苏教版（2019）选择性必修第一册2.3圆与圆的位置关系 基础过关练（Word版含解析）

2.3　圆与圆的位置关系
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　圆与圆的位置关系的判断
1.(江苏南通田家炳中学月考)圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共点的个数为　(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)当m=1时,判断圆C1与圆C2的位置关系;
(2)是否存在实数m,使得圆C1与圆C2内含 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
题组二　圆与圆的相切问题
3.(江苏南京六合高级中学期中)已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为(　　)
A.(3,6)　　　　B.(-6,3)
C.(-3,-6)　　　　D.(6,3)
4.(多选)(2022浙江舟山期末)已知圆(x+1)2+(y-a)2=1与圆(x-2)2+(y-4)2=16相切,则实数a的取值可能为(　　)
A.0　　　　B.8　　　　C.3　　　　D.4
5.(江苏无锡太湖高级中学期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为　　　　　　.
题组三　圆与圆的相交问题
6.(多选)(2022山东济南期末)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x=0的公共点为A,B,则(　　)
A.C1C2=2
B.直线AB的方程是x=
C.AC1⊥AC2
D.AB=
7.(江苏南京航空航天大学附属高级中学期中)已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
题组四　圆与圆的位置关系的综合运用
8.(2022江苏无锡辅仁高级中学期中)若圆(x-a)2+(y-a)2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围为　　　　　　　.
9.(2022湖北宜昌调研)已知两点A(-1,0),B(1,0)及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P满足·=0,则r的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　圆与圆的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　
1.(江苏淮安中学期中)已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)　　　　 　　　　 　　　　
A.外离　　　　B.相切
C.相交　　　　D.内含
2.(多选)(山东聊城期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)
A.PQ的最小值为0
B.PQ的最大值为7
C.两个圆心所在直线的斜率为-
D.两个圆的相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
3.(江苏连云港高级中学月考)已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1、C2:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.
题组二　圆与圆的相切问题
4.(福建漳州平和第一中学期中)已知☉O1:x2+(y-1)2=1与☉O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-)∪()
C.{-} D.{-}
5.(多选)(江苏南通第一中学月考)已知两圆方程分别为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若两圆外切,则r=1
B.若两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2
C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3
D.若两圆有三条公切线,则r=2
6.(江苏泰州中学月考)已知圆O:x2+y2=144与圆O1:x2+30x+y2+216=0,试判断两圆的位置关系,并求两圆公切线的方程.
题组三　圆与圆的相交问题
7.(山东潍坊寿光一中期中)圆C1:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+1)2+(y-a)2=16恰有两条公切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-4,4]　　　　B.(-4,4)
C.(-4,0)∪(0,4)　　　　D.[-4,0)∪(0,4]
8.(多选)(江苏如皋江安高级中学期中)圆x2+y2-2x+2y-2=0与圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的长为,则a的值为(　　)
A.±2　　　　B.±
9.(安徽蚌埠第三中学月考)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,C1,C2分别为两圆的圆心.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦的长;
(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.
题组四　圆与圆的位置关系的综合应用
10.(多选)(江苏南京宁海中学期中)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=λPB(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=a
B.当λ=时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在阿波罗尼斯圆内
11.(山东青岛胶州一中期中)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在的直线恒过定点P,且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是　　　　.
12.(江苏苏州期中)如图,已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1和圆C2:(x-4)2+(y-4)2=4.
(1)求两圆所有公切线的斜率;
(2)设P为平面上一点,若存在过点P的无穷多条直线l与圆C1和圆C2相交,且直线l被圆C2截得的弦长是其被圆C1截得的弦长的2倍,试求所有满足条件的点P的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.C　圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径r1=1,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r2=1,两圆圆心距为,
∵r1-r2<2.解析　(1)当m=1时,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距d=.
设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,
则r1=3,r2=1,
∵r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,
∴r1-r2(2)假设存在实数m,使得圆C1与圆C2内含,则C1与C2的圆心距d=<3-1,
即(m+1)2<0,显然此不等式无解.
故不存在实数m,使得圆C1与圆C2内含.
解题模板
　　判断两圆的位置关系及交点个数的方法:设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为R,r,且R>r.当O1O2>R+r时,两圆外离,没有交点;当O1O2=R+r时,两圆外切,有一个交点;当R-r3.A　设点M的坐标为(a,b).
圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为,
由圆M的半径为2,且圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),
得所以
所以点M的坐标为(3,6).故选A.
4.ABD　易得圆(x+1)2+(y-a)2=1的圆心为(-1,a),半径R1=1,圆(x-2)2+(y-4)2=16的圆心为(2,4),半径R2=4,记C1(-1,a),C2(2,4).
当两圆外切时,有C1C2=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;
当两圆内切时,有C1C2=R2-R1,即=3,解得a=4(二重根).
综上所述,a=0或a=8或a=4.故选ABD.
5.答案　x=-1
解析　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为1;
圆C2:(x-4)2+y2=25的圆心为C2(4,0),半径为5.
易知两圆内切,切点为(-1,0),
又两圆圆心都在x轴上,
所以两圆公切线的方程为x=-1.
6.ABD　圆C1的圆心是C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,0),半径r2=2,∴C1C2=2,故A正确;
两圆的方程相减,即得直线AB的方程,即直线AB:x=,故B正确;
∵AC1=1,AC2=2,C1C2=2,∴A≠C1,
∴AC1与AC2不垂直,故C不正确;
C1(0,0)到直线x=的距离d=,故AB=2×,故D正确.
7.解析　(1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,∴C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为,
∴C1C2=,
∵2∈(0,2),∴两圆相交.
(2)将两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.
8.答案　(-2,0)∪(0,2)
解析　由题意可得已知圆与圆x2+y2=4相交,
∴2-2<<2+2,∴0<<4,
解得-2且a≠0,故实数a的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
9.答案　[4,6]
解析　因为·=0,所以点P在以AB为直径的圆上,该圆的方程为x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.又两圆的圆心距d=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.故r的取值范围为[4,6].
能力提升练
1.C　由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为C1(4,4),半径为5.
因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+y+1=0对称,所以其圆心C2在直线上,
所以2++1=0,解得m=2,
所以圆C2:(x-2)2+(y+)2=4,其圆心为C2(2,-),半径为2,
则C1C2=,
因为5-22.BC　设圆C1、C2的半径分别为r、R.由已知得C1(0,0),半径r=1,C2(3,-4),半径R=1,则C1C2=5.
故PQmin=5-1-1=3,A错误;
PQmax=5+1+1=7,B正确;
,C正确;
由C1C2>R+r,知两圆外离,无公共弦,D错误.
故选BC.
3.解析　设圆C1、C2的半径分别为r1、r2.易得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,
∴C1C2==a.
(1)当C1C2=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当C1C2=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3(3)当C1C2>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当04.C　由题意得☉O1的圆心为O1(0,1),半径为1,☉O2的圆心为O2(a,2),半径为3.
因为☉O1:x2+(y-1)2=1与☉O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,所以两圆外切,
所以=1+3,
解得a=或a=-,
所以a的取值范围是{-}.故选C.
5.ABC　由圆的方程可知,两圆圆心分别为(0,0),(4,-3),半径分别为4,r,所以两圆的圆心距为5.
若两圆外切,则4+r=5,解得r=1,此时两圆有三条公切线,故A正确,D错误.
当两圆相交时,两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-41+r2=0,所以-41+r2=-37,解得r=2(负值舍去),故B正确.
因为两圆在交点处的切线互相垂直,所以一个圆的切线必过另一个圆的圆心,
所以两圆圆心连线与两圆半径所在直线必围成一个直角三角形,故52=42+r2,解得r=3(负值舍去),故C正确.
故选ABC.
6.解析　易知圆O:x2+y2=122,圆O1:(x+15)2+y2=32,O(0,0),O1(-15,0),
∴OO1==15=12+3,
∴圆O与圆O1外切,∴圆O与圆O1有3条公切线.
如图,设两圆的一条公切线AB切圆O于点A,切圆O1于点B,与x轴相交于点P(x,0)(x<0),
由三角形相似得=4,
即=4,解得x=-20,
∴P(-20,0),∴AP==16,
∴公切线AB的斜率k=,
∴两圆的三条公切线的方程分别为y=(x+20),x=-12,
即3x-4y+60=0,3x+4y+60=0,x=-12.
7.C　将方程x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1,
所以圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=1,
易知圆C2的圆心为C2(-1,a),半径r2=4,
因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,
所以圆C1与圆C2相交,则|r1-r2|即3<<5,解得-4故选C.
8.CD　两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,
因为两圆的公共弦的长为,圆x2+y2-2x+2y-2=0的圆心为(1,-1),半径为2,
所以点(1,-1)到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=,
所以d=,
解得a=±1或a=±,故选CD.
9.解析　(1)两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为2x+y+1=0,
易得圆C1:(x+1)2+y2=1的圆心为C1(-1,0),半径为1,
则圆心C1(-1,0)到公共弦所在直线的距离为,
则圆C1和圆C2的公共弦的长为2.
(2)易知圆C2:(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为C2(1,1),半径为2,
当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,此时直线l与圆C2相切,不符合题意.
设直线l的方程为y=k(x+1),
则圆心C2(1,1)到直线l的距离为,所以k=1或k=,
所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0.
10.AD　设P(x,y),
则PA=,
因为PA=λPB,
所以,
所以.
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=,故正确;
B.当λ=时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,阿波罗尼斯圆的方程为,两圆圆心距为a,两半径之和为a,两半径之差的绝对值为a,则两圆不相切,故错误;
C.当0<λ<1时,阿波罗尼斯圆圆心的横坐标为aD.当λ>1时,点A与阿波罗尼斯圆圆心的距离为=r,故点A在阿波罗尼斯圆外,
点B与阿波罗尼斯圆圆心的距离为=r,故点B在阿波罗尼斯圆内,故正确.
故选AD.
11.答案　
解析　将圆C1与圆C2的方程相减,得kx+(k-2)y-4=0,即公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-2(y+2)=0,
令解得
则公共弦所在直线恒过定点(2,-2),即P(2,-2),
又点P在直线mx-ny-2=0上,
所以2m+2n-2=0,即m+n=1,
则mn=m(1-m)=-≤,
则mn的取值范围是.
12.解析　(1)由题意得两圆公切线的斜率存在,设公切线的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0,
则所以
所以|4k+2-2m|=|4k-4+m|.
当4k+2-2m=4k-4+m时,m=2,
代入①式,得|2k-1|=,解得k=0或k=;
当4k+2-2m=-(4k-4+m)时,m=8k-2,
代入①式,整理得|6k-3|=,
解得k=.
综上,两圆所有公切线的斜率分别为0,.
(2)设C1,C2到直线l的距离分别为d1,d2(d1,d2>0),
则,即,所以d2=2d1.
设P(m,n),直线l的方程为y-n=k'(x-m),即k'x-y-mk'+n=0,
则2×,
因此-4k'-2-2mk'+2n=4k'-4-mk'+n或4k'+2+2mk'-2n=4k'-4-mk'+n,
所以(8+m)k'-2-n=0或mk'+2-n=0,
因为存在无穷多条直线l,所以或解得或
故点P的坐标为(-8,-2)或(0,2).
解题模板
　　探索直线过定点问题时,可先设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立k,b的等量关系,再进行消元,借助直线系的思想找出定点.也可以从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.