人教A版（2019）必修第二册《解三角形》专题9 涉角平分线 专题讲义（Word版含答案）

《解三角形》专题9-1 涉角平分线
（3套2页，含答案）
知识点：
涉角平分线： 遇到三角形角平分线，一般用等面积法，即两个小三角形面积的和等于大三角形面积。
典型例题：
已知在 中， 的平分线 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则[endnoteRef:0] .
（不用等面积法） [0: 【答案】；
]
在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，
（1）求角A的大小；（[endnoteRef:1]）
（2）若，，的平分线交边于点T，求的长.（等面积法） [1: ；；
.解：（1），即为，
可得，解得或（舍去） ，
由，可得；
（2），即为，可得，
由，
可得，
由得，
]
随堂练习：
如图，在△ABC中，C＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且tan∠CBD＝.
(1)求sin A；（[endnoteRef:2]）
(2)若·＝28，求AB的长．（不用等面积法） [2: 17．解析：(1)设∠CBD＝θ，因为tan θ＝，
又θ∈，故sin θ＝，cos θ＝，
则sin∠ABC＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2××＝，
cos∠ABC＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝，
故sin A＝sin
＝sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)
＝×＝.
(2)由正弦定理＝，
即＝，所以BC＝AC，
又·＝||||＝28，
所以||||＝28，所以AC＝4，
又由＝，得＝，所以AB＝5.]
在①2a-b=2ccosB,②S=(a2+b2-c2),③sin(A+B)=1+2
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。
在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ΔABC的面积为S,已知 .
（1)求角C的值；（[endnoteRef:3]）
（2)（中档）若b=4,点D在边AB上，CD为LACB的平分线，ΔCDB的面积为,求a的值。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（等面积法） [3: 答案：（10分）
解：（1）若选①：，则由正弦定理得
，即，
∵，∴，则． …………………（4分）
若选②：，则，
化简得，∴． …………………（4分）
若选③：，则有，
化简得，所以，故. …………………（4分）
（2）在中，，
所以，
. ①
又. ②
由①②，或（舍）.
. …………………（10分）
]
《解三角形》专题9-2 涉角平分线
已知△ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，且.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD＝，若b＝，求△ABC的面积. [endnoteRef:4]（不用等面积法）
[4: 答案：解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得，整理得. …2分
， ………………3分
又在△ABC中，0＜C＜， ………………4分
∴，即角C的大小为. .………………5分
法二：由已知及正弦定理得，
又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分
∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，
即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0， ………………3分
∴，又0＜C＜， ………………4分
∴，即角C的大小为. .………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)，依题意得如图，在△ADC中，AC=b=，AD=，
由正弦定理得， .………………7分
∵在△ADC中，0＜＜，C为钝角， ........………....………8分
∴，故. .………………9分
∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴, .……….……10分
∴△ABC是等腰三角形，. .………………11分
故△ABC的面积. .…………….…12分]
已知的内角所对的边分别为，.
（1）；
（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.[endnoteRef:5]
[5: 答案：解:（1）因为，所以.
于是，.
（2）由可得.
设的面积为，∴，
∴.则.
∵为的平分线，∴，∴.
又.∴.
在中,由余弦定理可得
，∴.
]
《解三角形》专题9-3 涉角平分线
如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，，
已知，，，D，E分别为线段BC上
的点，且，．
（1）求线段AD的长；
（2）求的面积．（[endnoteRef:6]） [6: 【解析】（1）因为，，所以．
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
所以，所以．
（2）因为是的平分线，
所以，
又，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以．
]
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c＝，角B的平分线BD＝，求a．（[endnoteRef:7]）
[7: 答案：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2acosC－c＝2b，
由正弦定理得 2sinAcosC－sinC＝2sinB， …2分
2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C) ＝２sinAcosC＋2cosAsinC，
∴－sinC＝2cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA＝－，
而A∈(0, π)，∴A＝. …6分
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，＝
∴ sin∠ADB＝＝，
∴ ∠ADB＝， …9分
∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝
由余弦定理， BC＝＝. …12分]