苏教版(2019)选择性必修第一册1.5.1 平面上两点间的距离 同步练习（Word版含解析）

1.5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　两点间的距离公式及应用
1.设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得PA=5,则x等于(　　)
A.0　　　　B.6　　　　
C.0或6　　　　D.0或-6
2.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于,则实数m的取值范围是　　　　　.
3.已知点M(-1,3)和点N(5,1),点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是　　　　.
4.如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
题组二　中点坐标公式的应用
5.直线l1:kx-y-2k+4=0与x轴交于点M,直线l2:x+ky-4k-2=0与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为(　　)
A.2x-y=0　　　　B.x+2y-5=0 C.2x+y=0　　　　D.2x+y-4=0
6.点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为　　　.
7.已知菱形的三个顶点的坐标分别为(0,0),(a,b),(-b,a),则第四个顶点的坐标为　　　　.
题组三　与对称有关的问题
8.(2020宁夏大学附属中学期末)若点P(3,4)和点Q(a,b)关于直线x-y-1=0对称,则(　　)
A.a=5,b=2　　　　B.a=2,b=-1 C.a=4,b=3　　　　D.a=1,b=-2
9.某光线l从P(2,1)射出,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线l所在直线的方程为　(　　)
A.y=0　　　　B.x-2y+5=0 C.2x+y-5=0　　　　D.2x-y+5=0
10.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
能力提升练
题组一　两点间的距离及中点坐标公式的应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏靖江第一高级中学月考)已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.4x+2y=5　　　　B.4x-2y=5
C.x+2y=5　　　　D.x-2y=5
2.已知点A(-1,2),B(3,4),P是x轴上一点,且PA=PB,则△PAB的面积为　　　　.
3.直线l过点P(1,4),且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当OA+OB最小时,求l的方程;
(2)当PA·PB最小时,求l的方程.
题组二　与对称有关的问题
4.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,则与点(5,8)重合的点是(　　)
A.(6,7)　　　　B.(7,6)　　　　
C.(-5,-4)　　　　D.(-4,-5)
5.已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为(　　)
A.2　　　　B.6 C.
6.直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为　　　　　　.
7.(2020江西南昌新建一中月考)已知直线l1:3x-y-1=0及点A(1,7)和B(0,4),Q为l1上一动点.
(1)求AQ+BQ的最小值,并求出此时点Q的坐标;
(2)在(1)的条件下,直线l2经过点Q且与x轴、y轴的正半轴分别交于C、D两点,当直线l2与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时,求直线l2的方程.
题组三　运用坐标法解决平面几何问题
8.(2020山东潍坊一中月考)函数f(x)=的最小值等于　　　　.
9.在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AD2+DC2).
答案全解全析
基础过关练
1.C　由PA=5,得(3-x)2+(4-0)2=25,解得x=6或x=0.
2.答案　∪(2,+∞)
解析　由题意及两点间的距离公式可得PQ=.
∴5m2-6m-8>0,∴m<-或m>2.
3.答案　3x-y-4=0
解析　由PM=PN,得,即3x-y-4=0.
4.解析　(1)解法一:
∵AB=,
AC=,
BC=,
∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
解法二:∵kAC=,
∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.
又AC=,
AB=,
∴AC=AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)S△ABC=AC·AB=)2=26,
∴△ABC的面积为26.
5.B　由题意得M,因此P,满足x+2y-5=0,故选B.
6.答案　10
解析　设A(x,0),B(0,y),
因为AB的中点M的坐标是(3,4),
所以由中点坐标公式得x=6,y=8,
所以点A(6,0),B(0,8),
则由两点间的距离公式得AB==10.
7.答案　(a-b,a+b)
解析　设第四个顶点的坐标为(x0,y0),
令A(a,b),B(-b,a),C(0,0),D(x0,y0).
由菱形的相邻两边长度相等和AC=BC,AC⊥BC,
可知AB为对角线,则AB的中点和CD的中点重合.
由中点坐标公式得解得
所以第四个顶点的坐标为(a-b,a+b).
8.A　由题意得解得故选A.
9.C　记Q(4,3)关于x轴的对称点为Q',则Q'(4,-3),
所以直线PQ':,即2x+y-5=0.
因此入射光线l所在直线的方程为2x+y-5=0.
故选C.
10.解析　(1)设A'(x0,y0),
则解得
即A'.
(2)在直线m上任取一点,如取M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在直线m'上.
设点M的对称点为M'(a,b),
则
解得即M'.
设直线m与l的交点为N,
联立得N(4,3).
又直线m'经过点N(4,3),
∴由直线的两点式方程得,即9x-46y+102=0.
(3)解法一:在直线l上任取两点,如取P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上.
易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由直线的两点式方程可得l'的方程为,即2x-3y-9=0.
解法二:设Q(x,y)为l'上任意一点,
设Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q',则Q'(-2-x,-4-y),
∵Q'在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
能力提升练
1.B　线段AB的中点坐标为,因为直线AB的斜率k=,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2.由直线的点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.
2.答案　
解析　设AB的中点为M,则M(1,3),
kAB=,
所以AB的中垂线方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
令y=0,得x=,即P点的坐标为,
AB=,
等腰△PAB的底边AB上的高PM=,
所以S△PAB=AB·PM=.
3.解析　依题意知,l的斜率存在,且斜率为负,
设直线l的斜率为k(k<0),
则直线l的方程为y-4=k(x-1).
令y=0,可得A;
令x=0,可得B(0,4-k).
(1)OA+OB=≥5+4=9,
当且仅当-k=且k<0,
即k=-2时,等号成立,
这时OA+OB取最小值,l的方程为2x+y-6=0.
(2)PA·PB=·≥8,
当且仅当=-k且k<0,即k=-1时,等号成立,
这时PA·PB取最小值,l的方程为x+y-5=0.
4.A　记A(2,0),B(-2,4).由已知得折线为线段AB的垂直平分线,
AB的中点C的坐标为(0,2),AB所在直线的斜率为=-1,
故折线的斜率为1,故折线的方程为y=x+2,
设点(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),
则解得
故选A.
5.C　直线AB的方程为x+y=3,
点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2),
设点P1(0,-2)关于直线AB的对称点为P2(a,b),在x轴上的反射点记为点Q,在AB上的反射点记为点M,如图,
则kAB·=-1·=-1①,且P1P2的中点在直线x+y=3上,
所以=3②,联立①②,解得a=5,b=3,
即P2(5,3),
根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为
PQ+QM+MP=P1Q+QM+MP=P1M+MP=MP2+MP=P2P=.故选C.
6.答案　x-3y-11=0
解析　设M(x,y)是所求直线上的任一点,点M关于直线x-y-2=0的对称点为N(m,n),
则解得
即N(y+2,x-2).
因为N点在直线3x-y+3=0上,所以将(y+2,x-2)代入3x-y+3=0,
得3(y+2)-(x-2)+3=0,
整理得 x-3y-11=0.
7.解析　(1)设B关于直线l1的对称点为B'(x0,y0),
则解得即B'(3,3),
∴(AQ+BQ)min=(AQ+B'Q)min=AB'=,
此时,kAB'==-2,
∴AB'的方程为y-3=-2(x-3),
即2x+y-9=0,
联立
解得即Q(2,5).
(2)设O为坐标原点,由(1)及题意可设直线l2的方程为y-5=k(x-2)(k<0),
令y=0,则x=-+2,
令x=0,则y=5-2k,
由题意知-+2>0,5-2k>0,则S△OCD=≥10+10=20,当且仅当-2k=且k<0,即k=-时,等号成立,此时S△OCD取得最小值,
∴直线l2的方程为y-5=-(x-2),即5x+2y-20=0.
8.答案　
解析　由于f(x)=,因此f(x)表示点P(x,0)到两点A(0,-1),B(2,2)的距离的和,当P,A,B三点共线时,f(x)取得最小值,最小值为AB=,故函数f(x)的最小值为.
9.证明　以BC边所在直线为x轴,D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示.
设A(b,c),C(a,0),
则B(-a,0).
∵AB2=(a+b)2+c2,AC2=(a-b)2+c2,AD2=b2+c2,DC2=a2,
∴AB2+AC2=2(a2+b2+c2),AD2+DC2=a2+b2+c2,
∴AB2+AC2=2(AD2+DC2).
解题模板
　　利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤:
(1)建立平面直角坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上.
(2)用坐标表示有关的量.
(3)将几何关系转化为坐标运算.
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.