[垂线]
一、选择题
1.如图,OA⊥OB,若∠1=55°16',则∠2的度数是 ( )
A.35°44' B.34°84'
C.34°74' D.34°44'
2.(2021北京)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为 ( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
3.如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件中能说明AB⊥CD的有 ( )
①∠AOD=90°;②∠AOD=∠AOC;③∠AOC+∠BOC=180°;④∠AOC+∠BOD=180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是 ()
A.60° B.120°
C.60°或90° D.60°或120°
5.在同一平面内,用三角尺画已知直线l的垂线,若点A在直线l上,点B在直线l外,则下列说法错误的是 ( )
A.过点B可以画直线与直线l垂直
B.过点A可以画直线与直线l垂直
C.过点A有且只有一条直线与直线l垂直
D.过点A能画无数条直线与直线l垂直
6.已知直线l1和l2,点P在直线l2上,过点P画l1的垂线CD,用三角尺画图,下列操作正确的是 ( )
二、填空题
7.看填空:
(1)直线AD与直线CD相交于点 ;
(2) ⊥AD,垂足为 ,AC⊥ ,垂足为 .
8.(2020南京建邺区期末)如图,已知OM⊥a,ON⊥a,所以OM与ON重合的理由是 .
9.如图,点O在直线AB上,OD⊥OE,垂足为O,OC是∠DOB的平分线,若∠AOD=70°,则∠BOE= °,∠COE= °.
10.如图,直线AB,CD相交于点O.如图∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是 .
三、解答题
11.如图,分别过点P画∠AOB的两边OA,OB的垂线.
12.如图,O是直线AB上的一点,且∠AOC=∠BOC.
(1)求∠AOC的大小;
(2)若OC平分∠AOD,试判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
13.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE是∠BOD的平分线,OF是∠AOD的平分线.
(1)若∠BOD=60°,求∠EOF的度数;
(2)试说明:无论∠BOD为多少度,均有OE⊥OF.
[规律探究题] 如图,OA⊥OD,OB是∠AOD内的一条射线,OD为∠BOC的平分线,OE为射线OB的反向延长线.
(1)若∠AOB=60°,则∠COE= °;
(2)若∠COE=140°,则∠AOB= °;
(3)写出∠AOB与∠COE之间的数量关系,并说明理由.
答案
1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D
7.(1)D (2)BE E CD C
8.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9.20 35
10.互相垂直 由∠BOC=130°,根据对顶角相等求出∠AOD=130°,再由∠EOD=40°,得∠AOE=90°,从而OE⊥AB.
11.解:如图所示.
12.解:(1)因为∠AOC=∠BOC,
所以∠BOC=3∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
即∠AOC+3∠AOC=180°,
所以4∠AOC=180°,
所以∠AOC=×180°=45°.
(2)OD⊥AB.理由如图下:
由(1)知∠AOC=45°.
因为OC平分∠AOD,
所以∠AOD=2∠AOC=2×45°=90°,
所以OD⊥AB.
13.解:(1)因为∠BOD=60°,
所以∠AOD=180°-∠BOD=120°.
因为OE,OF分别是∠BOD和∠AOD的平分线,
所以∠DOE=∠BOD=30°,∠DOF=∠AOD=60°,
所以∠EOF=∠DOE+∠DOF=30°+60°=90°.
(2)因为OE,OF分别是∠BOD和∠AOD的平分线,
所以∠DOE=∠BOD,∠DOF=∠AOD.
因为∠BOD+∠AOD=180°,
所以∠EOF=∠DOE+∠DOF=(∠BOD+∠AOD)=90°,
即OE⊥OF,
所以无论∠BOD为多少度,均有OE⊥OF.
[素养提升]
解:(1)120 (2)70
(3)∠AOB=∠COE.
理由:因为OD为∠BOC的平分线,
所以∠BOD=∠BOC.
因为OA⊥OD,
所以∠AOD=90°,
所以∠AOB=90°-∠BOD=90°-∠BOC=90°-(180°-∠COE)=∠COE.[垂线段]
一、选择题
1.如图,在三角形ABC和三角形ABD中,∠ABC=∠ADB=90°,则边AC,AB,BC,AD中最长的是 ( )
A.AC B.AB C.BC D.AD
2.如图,甲在点P处,他想尽快赶到公路边搭顺风车,应选择P→C路线,依据是 ( )
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.两点之间直线最短
3.(2020北京怀柔区期末)如图,点P在直线l外,点A,B在直线l上,PA=3,PB=7,则点P到直线l的距离可能是 ( )
A.2 B.4 C.7 D.8
4.(2021滨州滨城区期末)A是直线a外一点,B是直线a上一点,点A到直线a的距离为5,则线段AB的长度一定不是 ( )
A.10 B.8 C.5 D.3
二、填空题
5.如图,AD⊥AC交BC的延长线于点D,AE⊥BC交BC的延长线于点E,CF⊥AB于点F,则图中能表示点A到直线BC的距离的是线段 的长度.
6.A为直线l外一点,点B和点C在直线l上,A,B,C三点所围成的三角形的面积是10,BC=5,则点A到直线l的距离为 .
三、解答题
7.如图,P是∠AOB的边OB上的一点.
(1)过点P画OB的垂线,交OA于点C;
(2)画点P到OA的垂线段PH;
(3)点O到直线PC的距离是线段 的长度;
(4)比较线段PH与CO的大小,并说明理由.
[转化思想] 如图,为了解决A,B,C,D四个小区的缺水问题,市政府准备投资修建一个水厂.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定水厂H的位置,使它与四个小区的距离之和最小;
(2)在(1)的条件下,另外,计划用引水管把河流EF中的水引入水厂H中,并使引水管最短,请你画图确定铺设引水管道的位置,并说明理由.
答案
1.A 2.B 3.A 4.D
5.AE 6.4
7.解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)OP
(4)PH
因为PH⊥OA,CP⊥OB,垂线段最短,
所以PH[素养提升]
解:(1)如图,连接AC和BD,线段AC和BD的交点H就是水厂的位置.
(2)如图,过点H作HM⊥EF于点M,HM为铺设引水管道的位置.
理由:垂线段最短.