苏教版(2019)选择性必修第一册1.5.2 点到直线的距离 同步练习（Word版含解析）

1.5.2　点到直线的距离
基础过关练
题组一　点到直线的距离　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏宿迁泗阳中学阶段测试)点A(-1,2)到直线y=-2x+10的距离是(　　)
A.
2.(2020江苏连云港学情调研)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)　　　　D.(2,1)或(-1,2)
3.(2020天津一中期中)过点P(1,2)作直线l,使两点A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程是(　　)
A.4x+y-6=0
B.x+4y-6=0
C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
D.4x+y-6=0或3x+2y-7=0
4.(2020江苏盐城阜宁中学期中)设点P在直线x+3y=0上,且点P到原点的距离与点P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P的坐标是　　　　　　.
5.已知点A(a,6)到直线3x-4y-2=0的距离为4,则点A的坐标为　　　　.
题组二　两平行线间的距离
6.(2020江苏南京大厂高级中学期中)已知直线l1:3x-4y-2=0和直线l2:3x-4y+3=0,则l1与l2之间的距离为(　　)
A.1　　　　B.　　　　
C.2　　　　D.3
7.(2020江苏盐城射阳中学期中)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+2=0平行,则它们之间的距离为 (　　)
A.1　　　　B.
8.(2020江苏连云港东海石榴高级中学阶段测试)求与直线l:5x-12y+6=0平行且到直线l的距离为2的直线方程.
题组三　距离公式的综合应用
9.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为(　　)
A.(0,5]　　　　B.(0,5) C.(0,+∞)　　　　D.(0,]
10.已知正方形的某两边所在的直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为　　　　.
11.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
能力提升练
题组一　距离公式及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020安徽六安一中月考)已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+1=0平行,则l1与l2之间的距离为(　　)
A.3
2.(多选)(2020江苏泰州姜堰第二中学期中)如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是(　　)
A.距离坐标为(0,0)的点只有1个
B.距离坐标为(0,1)的点有2个
C.距离坐标为(1,2)的点有4个
D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上
3.(2020浙江杭州期末)已知两点A(1,6)到直线l的距离均等于a,且这样的直线可作4条,则a的取值范围是　　　　.
4.(2022江苏淮安淮阴期末)直线l经过点P(1,2),且分别与直线l1:x-y+1=0和l2:x-y-3=0相交于A,B两点,若AB=4,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
5.(2020江苏南京秦淮高级中学月考)求两直线l1:4x-3y+1=0和l2:12x+5y+13=0夹角的平分线所在直线的方程.
题组二　利用距离公式求解最值问题
6.(2020江苏盐城大丰高级中学期中)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则的最小值为　　(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.9
7.(2020江苏南京高淳高级中学月考)当点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d最大时,d与a的值依次为(　　)
A.3,-3　　　　B.5,2
C.5,1　　　　D.7,1
8.(2020江苏南京江宁高级中学学情检测)若实数x,y满足关系x+y+1=0,则的最小值为　　　　.
9.(2020江苏苏州田家炳高级中学期中)已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R.
(1)当m变化时,求点Q(3,4)到直线的距离的最大值;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此时的直线方程.
答案全解全析
基础过关练
1.C　将直线y=-2x+10化为2x+y-10=0,则点A(-1,2)到直线y=-2x+10的距离d=.故选C.
2.C　设点P的坐标为(x,5-3x),
则由点到直线的距离公式,得,
即|4x-6|=2,∴4x-6=±2,
∴x=1或x=2,∴点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选C.
3.D　当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不成立;
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0,
∵两点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,
∴,
解得k=-4或k=-,
∴直线l的方程为-4x-y+4+2=0或-+2=0,
整理,得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.故选D.
易错警示
　　注意设直线方程时,需要分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.
4.答案　或
解析　设P(-3a,a),
由题意得,
即10a2=,解得a=±,
故P或.
5.答案　(2,6)或
解析　根据点到直线的距离公式得=4,解得a=2或a=.
故点A的坐标为(2,6)或.
6.A　由题意可知两直线平行,由两平行线间的距离公式得=1.故选A.
7.D　依题意可得3m-4×6=0,且4×2+3m≠0,解得m=8,
所以直线6x+my+2=0的方程为6x+8y+2=0,即3x+4y+1=0,
则两平行线间的距离为.故选D.
8.解析　解法一:设所求直线方程为5x-12y+C=0(C≠6),
在直线5x-12y+6=0上取一点P0,
则点P0到直线5x-12y+C=0的距离为
,
由题意,得=2,所以C=32或C=-20,
故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
解法二:设所求直线方程为5x-12y+C=0(C≠6),
由两平行线间的距离公式,
得2=,
解得C=32或C=-20,
故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
9.A　易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得PQ==5,故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5].
10.答案　2
解析　由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d=,所以正方形的面积为2.
11.解析　(1)由题可知,直线BC过B(2,3),C(3,-2),∴其方程为,化简得5x+y-13=0,∴BC边所在直线的方程为5x+y-13=0.
(2)由题可知BC=,A(1,1)到直线BC的距离d=,
∴S△ABC=·BC·d=,∴△ABC的面积为.
能力提升练
1.C　因为l1∥l2,所以a(a-1)-2×1=0,解得a=2或a=-1.
当a=2时,l1,l2的方程均为x+2y+1=0,此时两直线重合,不符合条件;
当a=-1时,l1:-2x+2y+1=0,即x-y-=0,l2:x-y+1=0,符合条件.
所以l1与l2之间的距离为.
故选C.
2.ABC　对于A,若距离坐标为(0,0),则P到两条直线的距离都为0,则P为两直线的交点,所以距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;
对于B,若距离坐标为(0,1),则P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,所以P在直线l1上,且P到直线l2的距离为1,符合条件的点有2个,B正确;
对于C,若距离坐标为(1,2),则P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,符合条件的点有4个,C正确;
对于D,若距离坐标为(x,x),则P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线(∠MON的平分线及其外角的平分线所在直线)上,D错误.
故选ABC.
3.答案　0解析　如图所示:
当A,B在直线的同一侧时,可作2条符合题意的直线,
所以若符合题意的直线有4条,则当A,B两点在直线的两侧时,还应该有2条符合题意的直线,
所以2a因为AB==2,
所以0<2a<2,所以04.答案　x-y+5=0或x=1
解析　直线l1:x-y+1=0和l2:x-y-3=0之间的距离d==2,
过点A作AC⊥l2于C,所以AC=2.
因为AB=4,
所以l与l2的夹角为30°,易知直线l2的倾斜角为60°,故直线l的倾斜角为30°或90°.
当直线l的倾斜角为30°时,其斜率k=,则直线l的方程为y-2(x-1),即x-y+5=0;
当直线l的倾斜角为90°时,其斜率不存在,此时直线l的方程为x=1,
所以直线l的方程为x-y+5=0或x=1.
5.解析　设P(x,y)是l1与l2夹角的平分线上任意一点,则点P到直线l1,l2的距离相等,
即,
化简得2x+16y+13=0或56x-7y+39=0.
易知2x+16y+13=0是l1与l2夹角的补角的平分线所在直线的方程,故舍去.
故l1与l2夹角的平分线所在直线的方程为56x-7y+39=0.
6.B　动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),∴a+bm+c-2=0.
又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,
∴=3,解得m=0.
∴a+c=2.
∴≥,当且仅当a=时取等号.故选B.
7.C　易知直线恒过点(-3,3),记A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与A,P两点所在直线垂直时,距离d最大,最大值为5,此时a=1.
8.答案　
解析　,
此式可看成一个动点M(x,y)与一个定点N(1,1)之间的距离,记S=,
所以S为点N与直线l:x+y+1=0上任意一点M(x,y)之间的距离,
由点到直线的距离公式,可得,
所以S的最小值为.
解题模板
　　形如(x-a)2+(y-b)2的形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题,结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.
9.解析　(1)直线l的方程可化为2x+y+4+(-x+2y+3)m=0,由题意知,其对任意m都成立,
所以解得
所以直线恒过定点(-1,-2).
点Q(3,4)到直线的距离的最大值,就是点Q与定点(-1,-2)所连线段的长度,
即.
(2)由于直线l经过定点(-1,-2),因此直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y+2=k(x+1),k≠0,
则直线l与x轴、y轴的负半轴分别交于A,B(0,k-2)两点,
所以-1<0,k-2<0,解得k<0,
所以S△AOB=·≥2+2=4,
当且仅当,即k=-2时取等号,故△AOB面积的最小值为4,
此时直线l的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.