苏教版（2019）选择性必修第一册2.2直线与圆的位置关系 基础过关练（Word版含解析）

2.2　直线与圆的位置关系
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与圆的位置关系
1.(2022江苏南京期末)直线x-y+1=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　)
A.相交　　　　B.相切 C.相离　　　　D.不确定
2.(2020江苏宜兴中学期中)直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=11的位置关系是(　　)
A.相离　　　　B.相交 C.相切　　　　D.不确定
3.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与此圆的位置关系是(　　)
A.相切　　　　B.相交 C.相离　　　　D.不确定
4.(2020江西南昌二中月考)对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+12=0的位置关系是　　　　.
5.(2020江苏连云港海头高级中学月考)已知圆x2+y2=2,直线y=x+b,求b为何值时,
(1)直线与圆有两个公共点;
(2)直线与圆只有一个公共点;
(3)直线与圆没有公共点.
题组二　与圆有关的相切问题
6.(2020江苏无锡梅村高级中学月考)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+y2=1　　　　B.(x+1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1　　　　D.x2+(y+1)2=1
7.(2022四川成都期末)若圆(x-a)2+y2=1(a>0)与直线y=x只有一个公共点,则a的值为(　　)
A.1　　　　B.
8.(2021安徽马鞍山二中期末)过坐标原点O作圆(x-3)2+(y-4)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB=(　　)
A.
9.过点P(-1,-2)引圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的切线,则切线长为　　　　　.
10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M(2,4),且与圆C相切的直线的方程;
(2)求过点P(-1,5),且与圆C相切的直线的方程.
题组三　与圆有关的弦长问题
11.(2021湖南长沙长郡中学期中)圆C:(x-2)2+y2=4与直线x-y-4=0相交所得弦长为　(　　)
A.1　　　　B.
12.(2021上海闵行中学期末)圆(x-1)2+(y-3)2=4截直线ax+y-1=0所得的弦长为2,则a=(　　)
A.-　　　　D.2
13.已知圆C的圆心为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若点B也在圆C上,且弦AB的长为8,求直线AB的方程.
14.(2021浙江台州书生中学期中)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)设l与圆C交于不同的两点A,B,定点P(1,1),求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)在(2)的条件下,若点P(1,1)分弦AB为,求此时直线l的方程.
题组四　直线与圆的位置关系的综合应用
15.(2020江苏淮安洪泽中学期中)若实数x,y满足x2+y2=3,则的取值范围是(　　)
A.(-) B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.[-] D.(-∞,-]∪[,+∞)
16.(2020山东东营第一中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=9及圆O内的一点P(1,2),圆O的过点P的直径为MN,若线段AB是圆O的所有过点P的弦中最短的弦,则()·的值为　　　　.
17.(2020江苏宿迁联考)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求m2+n2的最大值和最小值.
能力提升练
题组一　直线与圆的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏宿迁沭阳如东高级中学月考)无论实数t取何值,直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.m> B.m≥
C.m<-或m> D.m≤-或m≥
2.(多选)(2020山东菏泽期末)已知直线l:mx-(2-m)y+1-m=0,圆C:(x-1)2+y2=1,则下列结论中正确的是(　　)
A.存在实数m,使直线l经过圆心C
B.无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点
C.圆心C到直线l的最大距离是
D.当m=1时,圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1
3.(多选)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则(　　)
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切
题组二　圆的切线与弦长问题
4.(多选)(2020江苏常州武进高级中学期中)已知圆C和直线x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是(　　)
A.(x-3)2+(y-)2=3　　　　
B.(x-3)2+(y+3)2=27
C.(x+3)2+(y-)2=3
D.(x-3)2+(y-3)2=27
5.(2022浙江丽水期中)已知圆O:x2+y2=1,直线l:x+y+2=0,点P为l上一动点,过点P作圆O的切线PA,PB(切点分别为A,B),当四边形PAOB的面积最小时,直线AB的方程为(　　)
A.x-y+1=0
B.x-y+=0
C.x+y+1=0
D.x+y-=0
6.(2020江苏连云港期中)已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
7.(2020山东潍坊一中期中)直线2ax-by+2=0被圆x2+y2+2x-4y-4=0截得的弦长为6,则ab的最大值是　　(　　)
A.9　　　　B.4
C.
8.一条光线从点(2,-3)射出,经x轴反射,其反射光线所在直线与圆(x-3)2+y2=1相切,则反射光线所在直线的方程为　　　　.
9.直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长的最大值是　　　　;若该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是　　　　.
10.(2022安徽六安立人中学期中)已知圆C经过两点P(-1,-3),Q(-3,1),且圆心C在直线x+2y-4=0上,直线l的方程为(k-1)x+2y+5-3k=0.
(1)求圆C的方程;
(2)证明:直线l与圆C一定相交;
(3)求直线l被圆C截得的弦长的取值范围.
题组三　直线与圆的位置关系的综合应用
11.(2020江苏徐州第七中学期中)若圆C:(x-1)2+y2=4上恰有两个点到直线x-y+b=0的距离为1,则实数b的取值范围为(　　)
A.(-7,-3)　　　　B.(1,5)
C.(-3,5)　　　　D.(-7,-3)∪(1,5)
12.(2020江苏盐城建湖高级中学期中)过点P(-,0)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,设∠AOB=θ,且θ∈,当△AOB的面积为时,直线l的斜率为(　　)
A.　　　　
C.
13.(多选)(2020山东泰安期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是(　　)
A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16
B.过点A作圆C的切线,两条切线的夹角为
C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则直线l的斜率为±
D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得=2
14.(2020湖北武汉期中)已知圆C:(x+3)2+(y+4)2=4,直线l过定点A(-1,0).
(1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,l与l0:x+2y-2=0的交点为N,求证:AM·AN为定值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r=1,
圆心(1,0)到直线x-y+1=0的距离d==1=r, 所以直线x-y+1=0与圆(x-1)2+y2=1相切.故选B.
2.B　易知直线ax-y+2a=0过定点(-2,0),记P(-2,0),又(-2)2+02=4<11,
∴点P在圆内,∴直线与圆相交.故选B.
3.B　∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=4.答案　相交
解析　因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,
整理得k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点(4,3),记P(4,3).
因为圆C的方程为x2+y2-6x-8y+12=0,
整理得(x-3)2+(y-4)2=13,
所以圆C的圆心为C(3,4),半径r=.
因为圆心C(3,4)到定点P(4,3)的距离d=所以直线与圆的位置关系是相交.
5.解析　解法一:圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d=,圆的半径r=.
(1)当d(2)当d=r,即b=±2时,直线与圆相切,有一个公共点.
(3)当d>r,即b>2或b<-2时,直线与圆相离,无公共点.
解法二:联立直线与圆的方程,得方程组
消去y并整理,得2x2+2bx+b2-2=0,则Δ=16-4b2.
(1)当Δ>0,即-2(2)当Δ=0,即b=±2时,直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即b>2或b<-2时,直线与圆没有公共点.
6.C　设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r>0),
∵直线y=2与圆相切,
∴圆心到直线的距离等于半径r的长,
∴r=2-1=1,∴圆的方程为x2+(y-1)2=1.故选C.
7.C　因为圆(x-a)2+y2=1(a>0)与直线y=x(即直线x-y=0)只有一个公共点,
所以直线x-y=0与圆(x-a)2+y2=1相切,所以圆心(a,0)到直线x-y=0的距离为半径长1,
即=1,又因为a>0,所以a=2.故选C.
8.A　解法一:圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为(3,4),半径r=1,记M(3,4).如图所示,连接OM,AM,BM,则OM=,所以S△AOM=,所以AB=.故选A.
解法二:易得直线AB的方程为(0-3)(x-3)+(0-4)(y-4)=1,即3x+4y-24=0.圆心(3,4)到直线AB的距离d=,所以AB=2×.故选A.
名师点评
　　本题解法二中求直线AB的方程时,用到了以下结论:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
9.答案　2
解析　设切点为A,则PA⊥CA,从而PC2=PA2+CA2,
∴(-1-1)2+(-2-2)2=PA2+42,
解得PA=2(负值舍去),即切线长为2.
10.解析　(1)因为(2-1)2+(4-2)2=5>4,所以点M在圆C外.
易知所求切线的斜率存在,故设所求的切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
则由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=0或k=-.
当k=0时,切线方程为y=4;
当k=-时,切线方程为-=0,即4x+3y-20=0.
综上,所求的切线方程为y=4或4x+3y-20=0.
(2)因为(-1-1)2+(5-2)2=13>4,所以点P(-1, 5)不在圆上.
①当所求切线的斜率存在时,
设切线方程为y-5=k'(x+1),即k'x-y+k'+5=0.
由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k'=-,
所以所求切线的方程为5x+12y-55=0.
②当所求切线的斜率不存在时,切线方程为x=-1.
综上,所求切线的方程为x=-1或5x+12y-55=0.
11.D　圆C:(x-2)2+y2=4的圆心坐标为(2,0),半径为2,
圆心到直线x-y-4=0的距离d=,
故弦长为2=2 .
12.B　设圆的半径为r,则r=2,
易得圆心到直线的距离d=,
∴2,
∴=1,∴a=-.
13.解析　(1)因为圆C的圆心为C(3,0),且该圆经过点A(0,4),所以圆的半径r=AC=5,
所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=25.
(2)①当直线AB的斜率k不存在时,直线AB的方程为x=0,AB=2=8,满足题意;
②当直线AB的斜率k存在时,设直线AB的方程为y=kx+4,则点C到直线AB的距离d==3,解得k=-,所以直线AB的方程为7x+24y-96=0.
综上所述,直线AB的方程为x=0或7x+24y-96=0.
14.解析　(1)证明:(证法一)直线l的方程mx-y+1-m=0可以整理为y-1=m(x-1),所以直线l恒过点(1,1),又点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5内,所以对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(证法二)圆C的圆心为C(0,1),半径为,所以圆心C(0,1)到直线l的距离d=,所以直线l与圆C相交,故对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)由(1)知C(0,1),直线l恒过定点P(1,1).
如图,当M与P不重合时,连接CM,CP,则CM⊥MP,所以CM2+MP2=CP2,
设M(x,y)(x≠1),则x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).
当M与P重合时,x=y=1也满足x2+y2-x-2y+1=0.
综上,弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,所以1-x1=(x2-1),即x2=3-2x1.由消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,且Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,所以x1+x2=,
由得x1=,
将x1=代入(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,解得m=±1,
所以此时直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
15.C　的几何意义是点(x,y)与点(2,0)连线的斜率,
设k=,则kx-y-2k=0,x≠2,
当直线kx-y-2k=0与圆x2+y2=3相切时,k取得最值,
此时,解得k=±,
所以的取值范围是[-],故选C.
16.答案　16
解析　由题意可知AB⊥MN,圆O的半径r=3,OP=,
∴·=4,
∴()·)]·)··=16.
17.解析　x2+y2-4x-14y+45=0的圆心为C(2,7),半径r=2.
(1)设m+2n=t,将m+2n=t看成关于m,n的直线方程,
∵该直线与圆C有公共点,∴圆心C到直线的距离d=≤2,
解得16-2≤t≤16+2,
∴m+2n的最大值为16+2.
(2)记点Q(-2,3),则表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
∵直线MQ与圆C有公共点,
∴≤2,
解得2-≤k≤2+,
∴的最大值为2+,最小值为2-.
(3)设μ=(m-0)2+(n-0)2,则μ等价于圆C上的点到原点的距离的平方,
则μmax=[,
μmin=[.
能力提升练
1.D　将直线方程tx+y+t-1=0整理得t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),
因为直线与圆恒有公共点,所以点(-1,1)在圆内或圆上,
所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,解得m≤-或m≥,故选D.
2.BCD　圆心C的坐标为(1,0),将(1,0)代入直线l的方程得m+1-m=0,无解,故无论m为何值,圆心都不在直线l上,A错误;
直线l的方程可整理为m(x+y-1)-2y+1=0,
由得故直线l过定点,
记M,因为MC=<1,所以点M在圆C内部,则直线l与圆C相交,故无论m为何值,直线l与圆C一定有两个公共点,B正确;
结合B项可设直线l与圆相交于A,B两点,弦AB的中点为N,则CN⊥AB,显然CN≤CM=,当且仅当N,M重合时取等号,C正确;
当m=1时,直线l的方程为x-y=0,C(1,0)关于l的对称点为(0,1),因此圆C关于直线l对称的圆的方程为x2+(y-1)2=1,D正确.
故选BCD.
3.BD　由题意可得圆M的圆心为M(-cos θ,sin θ),半径为1,且圆心到直线l:y=kx的距离d==|sin(θ+φ)|≤1,所以直线l与圆M恒有公共点,且对于任意实数k,必存在实数θ,使直线l与圆M相切.故选BD.
4.AB　由题意可设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,则
解得或
所以该圆的方程为(x-3)2+(y-)2=3或(x-3)2+(y+3)2=27.故选AB.
5.C　如图,设四边形PAOB的面积为S,
则S=2S△PAO=AO·AP=AP,且AP=,
所以当OP最小时,AP就最小,进而S就最小,此时OP⊥l,故OPmin=,所以Smin=APmin==1.所以OA=AP=PB=OB=1,所以A(-1,0),B(0,-1),
所以直线AB的方程为x+y+1=0.
6.D　设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则圆心(0,0)到直线的距离为,解得k=±,故切线方程为y=±(x+2),设切线分别与直线x=2交于点M,N,如图所示.
当点B位于点M上方或点N下方时,满足题意.
将x=2代入y=(x+2),得y=4,故点M的坐标为(2,4);
将x=2代入y=-(x+2),得y=-4,故点N的坐标为(2,-4).
则a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞),故选D.
7.D　将x2+y2+2x-4y-4=0化为(x+1)2+(y-2)2=9,
故该圆圆心为(-1,2),半径为3.
因为直线被圆截得的弦长为6,
所以直线过圆心,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
所以ab≤,故选D.
8.答案　x=2或4x+3y-17=0
解析　点(2,-3)关于x轴的对称点为(2,3),
当斜率存在时,设反射光线的斜率为k,则反射光线的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
因为反射光线与圆(x-3)2+y2=1相切,
所以圆心到反射光线的距离d=1,即=1,解得k=-,所以反射光线所在直线的方程为4x+3y-17=0;
当斜率不存在时,反射光线所在直线的方程为x=2,此时也与圆(x-3)2+y2=1相切.
故答案为x=2或4x+3y-17=0.
9.答案　4;(-)
解析　当直线y=x+b过圆心时,截得的弦长最大,因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的半径为2,所以弦长的最大值为4.
要使该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,
则圆心到直线的距离d=∈[0,1),所以b∈(-).
10.解析　(1)因为P(-1,-3),Q(-3,1),
所以线段PQ的垂直平分线的方程为y+1=(x+2),
由解得
所以圆心为C(2,1),
又半径r=PC=5,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.
(2)证明:直线l的方程可化为k(x-3)-(x-2y-5)=0,
令可得
所以直线l过定点(3,-1),记M(3,-1),
由(3-2)2+(-1-1)2<25可知M在圆内,
所以直线l与圆C一定相交.
(3)设圆C的半径为r,圆心C到直线l的距离为d,弦长为L,
则L=2,
易知0≤d≤CM,即0≤d≤,
所以4≤L≤10,即弦长的取值范围是[4,10].
11.D　易知圆心C(1,0),半径r=2,
设圆心C(1,0)到直线x-y+b=0的距离为d,
则d=,
由题意知r-1即2-1<<2+1,即2<|b+1|<6,
所以b∈(-7,-3)∪(1,5),故选D.
12.B　∵△AOB的面积为,∴×1×1×sin θ=,
∴sin θ=,∵θ∈,∴θ=.
∴圆心O到直线l的距离为1×sin .
由题意可设直线l的方程为y=k(x+),即kx-y+k=0,
∴,∴k=±.故选B.
13.ABD　设点P(x,y),因为A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,
所以=2,
化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;
易知点C(4,2),圆C的半径R=4,所以AC=8,设两切线的夹角为α,所以sin,则,解得α=,故B正确;
易知直线l的斜率存在,设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d==2,解得k=±,故C错误;
假设直线y=2上存在异于A,B的两点D(m,2),E(n,2),m≠n,则=2,
化简得x2+y2+=0,因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0,所以解得或(舍去),故存在D(12,2),E(6,2),故D正确.
故选ABD.
14.解析　(1)由题意知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-1,即x-my+1=0,则由直线l与圆C相切得=2,解得m=0或m=,故l的方程为x=-1或3x-4y+3=0.
(2)证明:∵直线l与圆C相交于P,Q两点,∴l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为x=ty-1,
联立得
∴N.
∵线段PQ的中点为M,∴CM⊥PQ,
设直线CM的方程为y+4=-t(x+3),
联立得
∴M.
∴,
∴·=-6,
又A,M,N三点共线,∴AM·AN=6,
∴AM·AN为定值.