[解一元一次不等式]
一、选择题
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是 ( )
A.3x-2y<-1 B.-1<2 C.2x-1>0 D.y2+3>5
2.把不等式5x<3x+6的解集表示在数轴上,正确的是 ( )
3.不等式>x的解集为 ( )
A.x<1 B.x<-1 C.x>1 D.x>-1
4.已知y=3x-3,要使y≥x,则x的取值范围是 ()
A.x≥ B.x≥ C.x≤ D.x≤
5.满足不等式7-2(x+1)>0的x可取的最大整数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.无法确定
二、填空题
6.不等式3x+1>2(x+4)的解集为 .
7.当m 时,整式11-3m的值不大于-1.
8.(2020陕西一模)不等式+2>x的正整数解为 .
三、解答题
9.解下列不等式,并把它的解集在数轴上表示出来:
(1)2(x+1)-1≥3x+2;
(2)≤2;
(3)->-3;
(4)≥3(x-1)-4.
10.当x取何值时,式子-2x的值:
(1)大于-2
(2)不大于1-2x的值
11.某数的一半大于它的相反数的加1,求这个数的取值范围.
12.(2021沈阳和平区月考)若关于x,y的方程组的解满足x+y≤6,求k的取值范围.
13.已知x=3是关于x的不等式3x->的一个解,求a的取值范围.
14.已知关于x的两个不等式<1①与1-3x>0②.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,求a的取值范围.
[转化思想] 已知关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<,求关于x的不等式ax>b的解集.
答案
1.C 2.A 3.A 4.B 5.C
6.x>7 去括号,得3x+1>2x+8.移项,得3x-2x>8-1.合并同类项,得x>7.
7.≥4
8.1,2 +2>x,去分母,得x-1+6>3x,移项、合并同类项,得-2x>-5,系数化为1,得x<2.5,则正整数解是1,2.
9.解:(1)去括号,得2x+2-1≥3x+2.
移项,得2x-3x≥2-2+1.
合并同类项,得-x≥1.
系数化为1,得x≤-1.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)去分母,得3x-2≤4.
移项,得3x≤4+2.
合并同类项,得3x≤6.
系数化为1,得x≤2.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(3)去分母,得2(x-2)-5(x+4)>-30.
去括号,得2x-4-5x-20>-30.
移项、合并同类项,得-3x>-6.
系数化为1,得x<2.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(4)去分母,得x+1≥6(x-1)-8.
去括号,得x+1≥6x-6-8.
移项,得x-6x≥-6-8-1.
合并同类项,得-5x≥-15.
系数化为1,得x≤3.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
10.解:(1)-2x>-2,
解得x<.
(2)-2x≤1-2x,
解得x≤.
11. 首先设出未知数,然后根据已知条件列出不等式,最后求出它的解集.
解:设这个数为x.
依题意,得x>-x+1,
解这个不等式,得x>,
即这个数大于.
12.解:解方程组得
因为x+y≤6,
所以3k+1-k-2≤6,
解得k≤,
所以k的取值范围为k≤.
13.解:将x=3代入3x->,得3×3->.
解这个不等式,得a<4.
14.解:解不等式①,得x<.
解不等式②,得x<.
(1)因为两个不等式的解集相同,
所以=,解得a=1.
(2)因为不等式①的解都是不等式②的解,
所以≤,
解得a≥1.
[素养提升]
解:原不等式可化为(2a-b)x>5b-a.
而该不等式的解集为x<,
说明2a-b<0,且=,
即7(5b-a)=10(2a-b),
所以=,
所以b=a.
因为2a-b<0,
所以2a-a<0,
解得a<0.
在ax>b中,
因为a<0,
所以x<,即x<.[一元一次不等式的应用]
一、选择题
1.某次知识竞赛共有20道题,规定每答对一题得10分,答错或不答一题都扣5分,小明得分要超过125分,他至少要答对多少道题 如图设小明答对x道题,依题意得 ( )
A.10x-5(20-x)≥125 B.10x-5(20-x)≤125
C.10x-5(20-x)<125 D.10x-5(20-x)>125
2.某商品进价是400元,标价是500元,商店准备打折出售,但要求利润率不低于10%,则最低可以打 ( )
A.8折 B.7折 C.7.5折 D.8.8折
3.(2021天津河西区模拟)码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,由于遇到紧急情况,需要将船上的货物在五天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸载货物的重量为 ( )
A.60吨 B.48吨 C.40吨 D.30吨
二、填空题
4.(2021哈尔滨南岗区月考)某商店以每辆250元的进价购入200辆自行车,并以每辆275元的价格销售,两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款,这时至少已售出 辆自行车.
5.(2021石嘴山平罗县期末)在某次篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场扣1分,某队预计在2020—2021赛季全部32场比赛中最少得到48分,才有希望进入季后赛,则这个队至少胜 场才有希望进入季后赛.
6.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm,某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的高为20 cm,长与宽之比为3∶2,则该行李箱宽的最大值是 .
7.(2020莆田二模)小艾在母亲节送给妈妈一束鲜花,出差在外的爸爸问小艾送了些什么花.小艾调皮地说:“考考你,花束是由象征爱的康乃馨、玫瑰和百合组成.康乃馨的枝数比玫瑰多,但比百合的两倍少,玫瑰的枝数比百合多.”请帮小艾爸爸算一算,这束花的总枝数至少为
枝.
三、解答题
8.某校七年级在学校学生会的组织下,围绕“新冠肺炎”开展了一次知识竞赛活动,竞赛规则:每班代表队都要回答30道题,答对一题得5分,答错或不答一题都扣1分.比赛规定,只有得分超过100分时才能获奖.在比赛到第21题结束时,七(2)班代表队得分为75分,那么该队在后面的比赛中至少还要答对多少道题才能获奖
9.小明早上7点骑自行车从家出发,以每小时12千米的速度到距家4千米的学校上课,行至距学校1千米的地方时,自行车突然发生故障,小明只好改为步行前往学校.如图他想在7点30分之前(包含7点30分)赶到学校,那么他步行的速度至少应为多少
10.(2020常州)某水果店销售苹果和梨,购买1千克苹果和3千克梨共需26元,购买2千克苹果和1千克梨共需22元.
(1)求每千克苹果和每千克梨的售价;
(2)如图购买苹果和梨共15千克,且总价不超过100元,那么最多购买多少千克苹果
11.某电器超市销售进价分别为200元/台、170元/台的A,B两种型号的电风扇.下表是近两周的销售情况:
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)超市准备采购这两种型号的电风扇共30台,若销售完利润不低于1320元,求A种型号的电风扇至少要采购多少台.
有人问一位老师他所教的七(2)班有多少名学生,老师说:“二分之一的学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在学英语,还剩不足6名同学在操场玩篮球.”你知道这个班一共有多少名学生吗
答案
1.D 2.D 3.B 4.182 5.27
6.56 cm 设行李箱长3x cm,则宽为2x cm.依题意,得3x+2x+20≤160,解得x≤28,所以2x≤56,则该行李箱宽的最大值是56 cm.
7.12
8.解:设七(2)班代表队在后面的比赛中答对x道题.
依题意,得5x-[(30-21)-x]>100-75,
解得x>5.
因为x是正整数,所以x≥6.
答:该队在后面的比赛中至少还要答对6道题才能获奖.
9.解:设他步行的速度为x千米/时.
由题意,得x≥1,解得x≥4.
答:他步行的速度至少应为4千米/时.
10.解:(1)设每千克苹果的售价为x元,每千克梨的售价为y元.
依题意,得解得
答:每千克苹果的售价为8元,每千克梨的售价为6元.
(2)设购买m千克苹果,则购买(15-m)千克梨.
依题意,得8m+6(15-m)≤100,解得m≤5.
答:最多购买5千克苹果.
11.解:(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台,B种型号的电风扇的销售单价为y元/台.
依题意,得
解得
答:A种型号的电风扇的销售单价为250元/台,B种型号的电风扇的销售单价为210元/台.
(2)设A种型号的电风扇采购了m台,则B种型号的电风扇采购了(30-m)台.
依题意,得(250-200)m+(210-170)(30-m)≥1320,
解得m≥12.
答:A种型号的电风扇至少要采购12台.
[素养提升]
解:设这个班一共有x名学生.根据题意,得
x-<6,
解得x<56.
又因为x,,,都是正整数,
所以x=28.
答:这个班一共有28名学生.[利用一元一次不等式解决方案设计等问题]
一、解答题
1.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化,已知甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵20元,且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵,购买两种树苗的总金额为9000元.
(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵;
(2)为保证绿化效果,社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵(两种都要买),总费用不超过230元,求所有可能的购买方案.
2.(2020武汉月考)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出了不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过200元后,超出200元的部分按80%收费;在乙商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费.
(1)当顾客累计购物不超过100元时,选择到哪家商场购物花费少 (直接回答)
(2)当顾客累计购物超过100元且不超过200元时,选择到哪家商场购物花费少 (直接回答)
(3)当顾客累计购物超过200元时,选择到哪家商场购物花费少 请你运用所学的不等式知识计算回答.
3.甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每把办公椅80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张办公桌送三把办公椅;乙厂家:办公桌和办公椅全部按原价的8折优惠.现某顾客要购买三张办公桌和若干把办公椅,若购买的办公椅为x把(x≥9).
(1)分别用含x的式子表示到甲、乙两个厂家购买办公桌椅所需的费用;
(2)顾客到哪个厂家购买更划算
4.某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动,如图租用5辆小客车和6辆大客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个.
(1)求每辆小客车和每辆大客车的乘客座位数;
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人,学校决定调整租车方案.在保持租用车辆总数不变的情况下,若使所有参加活动的师生都有座位,求租用小客车数量的最大值.
5.为改善河流水质,某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备可供选择,经调查,购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元.
(1)求一台A型设备的价格和一台B型设备的价格分别是多少万元;
(2)如图治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元,求该治污公司有哪几种购买方案.
[转化思想] 友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台(a>0).最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,则超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
(1)当x=8时,选择哪种方案,该公司购买费用最少 最少费用是多少元
(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.
答案
1.解:(1)设购买甲种树苗x棵,则购买乙种树苗(2x-40)棵.
由题意,得30x+20(2x-40)=9000,
解得x=140.
2x-40=2×140-40=240.
所以购买甲种树苗140棵,乙种树苗240棵.
(2)设购买甲种树苗y棵,则购买乙种树苗(10-y)棵.
根据题意,得30y+20(10-y)≤230,
解得y≤3.
又y≥1且y为整数,所以y的值为1,2,3.
共有以下3种购买方案:
购买方案1:购买甲种树苗3棵,乙种树苗7棵;
购买方案2:购买甲种树苗2棵,乙种树苗8棵;
购买方案3:购买甲种树苗1棵,乙种树苗9棵.
2.解:(1)当顾客累计购物不超过100元时,到两家商场购物花费一样.
(2)当顾客累计购物超过100元且不超过200元时,到乙商场购物花费少.
(3)设累计购物x(x>200)元,
则到甲商场购物的花费为200+(x-200)×80%=(0.8x+40)元,
到乙商场购物的花费为100+(x-100)×90%=(0.9x+10)元.
当0.8x+40>0.9x+10时,x<300;
当0.8x+40=0.9x+10时,x=300;
当0.8x+40<0.9x+10时,x>300.
答:当顾客累计购物超过200元而不超过300元时,到乙商场购物花费少;当顾客累计购物为300元时,到甲、乙两家商场购物花费一样;当顾客累计购物超过300元时,到甲商场购物花费少.
3.解:(1)到甲厂家购买办公桌椅所需的费用为800×3+80(x-3×3)=(80x+1680)元;
到乙厂家购买办公桌椅所需的费用为(800×3+80x)×0.8=(64x+1920)元.
(2)当顾客到甲厂家购买更划算时,由题意得80x+1680<64x+1920,
解得x<15;
当顾客到甲、乙两个厂家购买费用相同时,由题意得80x+1680=64x+1920,
解得x=15;
当顾客到乙厂家购买更划算时,由题意得80x+1680>64x+1920,
解得x>15.
答:当x≥9并且x<15时,顾客到甲厂家购买更划算;当x=15时,顾客到甲、乙两个厂家购买费用相同;当x>15时,顾客到乙厂家购买更划算.
4.解:(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个,每辆大客车的乘客座位数是y个.
根据题意,得
解得
答:每辆小客车的乘客座位数为18个,每辆大客车的乘客座位数为35个.
(2)设租用a辆小客车才能使所有参加活动的师生都有座位,则租用5+6-a=(11-a)辆大客车.根据题意,得18a+35(11-a)≥300+30,解得a≤3.
因为a为整数,所以符合条件的a的最大整数值为3.
答:租用小客车数量的最大值为3.
5.解:(1)设一台A型设备的价格为x万元,一台B型设备的价格为y万元.
依题意,得解得
答:一台A型设备的价格是11万元,一台B型设备的价格是9万元.
(2)设该治污公司购买A型设备m台,则购买B型设备(10-m)台.
依题意,得11m+9(10-m)≤95,解得m≤.
又因为m为非负整数,
所以m可以取0,1,2,
所以该治污公司有3种购买方案,
方案1:购买B型设备10台;
方案2:购买A型设备1台,B型设备9台;
方案3:购买A型设备2台,B型设备8台.
[素养提升]
解:(1)当x=8时,
方案一的购买费用为90%a×8=7.2a(元);
方案二的购买费用为5a+(8-5)a×80%=7.4a(元).
因为a>0,所以7.4a>7.2a,
所以当x=8时,选择方案一,该公司购买费用最少,最少费用是7.2a元.
(2)若该公司采用方案二购买更合算,则x>5.
方案一:所需费用为90%ax=0.9ax(元);
方案二:当x>5时,所需费用为5a+(x-5)a×80%=5a+0.8ax-4a=(a+0.8ax)元.
由题意得0.9ax>a+0.8ax,解得x>10,
所以x的取值范围是x>10.
