迹,可得∠DAE=∠B,故D选项正确,∴AE∥BC,故C选项正确.∴∠C=∠EAC,故B选项正确.
∵∠DAE=∠B,∠EAC=∠C,而∠C与∠B的大小关系不确定,∴∠DAE与∠EAC的大小关系不确定.故选A.
6.A 由题意可得,要用“SSS”判定△ABC和△FED全等,需要AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;若添加AB=FE,则可直接用“SSS”证明两三角形全等,故②可以;而③④都不可以.
7.C ∵BE=CD,
∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
由题意易证:△ABE≌△ACD,故A,B正确.
由△ABE≌△ACD可得∠B=∠C.
∵∠2=∠BAE+∠B,
∴∠B=∠2-∠BAE=110°-60°=50°.
∴∠C=∠B=50°.
故C错误.
∵△ABE≌△ACD(已证),
∴∠1=∠AED=180°-∠2=70°.
故D正确.故选C.
8.40 如图,连接DB.
在△ADB和△CBD中,
∴△ADB≌△CBD(SSS).
∴∠A=∠C=40°.
9.40 在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SSS).
∴∠A=∠D.
又∵∠AFG=∠DFC,
∴∠AGD=∠ACD=40°.
10.20 如图,过点D作射线AF.
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(SSS).
∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C.
∵∠BDF=∠B+∠BAD,∠CDF=∠C+∠CAD,
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD,
即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.
∵∠BAC=80°,∠BDC=120°,
∴∠B=∠C=20°.
11.4 能画4个,分别是:以点D为圆心,AB长为半径画圆;以点E为圆心,AC长为半径画圆,两圆相交于两点(DE上下各一个),分别与点D,E连接后,可得到两个三角形.以点D为圆心,AC长为半径画圆;以点E为圆心,AB长为半径画圆,两圆相交于两点(DE上下各一个),分别与点D,E连接后,可得到两个三角形.因此最多能画出4个三角形与△ABC全等.如图.
12.证明:∵DA=EB,
∴DA+AE=EB+AE,即DE=AB.
在△DEF和△ABC中,
∴△DEF≌△ABC(SSS).
∴∠F=∠C.
13.解:如图,∠AOB即为所求.
14.解:思考:在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
∴AE是∠BAD的平分线.
迁移应用:证明:在△OMC和△ONC中,
∴△OMC≌△ONC(SSS).
∴∠MCO=∠NCO.
∵∠MCO+∠MCD=180°,∠NCO+∠NCD=180°,
∴∠MCD=∠NCD.
[素养提升]
解:(1)相等.
理由:如图,连接AC.
在△ACB和△ACD中,
∴△ACB≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠D.
(2)设AD=x cm,BC=y cm.
当点C,D均在BA的延长线上且点C在点D右侧时,由题意,得
解得
此时AD=13 cm,BC=10 cm.
经检验,符合题意.
当点C,D均在BA的延长线上且点C在点D左侧时,由题意,得
解得此时AD=8 cm,BC=15 cm.
∵5+8<2+15,
∴不合题意.
综上,AD=13 cm,BC=10 cm.