算法的基本思想3 （新教材必修3第二章第三课时）[下学期]

(共18张PPT)
教学目标:
体会用二分法求方程近似解的算法思想.
教学重难点:
算法的设计及意义
对于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式来求解,但是,绝大部分的方程不存在求根公式.
在实际问题中,通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了.因此,讨论方程近似解的算法具有重要的意义!
设计一个算法,求方程3x+4y=13的正整数解.
设计一个算法,解方程组
的正整数解
x+y+z=6
2x-3y+z=6
解:(1)因为x 6,所以, x可能为,1,2,3,4,5,6
(2)就x的6种情况进行讨论,
x=1,问题变为求
的正整数解;
y+z=5
-3y+z=4
……按照上述步骤讨论完x的情形,就得到方程组的的所有正整数解
x=4
y=1
z=1
b.x=2时,问题变为求
y+z=4
-3y+z=2
的整数解
在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0的近似解.如图所示
y
x
O
a
b
x*
二分法的基本思想是:将方程的有解区间分为两个小区间,然后判断解在哪个小区间;继续把有解的区间一分为二进行判断,如此周而复始,直到求出满足精度要求的近似解.
1.确定有解区间 (f(a)f(b)<0).
2.取 的中点
3.计算函数f(x)在中点处的函数值
4.判断函数值 是否为零
如果为零, 就是方程的解,问题就得到解决.
f(a)
1)若 <0,则得新有解区间为
b) 如果函数值 不为零, 则分下列两种情形:
2)若 则确定新的有解
区间为
5.判断新的有解区间长度是否小于精确度:
(1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间的基础上重复上述步骤;
(2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则取新的有解区间的中点为方程的近似解.
1.求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间 上的实数解,精确度为0.1.
解:1.因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)<0,则区 间 为有解区间,精度 1-0=1>0.1
2.取 的区间中点0.5;
3.计算f(0.5)= -0.125;
4.由于f(0.5)f(1)<0,可得新的有解区间
,精度1 – 0.5=0.5>0.1
6.计算f(0.75)= - 0.1563;
7.由于f(0.75)f(1)<0,可得新的有解区间 ,精度1-0.75=0.25>0.1
8.取区间 的中点0.875;
9.计算f(0.875)=0.43555
10.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得
精度0.875-0.75=0.125>0.1;
11.取区间 的中点0.8125
5.取 的区间中点0.75;
11.计算f(0.8125)=0.19653
12.因f(0.75)f(0.8125)<0, 得区间 精度0.8125-0.75=0.0625<0.1
13.该区间一满足精确度的要求,所以取该区间的中点0.78125,它是方程的一个近似解.
简化写法:
第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)<0,所以设x1=0,x2=1.
第二步:令m= ,判断f(m)是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断f(x1)f(m)大于0还是小于0.
第三步:若f(x1)f(m)>0,则令x1= m;否则,令x2= m.
第四步:判断|x1-x2|<0.1是否成立 若是,则x1,x2之间的中间值为满足条件的近似根;若否,则返回第二步
算法,出现在12世纪,指的是运用阿拉伯数字进行算术运算的过程.在数学中,现代意义上的“算法”,通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的有效的,而且能够在有限步之内完成.
练习.书本93 :1
2.设计一个算法,求函数y=log2x,当x=3时的函数值(精确到0.1)
(用反函数的思想转化为求f(x)=2x-3=0的近似解.用二分法算法计算)
解:算法(二分法):
因为f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)<0,所以取区间
第一步:输入a,b; 即区间端点的值
第二步:取区间 的中点 ,将区间一分为二;
第三步:若f(x0)=0,则x0就是所求函数的零点,输出x*= x0,结束;否则判断x*在x0的左侧还是右侧;若f(a)f(x0)>0,则x*属于(x0,b),a= x0;若f(a)f(x0)<0则x*属于(a,x0), b= x0;
第四步:若|a-b|<0.1,计算终止,输出x*= x0,否则转到第二步.
1.625
中华一题:30页 8. 10. 11
作业:P94A组2.6. B组 1