[平行线的性质与判定的综合应用]
一、选择题
1.如图,若AB∥CD,且∠ABC=130°,则当∠CDE等于 时,BC∥DE ( )
A.40° B.50° C.70° D.130°
2.如图,已知AB∥CD,添加下列条件能判定BE∥CF的是 ( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠1=∠4 D.∠1=∠2
3.如图,一条公路修到湖边时,需转弯绕道而过,第一次的拐角∠A的度数为α,第二次的拐角∠B的度数为β,到了点C后需要继续转弯,转弯后与第一次转弯之前的方向相同,则∠C的度数为 ( )
A.α-β B.180°-β+α C.360°-β-α D.β-α
二、填空题
4.已知:如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3,那么AD是∠BAC的平分线吗 若是,请说明理由.
请补全下面的解答过程及依据.
解:是.理由如图下:
∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
∴∠4=∠5=90°(垂直的定义),
∴AD∥EG( ),
∴∠1=∠E( ),
∠2=∠3( ).
又∵∠E=∠3(已知),
∴ = ( ),
∴AD是∠BAC的平分线(角平分线的定义).
三、解答题
5.如图,已知EF∥CD,∠1+∠2=180°.试说明:GD∥CA.
[探究题] 小王在两根平行木条的端点A,C处系上橡皮筋,P是橡皮筋上任意一点,小王将P摆弄为如图所示的四种情况,就每种情况探究∠APC,∠PAB,∠PCD之间的关系,得出四个关系式.请写出这四个关系式,并从中任意选出一个,说明其结论的正确性.
答案
1.B 2.C
3.B 如图,过点B作BF∥AD.
∵CE∥AD,∴AD∥BF∥CE,
∴∠ABF=∠A=α,∠FBC=180°-∠C.
∵∠ABC=∠ABF+∠FBC=β,∴α+180°-∠C=β,∴∠C=180°-β+α.故选B.
4.同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 两直线平行,内错角相等 ∠1 ∠2 等量代换
5.解:∵EF∥CD,
∴∠1+∠ECD=180°.
又∵∠1+∠2=180°,
∴∠2=∠ECD,
∴GD∥CA.
[素养提升]
解决本题的关键是要过点P作AB的平行线,再利用平行线的性质找出三个角之间的关系.
解:①∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;
②∠APC=∠PAB+∠PCD;
③∠APC=∠PCD-∠PAB;
④∠APC=∠PAB-∠PCD.
如图选择①∠APC+∠PAB+∠PCD=360°进行说明:
过点P在∠APC内部作PE∥AB.
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠PAB+∠APE=180°,∠EPC+∠PCD=180°.
又∵∠APC=∠APE+∠EPC,
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠APE+∠EPC+∠PCD=180°+180°=360°.[平行线的性质]
一、选择题
1.(2020自贡)如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为 ( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
2.如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
3.(2021长沙期末)如图,将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起,若∠2=70°,则∠1的大小是 ( )
A.45° B.50° C.55° D.40°
4.如图,直线l1∥l2,AB⊥CD,∠1=22°,那么∠2的度数是 ( )
A.68° B.58° C.22° D.28°
5.(2021白银期末)小明观察“抖空竹”时发现,可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图,已知AB∥CD,∠BAE=91°,∠DCE=124°,则∠AEC的度数是 ( )
A.29° B.30° C.31° D.33°
6.如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是 ( )
A.∠BAO与∠CAO相等
B.∠BAC与∠ABD互补
C.∠BAO与∠ABO互余
D.∠ABO与∠DBO不等
二、填空题
7.如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C.若∠1=58°,则∠2的度数为 .
8.(2021北京海淀区期末)如图,∠ACB=64°,CE平分∠ACB,CD平分∠ECB,DF∥BC交CE于点F,则∠CDF的度数为 .
9.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若∠ABC=26°,则∠ACD的度数为 .
10.(2020达州渠县期末)如图,点B,C在直线AD上,BF平分∠EBD,CG∥BF.若∠EBA=α,则∠GCD的度数为 .(用含α的式子表示)
11.如图,小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则他应右转 °.
三、解答题
12.如图,已知AB∥CD,AC∥BD,则∠1与∠2相等吗 为什么
13.如图,AD∥EF,AB∥DG.试说明:∠1=∠2.
[探究题] (1)如图①,AB∥CD,则∠2与∠1+∠3的关系是什么 为什么
(2)如图②,AB∥CD,则∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗 为什么
(3)如图③,AB∥CD,则∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大 为什么
你能将它们推广到一般情况吗 请写出你的结论.
答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D 如图,延长DC,交AE于点M.
∵AB∥CD,∴∠CME=∠BAE=91°.
∵∠DCE=124°,∴∠MCE=180°-124°=56°,
∴∠AEC=180°-∠MCE-∠CME=180°-56°-91°=33°.故选D.
6.D ∵AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,
∴∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠DBO.∵AC∥BD,∴∠BAC+∠ABD=180°.
因此∠BAO,∠CAO中的任意一个角与∠ABO,∠DBO中的任意一个角的和都是90°.
因此选项A,B,C正确,选项D错误.
7.32°
8.16° ∵∠ACB=64°,CE平分∠ACB,∴∠ECB=32°.
又∵CD平分∠ECB,
∴∠BCD=16°.
∵DF∥BC,∴∠CDF=∠BCD=16°.
9.128° 如图,延长DC到点E.
由题意可得∠ABC=∠BCE=∠BCA=26°,
则∠ACD=180°-26°-26°=128°.
故答案为128°.
10.90°-α ∵∠EBA=α,∠EBA+∠EBD=180°,
∴∠EBD=180°-α.
∵BF平分∠EBD,
∴∠FBD=∠EBD=(180°-α)=90°-α.
∵CG∥BF,∴∠GCD=∠FBD=90°-α.
11.80 射线BC与射线AB所夹的锐角是80°,即在B处相对于原方向左转了80°,所以欲恢复原行走方向,需右转80°.
12.解:相等.理由:
∵AB∥CD,
∴∠1=∠CAB.
∵AC∥BD,
∴∠2=∠CAB,∴∠1=∠2.
13.解:∵AD∥EF(已知),
∴∠1=∠BAD(两直线平行,同位角相等).
∵AB∥DG(已知),
∴∠BAD=∠2(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
[素养提升]
解:(1)∠2=∠1+∠3.
理由:如图①,过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,
∴∠BEF=∠1,∠CEF=∠3,
∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3.
(2)一样大.理由:
如图②,分别过点E,G,M作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠HGM+∠5=∠1+∠3+∠5.
(3)一样大.理由:
如图③,分别过点E,G,M,K,P作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,KL∥AB,PQ∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN=∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7,
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
结论:两条平行线之间所夹的角,开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等.
