第七章《随机变量及其分布》同步单元高分突破必刷卷（基础版）（Word版含解析）

第七章《随机变量及其分布》同步单元高分突破必刷卷（基础版）
(时间：120分钟　满分：150分)
单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75
2．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则（ ）
A． B． C． D．
5．将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为（ ）
A． B．
C． D．
8．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（ ）（参考数据：）
A．16 B．18 C．20 D．25
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列关于说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．小赵.小钱.小孙.小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
10．已知随机变量，则下列命题正确的有（ ）
A．
B．
C．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数
D．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数
11．已知随机变量X服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
A．X的均值为3 B．X的标准差为9
C． D．
12．为了响应国家发展足球的战略，哈六中在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得10分，没踢进一球得分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立.记为小明的得分总和，记为小明踢进球的个数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.
14．随机变量的概率分布列如下：
其中，则_______.
15．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．
附：若，则，.
16．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
18．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
19．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，．
(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？
20．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是国家重要的空间信息基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.如图是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；
（2）在上述40个城市中任选2个，设为产值小于500万元的城市个数，求的分布列 期望和方差.
21．为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
22．“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通，基础设施联道、能源资源互通，行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥，要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以[160，180）、[180，200）、[200，220）、[220，240）、[240，260），[260，280）、（280，300）分组的频率分布直方国如图．
(1)在年平均情售量为[240，260）、[260，280）、[280，300）的三组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取12家大型农宽市场，求年平均销售量在[240，260）、[260，280）、[280，300）的表贸市场中应各抽取多少家？
(2)在（1）的条件下，再从[240，260）、[260，280）、[280，300）这三组中抽取的衣贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在[240，260）组，求随机变量的分布列与期望．
第七章《随机变量及其分布》同步单元高分突破必刷卷（基础版）
全解全析
1．C
【解析】
【分析】
求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】
记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，
，于是得，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
【详解】
设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
3．B
【解析】
【分析】
设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可.
【详解】
设任取1盆的编号为随机变量，
∴的可能取值为0，1，2，……，9，且，
∴．
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
由题知X的取值范围为，再计算即得.
【详解】
由题意知，X的取值范围为，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以．
故选：C．
5．C
【解析】
【分析】
根据古典概型计算公式、数学期望的公式，结合数学期望和方差的性质进行判断即可.
【详解】
因为一共有3个盒子，所以，
因此，，
由题意可知：，
，，
，
，所以，
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
利用二项分布的概率即可得解.
【详解】
由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为
罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次
故概率
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
先求得从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张的方法数，再求得至少有3张的方法数，利用古典概型概率求解.
【详解】
从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张有种方法，
则至少有3张有种方法，
所以设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
由题可得，即得.
【详解】
∵小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，
∴，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为.
故选：B.
9．ACD
【解析】
【分析】
直接利用随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的定义，逐项判断，即可得到结果．
【详解】
对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；
对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从二项分布 而不是两点分布，故B错误；
对于C：小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，故 ，，所以 ，故C正确；
对于D，由于，所以，又，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
【解析】
【分析】
利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；
求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X的概率判断D作答.
【详解】
因随机变量，则，，A不正确，B正确；
甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；
对于D，依题意，，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.
故选：BC
11．AD
【解析】
【分析】
根据正态分布的知识逐一判断即可.
【详解】
因为随机变量X服从正态分布，
所以X的均值为3，X的标准差为3
，
故选：AD
12．ABC
【解析】
【分析】
由题可知，，进而可求，，，，即得.
【详解】
由题可知，则，
∴，故A正确；
∴
，故B正确；
∴，故C正确；
∴，故D错误.
故选：ABC
13．##0.5
【解析】
【分析】
根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】
依题意，，，所以.
故答案为：
14．6
【解析】
【分析】
根据分布列可求的值，进一步可求.
【详解】
由分布列得：，
即，
，

.
故答案为：6.
15．3413
【解析】
【分析】
结合已知条件，利用正态曲线的对称性即可求解.
【详解】
由题意，，可知，
所以，
故正方形中阴影部分面积，
设落在阴影部分中点的个数的估计值为，
从而，解得，.
故答案为：3413.
16．
【解析】
【分析】
先利用古典概型求得试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解.
【详解】
在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，
故试验成功的概率P＝1－＝，
则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝.
故答案为：
17．见解析
【解析】
【详解】
解：（Ⅰ）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，
∴P（75＜X＜95）=1﹣P（X≤75）﹣P（X≥95）
=1﹣0.5﹣0.1=0.4．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
E（ξ）==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
18．（1）；
（2）
【解析】
【详解】
解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，
即这箱产品被用户接收的概率为．
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3．
=，
=，
=，
∴的概率分布列为：
1 2 3
∴=．
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由相互独立事件的概率可得；
（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.
(1)
记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则
．
故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是．
(2)
记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，
，，，，，，
．
故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为．
20．（1）；（2）分布列答案见解析，，.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图计算出频率，再乘以样本总数即可；
（2）的可能取值为0，1，2，分别求出概率，进而可得期望和方差.
【详解】
（1）根据频率分布直方图，可知产值小于500万元的城市个数为.
（2）的可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以期望，
方差.
21．(1)819名；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；
（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.
(1)
由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
(2)
甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
22．(1)平均销售量为[240，260）抽取6家；平均销售量为[260，280）抽取4家，平均销售量为[280，300）抽取2家；
(2)分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】
（1）首先求出抽样比，再根据应用分层抽样的等比例原则求不同平均销售量区间所抽取的数量.
（2）由题设知，应用古典概型的概率求法求对应的概率，进而得到分布列，最后根据分布列求期望即可.
(1)
平均销售量为[240，260）共有家，
平均销售量为[260，280）共有家，
平均销售量为[280，300）共有家，
抽样比，
所以，平均销售量为[240，260）抽取家，
平均销售量为[260，280）抽取家，
平均销售量为[280，300）抽取家.
(2)
由题意知：，
，，，，
的分布列如下：
0 1 2 3
P
．