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全等三角形专题复习
【目标导学】
1、进一步熟悉全等三角形的概念和性质，能正确识别全等三角形中的对应边、对应角；
2、会正确选用恰当的方法证明两个三角形全等；
3、能综合运用三角形全等的性质和判定方法证明（计算）线段或角之间的关系。
【自主学习+合作交流】知识点梳理
一、全等三角形的概念和性质：【目标1】
1、_________的两个三角形全等。
2、全等三角形的_____ 相等； _____ 相等； 相等； 相等。
温馨提示：1、表示两个三角形全等时需注意对应字母 。
1、如图所示，△ABC≌△AEF，则下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.
其中正确的是
二、全等三角形的判定：【目标2】
1、证明全等三角形的基本思路：
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
找夹边（ ）
找夹边外任意一边（ ）
温馨提示：证明三角形全等时要根据已知条件选择合适的方法。
1、如图，∠B=∠DEF, BE= CF, 补充条件，使得ΔABC≌ ΔDEF。
(1) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(2) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(3) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(4) 若补充条件AC=DF，则 ΔABC与 ΔDEF一定全等吗？
2、如图，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF；
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
三、全等三角形的综合应用：【目标3】
1．（2010河南17题）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB’O≌△CDO．
考查知识点：
2、（2011河南17题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M.
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长.
考查知识点：
3、四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)， 以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断。
考查知识点：
【评价促学】
1、 如图，已知△ABC≌△DEF，AC=2cm，AB=1.5cm，
∠A=95°∠B=50°，那么DF= cm，
∠D= 度。
2、如图，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，
需添加的条件不能是（ )
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E；
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明
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全等三角形专题复习
【目标导学】
1、进一步熟悉全等三角形的概念和性质，能正确识别全等三角形中的对应边、对应角；
2、会正确选用恰当的方法证明两个三角形全等；
3、能综合运用三角形全等的性质和判定方法证明（计算）线段或角之间的关系。
重点：全等三角形的性质及判定方法。
难点：1、证明三角形全等的方法；
2、应用三角形全等及性质解决实际问题。
【自主学习+合作交流】知识点梳理
一、全等三角形的概念和性质：【目标1】
1、_________的两个三角形全等。
2、全等三角形的_____ 相等； _____ 相等； 相等； 相等。
温馨提示：1、表示两个三角形全等时需注意对应字母 。
1、如图所示，△ABC≌△AEF，则下列结论：
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.
其中正确的是
二、全等三角形的判定：【目标2】
1、证明全等三角形的基本思路：
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
找夹边（ ）
找夹边外任意一边（ ）
温馨提示：证明三角形全等时要根据已知条件选择合适的方法。
1、如图，∠B=∠DEF, BE= CF, 补充条件，使得ΔABC≌ ΔDEF。
(1) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(2) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(3) 若要以 为依据，可补充条件 ；
(4) 若补充条件AC=DF，则 ΔABC与 ΔDEF一定全等吗？
2、如图，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF；
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
三、全等三角形的综合应用：【目标3】
1．（2010河南17题）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB’O≌△CDO．
考查知识点：
2、（2011河南17题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M.
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长.
考查知识点：
3、四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)， 以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断。
考查知识点：
【评价促学】
1、 如图，已知△ABC≌△DEF，AC=2cm，AB=1.5cm，
∠A=95°∠B=4O°，那么DF= cm，
∠D= 度。
2、如图，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，
需添加的条件不能是（ )
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E；
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明
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全等三角形专题复习
郑州市第六十六中学 王晓燕
说课内容
说教材
1
说教法
2
说学法
3
说教学过程
4
说板书设计
5
说教材
（一）、教材的地位和作用
全等三角形是数学中解决几何问题的最重要的手段，主要内容包括全等三角形的定义、判定及性质，探索解决一些与全等有关的实际问题，综合性问题，本单元蕴含着丰富的数学思想方法、数学建模方法等。全等三角形是中考必考的内容，在近三年中考中有12分的题目，主要考查学生对全等三角形的判定及性质的掌握情况以及应用全等三角形的性质和判定进行简单的推理和计算，解决实际问题等。本节内容也是学生今后学习其它数学知识的重要基础。
说教材
(二)课标、考纲要求
１、新课标要求：
(1) 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；
(2) 掌握两个三角形全等的条件。
2、考纲要求:
(1)会运用三角形全等的性质和判定进行简单的推理和计算；
(2)能运用三角形全等的知识解决简单的实际问题和综合性问题。
说教材
（三）学情分析
心理上：九年级学生思维活跃，对未知世界充满好奇，乐于完成富有挑战性的任务，喜欢将所学知识和已有经验、生活实际相联系，愿意表达自己的观点。能在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，提高有条理地思考与表达的能力。认知上：学生在学习了空间与图形的基本知识，积累了一定的活动经验，掌握一定的图形性质后，已具备一定的观察、计算、分析、归纳、推理等能力，但还需要巩固和提高，特别是学生用综合法进行证明和计算的能力，更需要进一步培养。
说教材
学习目标
1、进一步熟悉全等三角形的概念和性质，能正确识别全等三角形中的对应边、对应角；
2、会正确选用恰当的方法证明两个三角形全等；
3、能综合运用三角形全等的性质和判定方法证明（计算）线段或角之间的关系。
根据本节内容在课标、考纲中的要求和地位，结合学生实际，我把本节课的学习目标定为：
说教材
Text
Text
Text
教学重点
教学难点
重点
全等三角形的性质及判定方法 。
难点
1、证明三角形全等的方法；
2、应用三角形全等及性质解决实际问题。
说教法
由于本节内容是证明的重要知识，中考必考，考试题型以解答题为主，解题方法有规律， 因此我采用经典教学法，意图以点带面，实现学一题，会一类，懂一片。在教学过程中我以经典题为依据，引导学生通过观察、分析、思考、讨论解决问题，反思归纳获得解题思路和方法，并通过评价促学来巩固和检测所学的知识和解题的方法。
说学法
在学习过程中，学生根据问题，回顾相关知识，不断的思考、讨论、交流、反思小结，
小组合作学习
通过自主学习、小组合作交流、展示点评等方法来突破难点，从而达成目标。
说教学过程
目标导学
主动自学
小组互学
评价促学
从近几年的中考题来看，全等三角形占有重要的地位。
时间 全等三角形相关题型 分值 所占比重
2010年 17题
22（1） 9分
3 10%
2011年 15题
17题 3分
9分 10%
2012年 15题
18题 3分
9分 10%
目标导学
设计意图：使学生明确本单元在中考中考察的知识点及所占分值，为学生指明复习方向。
1、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、 对应角；
2、掌握两个三角形全等的条件。
学习目标
1、进一步熟悉全等三角形的概念和性质，能正确识别全等三角形 中的对应边、对应角； 2、会正确选用恰当的方法证明两个三角形全等；
3、能综合运用三角形全等的性质和判定方法证明（计算）线段或角之间的关系。
课标要求
目标导学
设计意图：学习目标是教学的出发点和归宿，是评价学生学习成效和教学质量的依据
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
(2)已知一边一角---
已知一边和它的邻角
找是否有直角
(HL或SAS)
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角
找这个角的另一个边
找这边的对角
找一角
已知角是直角，找一边
(3)已知两角---
找两角的夹边
找夹边外的任意边
(ASA)
(SAS)
(AAS)
(AAS)
(HL)
(ASA)
(AAS)
证明三角形全等时要根据已知条件选择合适的方法。
主动自学
设计意图：帮助学生构建全等三角形的知识体系，有助于学生把零散的知识整合在一起。同时总结知识点之后及时检测，完成学习目标1和2，并突破本节课重点。
小组互学、解疑助学
3、四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)， 以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断。
设计意图：全等三角形的综合应用题即是本节课的难点，也是中招考试必考考点，选用此题作为经典题，主要原因是：从试题结构讲：本题是一道解答题，解决的核心知识主要是全等三角形的知识，涉及到全等三角形的判定与性质，有利于学生通过此题的解答从而复习巩固更多相关知识；从考查的目的讲：此题的设计紧紧扣住课程标准和考试说明，能够通过此题的考查反映学生对标准的达标程度；
时间：10分钟
内容及要求：
1、错题先自己订正；
2、自己解决不了的问题找其他同学帮助；
3、完善做题过程后让让同伴检查评价数学过程是否完整；
4、5分钟后抽小组成员板书第三题并讲解。
小组互学、解疑助学
从考查的内容讲：此题既考查了三角形全等的判定也考查了三角形全等的性质；从学生的能力方面讲，此题不仅考查了学生的判断能力，也考查了学生的分析推理和验证能力。本环节通过学习自主学习，合作交流，展示点评等过程的实施使学生反思归纳获得解题思路和方法，完成学习目标3，同时突破本节课难点
1.利用三角形全等解决角、线段的有关计算与证明或判断直线的位置关系，一般需要先识别出或作出全等三角形，进而利用其性质解题；
2.运动变化图形中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
解疑助学
设计意图：总结解题思路和方法，实现学一题，会一类，懂一片。
全等三角形
性质
概念
判定
求线段长、角度
证明线段、角的
和、差、倍、分关系
确定线段的位置
关系
评价促学
1、如图1，已知△ABC≌△DEF，
AC=2cm，AB=1.5cm，∠A=95°
∠B=4O°，那么DF= cm，
∠D= 度。
2、如图，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，
需添加的条件不能是（ )
F
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
评价促学
3.在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E;
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明.
评价促学
设计意图：及时掌握学生反馈的信息，总结本节课是否达到了预期的目的，及时地对教学中的"得"与"失"进行认真而全面地分析和总结。此环节在教学中起着举足轻重的作用。
全等三角形
板书设计
性质
概念
判定
解：
解：
解：(共15张PPT)
全等三角形专题复习
郑州市第六十六中学 王晓燕
从近几年的中考题来看，全等三角形占有重要的地位。
时间 全等三角形相关题型 分值 所占比重
2010年 17题
22（1） 9分
3 10%
2011年 15题
17题 3分
9分 10%
2012年 15题
18题 3分
9分 10%
全等三角形与其他知识综合的探究题、图形变换是命题的方向。
1、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；
2、掌握两个三角形全等的条件。
学习目标
1、进一步熟悉全等三角形的概念和性质，能正确识别全等三角形中的对应边、对应角； 2、会正确选用恰当的方法证明两个三角形全等；
3、能综合运用三角形全等的性质和判定方法证明（计算）线段或角之间的关系。
课标要求
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
(2)已知一边一角---
已知一边和它的邻角
找是否有直角
(HL或SAS)
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角
找这个角的另一个边
找这边的对角
找一角
已知角是直角，找一边
(3)已知两角---
找两角的夹边
找夹边外的任意边
(ASA)
(SAS)
(AAS)
(AAS)
(HL)
(ASA)
(AAS)
证明三角形全等时要根据已知条件选择合适的方法。
类型1：轴对称型 在这个基本图形中要注意基本的一些轴对称图形，例如等腰三角形，并且要注意图形的对称轴。
全等三角形中的基本图形
类型2：旋转对称型 在这个基本图形中要注意的是一些本身具有旋转对称或中心对称性质的图形，同时需要多关注的是旋转角往往是解决问题的关键。
全等三角形中的基本图形
类型3：平移型 在这个基本图形中，平行线无疑是解决问题的关键。
全等三角形中的基本图形
类型4：在很多的三角形全等问题中，往往混合了多种的图形运动，因此，往往会总和之前几种基本图形，例如旋转平移型。这时就需要对之前的一些解决问题的基本方法进行综合的运用。
全等三角形中的基本图形
小组互学（时间：10分钟）
内容及要求：
1、错题先自己订正；
2、自己解决不了的问题找其他同学帮助；
3、完善做题过程后让让同伴检查评价数学过程是否完整；
4、5分钟后抽小组成员板书第三题并讲解。
1.利用三角形全等解决角、线段的有关计算与证明或判断直线的位置关系，一般需要先识别出或作出全等三角形，进而利用其性质解题；
2.运动变化图形中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
全等三角形
性质
概念
判定
求线段长、角度
证明线段、角的
和、差、倍、分关系
确定线段的位置
关系
1、如图1，已知△ABC≌△DEF，
AC=2cm，AB=1.5cm，∠A=95°
∠B=4O°，那么DF= cm，
∠D= 度。
2、如图，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，
需添加的条件不能是（ )
F
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
D
2
95
3.在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E;
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明.
（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC和Rt△CEB中，
∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）证明：在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE； （3）DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同
